精品解析：山西晋城市城区2025-2026学年第一学期期末质量测评八年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末质量测评 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 16的算术平方根等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根等于4； 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括完全平方公式、幂的乘方、同底数幂相乘和合并同类项，运用相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，∴A错误； B、 ，∴B错误； C、，∴C正确； D、，∴D错误； 故选：C． 3. 已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设． 【详解】解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 4. 某区在实施居民用水定额管理前，对居民用水情况进行了调查．下图是根据简单随机抽样获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）数据制成的频数分布直方图．下列说法不正确的是（ ） A. 居民月均用水量大部分在吨吨之间 B. 月均用水量不超过吨的有户 C. 月均用水量在吨吨之间的户数最多 D. 居民月均用水量在吨吨之间的只有2户 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据统计图逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 居民月均用水量大部分在吨吨之间，故该选项正确，不符合题意； B. 月均用水量不超过5吨的有户，故该选项正确，不符合题意； C. 月均用水量在吨吨之间的户数最多，故该选项不正确，符合题意； D. 居民月均用水量在吨吨之间的只有2户，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 5. 下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．先根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式，然后计算分解是否正确即可． 【详解】解：A、右边为乘积加2，不是乘积形式，不符合因式分解定义； B、左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C、右边是乘积的形式，但，原计算错误，不符合题意； D、右边是乘积的形式，且 ，原计算正确，符合题意． 故选：D． 6. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，， C. ，1， D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、， ，，∴2，3，4不是勾股数，故此选项不符合题意； B、1，，不都是正整数，∴1，，不是勾股数，故此选项不符合题意； C、，1，不都是正整数，∴，1，不是勾股数，故此选项不符合题意； D、，，∴，∴ 9，40，41是勾股数，故此选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 8. 已知，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算，由方程可得，将和化为以2为底的幂形式，利用指数运算法则计算表达式值，关键是将底数统一为 2，利用已知条件代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，以的每一条边作三个正方形，则阴影面积，，，，存在怎样的数量关系（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形三边的关系是解题的关键． 根据题意，设，，，两个空白部分面积分别为，，分别列出三个正方形的面积关系式，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，，，两个空白部分面积分别为，，如下图所示： ，，， ，， ， ， 故选：C 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：ax2-9a=____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：ax2-9a=a(-9)=a(x+3)(x-3). 故答案为： 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键． 12. 的小数部分是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题的关键； 直接根据的取值范围得到整数部分为，进而求得小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴整数部分是， ∴的小数部分是， 故答案为：． 13. 如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是、，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角角平分线的性质，平行线的性质，解答本题的关键是证明平分 过P作于N，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度． 【详解】解：过P作于N， 由题意得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 、P在这把直尺上刻度读数分别是、， ， 长度是 故答案为：． 14. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为______． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 15. 如图，，于点，于点，，分别是，上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤，其中正确的结论有_______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，线段的和与差运算，角的和与差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故答案为：①③⑤． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，利用平方差公式进行简便运算． （1）先计算乘方，立方根，算术平方根，绝对值，再合并即可． （2）把原式化为，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ； 当，时，原式． 18. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，三角形面积的计算，掌握分割法求三角形面积是解题关键． （1）通过尺规作图作出的平分线； （2）过点作的垂线，交于点，利用角平分线的性质得，将的面积拆分为与的面积和，然后将、和代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图，为的平分线． 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，交于点， 平分，，， ， ． 答：的面积为． 19. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； （4）若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，样本估计总体等知识，读懂题意，准确计算是关键． （1）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可； （2）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可； （3）用乘以抽取学生中最喜爱羽毛球运动的学生数的百分比即可得到答案； （4）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：随机抽取部分学生的总人数为（人）， ∴， 即， 故答案为： 【小问2详解】 随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 “羽毛球”对应扇形的圆心角为， 故答案为： 【小问4详解】 （人） 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人． 20. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 22. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 【答案】（1）4；（2）图见详解；（3）4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的中线与面积的关系，熟练掌握全等三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的中线与面积的关系是解题的关键； （1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可； （2）根据“偏等积三角形”的定义可作图； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：（1）当点P为的中点时，则有，所以与为偏等积三角形， 故答案为； （2）所作三角形如图2所示： （3）∵与为偏等积三角形，且它们的高相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴根据三角形三边关系可得：， 即， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴． 23. [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC． [拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由． [应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论； 拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系； 应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根据DP=BP-BD=6-1=5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H， 连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP=BP+BD=6+1=7，进而可得点A到BP的距离． 【详解】解：发现：（1）证明： ∵AH⊥BC，∠BAC=90°， ∴∠AHC=90°=∠BAC． ∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°． ∴∠CAH=∠B， 在△ABH和△CAH中， ， ∴△ABH≌△CAH．（AAS）． ∴BH=AH，AH=CH． ∴AH=BC． 拓展：∠DCE的度数为90°， 线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD， 理由如下： ∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵AD=AE，AB=AC， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠DCE=90°； ∵D、B、C三点共线， ∴DB+BC=CD， ∵DB=CE，AH=BC， ∴CE+2AH=CD． 应用：点A到BP的距离为：或． 理由如下： 如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D， ∴∠BAC=∠DAP=90°， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD=CP=1， ∴DP=BP-BD=6-1=5， ∵AH⊥DP， ∴AH=DP=； 如图4，过点A作AH⊥BP于点H， 作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D， ∴∠BAC=∠DAP=90°， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=90°，∠BPC=90°， ∴∠ACP+∠ABP=180°， ∴∠ACP=∠ABD， ∵AB=AC， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD=CP=1 ∴DP=BP+BD=6+1=7． ∵AH⊥DP， ∴AH=DP=． 综上所述：点A到BP的距离为：或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量测评 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 16的算术平方根等于（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（    ） A. B. C. D. 4. 某区在实施居民用水定额管理前，对居民用水情况进行了调查．下图是根据简单随机抽样获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）数据制成的频数分布直方图．下列说法不正确的是（ ） A. 居民月均用水量大部分在吨吨之间 B. 月均用水量不超过吨有户 C. 月均用水量在吨吨之间的户数最多 D. 居民月均用水量在吨吨之间的只有2户 5. 下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中是勾股数的是（ ） A 2，3，4 B. 1，， C. ，1， D. 9，40，41 7. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 8. 已知，则值为（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 128 9. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A B. C. D. 10. 如图，以的每一条边作三个正方形，则阴影面积，，，，存在怎样的数量关系（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：ax2-9a=____________________． 12. 的小数部分是______． 13. 如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是、，则的长度是________． 14. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为______． 15. 如图，，于点，于点，，分别是，上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤，其中正确的结论有_______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，． （1）过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，，求的面积． 19. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为______度； （4）若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 20. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 21. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 22. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）请在图2的方格图中（每个小方格的边长都为1），画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形，要求所画三角形的顶点必须在格点上． （3）如图3，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 23. [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC． [拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由． [应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $