第04讲 点到直线的距离（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

第04讲 点到直线的距离 知识清单 知识点01：点到直线的距离 知识点02：点到直线的距离问题 知识点03：两条平行直线间的距离 知识点04：直线关于直线对称 知识点05：两点间的距离 知识点06对称问题 题型讲解 （举三反三） 题型1：求点到直线的距离 题型2：直线围成图形的面积问题 题型3：已知点到直线距离求参数 题型4：求两点的对称轴 题型5：直线的对称问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 知识点02．点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 知识点03.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 知识点04．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 知识点05．两点间的距离 两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 知识点06．对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点； ②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点； ④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点. 题型1：求点到直线的距离 【例1-1】原点到直线的距离为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【例1-2】（24-25高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为 . 【例1-3】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【变式1-1】到两条直线与的距离相等的点必定满足方程（　　）. A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】点到直线的距离为 . 【变式1-3】在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 题型2：直线围成图形的面积问题 【例2-1】已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【例2-2】已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【例2-3】已知的三个顶点，，. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【变式2-1】（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【变式2-2】已知点，，，，过点D作斜率为k的直线l分别交线段和线段于P，Q两点，求的面积S关于k的函数. 【变式2-3】过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 题型3：已知点到直线距离求参数 【例3-1】已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【例3-2】（24-25高二上·上海·月考）过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【例3-3】直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【变式3-1】已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·月考）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【变式3-3】已知点、，若点与点到直线的距离都为2，求直线的方程． 题型4：求两点的对称轴 【例4-1】若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【例4-2】（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【例4-3】点与点是轴对称的两点，则对称轴方程为 ． 【变式4-1】已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 ． 【变式4-3】将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 题型5：直线的对称问题 【例5-1】若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【例5-3】已知入射光线沿直线射向直线，求反射光线所在的直线的方程． 【变式5-1】（24-25高二下·上海宝山·月考）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 【变式5-3】（1）求点关于直线的对称点坐标； （2）求直线关于直线的对称直线的一般式方程. 二、填空题 1．（24-25高二下·上海静安·期中）点到直线的距离为 ． 2．点到直线的距离是 . 3．点到直线的距离为 ． 4．以，，为顶点的三角形的重心到AB边的距离等于 . 5．已知点和点到直线的距离相等，则 . 6．已知动点在直线上，则的最小值为 . 7．已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为 ． 8．（24-25高三上·上海·月考）点到直线的距离为 9．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 10．（24-25高一下·上海·期中）已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 11．已知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是 ． 12．已知实数满足，则的最大值为 ． 二、单选题 13．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 14．一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 15．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 18．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 19．（24-25高二上·上海·月考）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 20．已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 21．（24-25高二上·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 点到直线的距离 知识清单 知识点01：点到直线的距离 知识点02：点到直线的距离问题 知识点03：两条平行直线间的距离 知识点04：直线关于直线对称 知识点05：两点间的距离 知识点06对称问题 题型讲解 （举三反三） 题型1：求点到直线的距离 题型2：直线围成图形的面积问题 题型3：已知点到直线距离求参数 题型4：求两点的对称轴 题型5：直线的对称问题 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 知识点02．点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 知识点03.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 知识点04．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 知识点05．两点间的距离 两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 知识点06．对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点； ②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点； ④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点. 题型1：求点到直线的距离 【例1-1】原点到直线的距离为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】直线，即， 故原点到直线的距离为. 故选：B. 【例1-2】（24-25高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 故答案为： 【例1-3】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 【变式1-1】到两条直线与的距离相等的点必定满足方程（　　）. A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可求解. 【详解】由题意可得， 即， 化简得或， 故选：C 【变式1-2】点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 【变式1-3】在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于，故以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，从而得到边所在直线的方程；（2）求出重心坐标，利用点到直线公式即可求解. 【详解】（1）在中，，，，则，则 所以以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如下平面直角坐标系： 所以，，则边所在直线的方程为，化简可得： （2）由于，，，所以的重心坐标为，即重心, 所以的重心到边所在直线的距离 题型2：直线围成图形的面积问题 【例2-1】已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 【例2-2】已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点坐标可得答案； （2）求出，利用三角形的面积公式计算可得答案. 【详解】（1）因为，，所以直线与轴平行， 所以三角形中边上的高所在直线的方程为； （2）， 由于直线与轴平行，所以到直线的距离为5， 所以三角形的面积为.    【例2-3】已知的三个顶点，，. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）首先求出的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）求出点到直线的距离，再求出的长度，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，所以，化简可得. （2）点到直线的距离， ， 则. 【变式2-1】（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【答案】/ 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 【变式2-2】已知点，，，，过点D作斜率为k的直线l分别交线段和线段于P，Q两点，求的面积S关于k的函数. 【答案】 【分析】根据图象可确定，利用两点连线斜率公式求得临界值后即可得到所求范围,将方程与直线方程联立可得两点坐标，由两点间距离公式可求得，利用点到直线距离公式可求得原点到直线距离，代入三角形面积公式，化简得到结果. 【详解】若直线与线段，均有交点且交点不重合，则由图象可知：，    ，，的取值范围为， 设直线，即，， 又直线：；直线； 由得：，即，同理可得：， ， 又原点到直线距离， ，又，.    【变式2-3】过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据点斜式得到答案. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，计算交点坐标得到，得到最值和直线方程. （3）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算，得到，，讨论得到答案. 【详解】（1）若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即； （2）法一：当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线，， 得，得， ， ， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. 法二：前面部分同法一， 注意到，且反向， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. （3）当直线斜率不存在时，，，； 当直线斜率存在时，，，， ， 即， 当时，方程有1解，此时； 当时，， 当时，，方程无解； 当时，，，方程有1解； 当时，，，对称轴，且，方程有两个大于1的解. 当时，，开口向下，，，方程有1个大于1的解，一个小于的解. 综上所述： 当时，0条；当时，1条；当时，2条. 题型3：已知点到直线距离求参数 【例3-1】已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】 由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，，即解得或. 故选：C 【例3-2】（24-25高二上·上海·月考）过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可. 【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 【例3-3】直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程． 【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即 ∵点到的距离为1， ∴，解之得， 得的方程为． 当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1， ∴直线的方程为或． 【变式3-1】已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标是，则线段AB垂直直线时，线段AB最短，根据两直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】因为点在直线上运动， 所以可设点的坐标是， 当线段AB垂直直线时，线段AB最短， 由直线得其斜率为-1， 则，得， 所以的坐标是. 故选：A 【变式3-2】（24-25高二上·上海·月考）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式3-3】已知点、，若点与点到直线的距离都为2，求直线的方程． 【答案】或或或. 【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线l与点和点两点的连线平行，一类是线l过两点和点中点，分类解出直线的方程即可. 【详解】∵，， ∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段中点， ①当直线l平行直线时：，可设直线l的方程为， 即 依题意得：，解得：或， 故直线l的方程为：或 ②当直线l过线段中点时：的中点为， 当直线斜率不存在时：直线l：，不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，可设直线l的方程为， 即 依题意得：，解得：或， 故直线l的方程为：或，化简为， 综上所述：直线方程为：或或或. 题型4：求两点的对称轴 【例4-1】若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 【例4-2】（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 【例4-3】点与点是轴对称的两点，则对称轴方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出，根据对称轴与垂直求出对称轴所在直线的斜率，再由的中点在对称轴上即可求出对称轴的方程. 【详解】解：由题意知，对称轴方程为线段的垂直平分线.因为，所以对称轴所在直线斜率为.又线段的中点在对称轴上，所以对称轴方程为：，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线方程的表示以及两直线垂直的条件，属于基础题. 【变式4-1】已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 【变式4-2】若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】利用直线的位置关系结合点斜式计算两点中垂线即可. 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 【变式4-3】将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 【答案】1 【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可. 【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为. 设点为点，设点为点，所以线段的中点为， 由题意可知， 于是有： ， 故答案为：1 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系. 题型5：直线的对称问题 【例5-1】若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 【例5-2】（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，求的斜率，最后结合点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 【例5-3】已知入射光线沿直线射向直线，求反射光线所在的直线的方程． 【答案】 【分析】先联立方程，解得和的交点坐标．设反射光线所在直线，根据与所成夹角相等，由求解. 【详解】由， 解得， 所以和的交点坐标为． 设反射光线所在直线为， 因为与所成夹角相等， 所以． 化简解得或． 当时，直线（不合题意，舍去）； 当时，直线． 所以，反射光线所在的直线的方程为. 【点睛】本题主要考查直线的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 【变式5-1】（24-25高二下·上海宝山·月考）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】   建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 【变式5-2】一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 【答案】 【分析】根据题意，先得到所在直线方程，然后联立两直线方程得到入射点坐标，再求得点关于直线的对称点的坐标，即可得到反射光线的直线方程. 【详解】由题意可得所在直线方程为:，即， 联立直线方程，解得入射点， 设点关于直线的对称点为 则，解得，所以， 即反射光线方程为:，即 故答案为: 【变式5-3】（1）求点关于直线的对称点坐标； （2）求直线关于直线的对称直线的一般式方程. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）设点关于直线的对称点坐标为；可得，结合中点坐标在直线上，求解，可得答案； （2）联立直线与直线求解交点，在直线取点，设出对称直线方程，利用点到直线距离相等求解即可； 【详解】（1）设点关于直线的对称点坐标为； 可得，① 中点坐标，在直线上， 即② 由①②解得解， 故得对称点坐标为，． （2）联立，可得坐标为， 设对称直线的方程为：，即 在直线取点， 所以， 解得：（舍去），． 所求对称直线方程为．，即． 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了点到直线距离公式的运用，是基础题． 一、填空题 1．（24-25高二下·上海静安·期中）点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 2．点到直线的距离是 . 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】到直线的距离为， 故答案为： 3．点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故答案为：. 4．以，，为顶点的三角形的重心到AB边的距离等于 . 【答案】1 【分析】根据三角形的顶点为，，，求出重心坐标为和直线：，从而即可求解. 【详解】解：因为三角形的顶点为，，， 所以三角形的重心坐标为，即， 又直线的方程为， 所以重心到直线：的距离为，即三角形的重心到AB边的距离等于1， 故答案为：1. 5．已知点和点到直线的距离相等，则 . 【答案】3或 【分析】利用点到直线距离公式建立等式求出参数即可. 【详解】因为点和点到直线的距离相等， 所以由点到直线的距离公式可得： ， 解得或， 故答案为：3或 6．已知动点在直线上，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值. 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 7．已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，利用点到直的距离公式可求得结果. 【详解】由题意可知的最小值就是点到直线的距离， 因为到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 8．（24-25高三上·上海·月考）点到直线的距离为 【答案】/ 【分析】应用点线距离公式求距离即可. 【详解】由点线距离公式知，点到直线的距离为. 故答案为： 9．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 10．（24-25高一下·上海·期中）已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 【答案】 【分析】先求的方程，再求A到直线的距离，再求的面积. 【详解】由直线方程的两点式得直线的方程为， 即，由两点间距离公式得， 设点A到的距离为d，即为边上的高，， 则的面积为. 故答案为：. 11．已知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是 ． 【答案】5 【分析】求出动直线所过定点，可知原点与定点的距离即为所求. 【详解】直线l：可化为， 当时，即时方程恒成立， 所以直线l恒过定点， 所以当直线l与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为. 故答案为：5 12．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用所求表达式的几何意义，转化求解对称点的坐标，利用距离公式求解最小值即可．. 【详解】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 二、单选题 13．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题意有：点到直线的距离为. 故选：D. 14．一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【详解】点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C 15．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 16．已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，得到，从而得到点坐标，可得中点的坐标，利用点斜式求得折痕所在的直线方程． （2）由折痕和线段、相交求出的取值范围，从而求出交点坐标，即可求出折痕长的取值范围． 【详解】（1）①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则． 故点坐标为， 从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为． 所以折痕所在的直线方程，即． 综上：由①②可得折痕所在的直线方程为． （2）由（1）可知，对于， 令，可得，令可得， 依题意可得，解得， 如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为． 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以折痕的长的取值范围． 18．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 19．（24-25高二上·上海·月考）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）法1：分直线过线段的中点和直线与直线平行两种情况分类讨论即可；法2：分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可. （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再求出交点，根据距离公式求出长度即可. 【详解】（1）法1：直线过线段的中点：中点，直线的斜率， 则直线的方程为； 直线与直线平行：直线的斜率，则直线的方程为； 故直线的方程为或. 法2：当直线的斜率不存在时，，点到直线的距离分别是，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 点与点到直线l的距离相等，则，得或， 故直线的方程为或. （2）当直线的斜率不存在时，， 与两条平行直线的交点为，故截得的线段长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 得交点； 得交点； 则， 得，则， 综上，直线的方程为或. 20．已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【答案】(1)； (2)存在最大值； 【分析】（1）求出直线AC的斜率，根据即可求出倾斜角，由直线点斜式方程即可求出直线的方程； （2）根据直线只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定直线及交点，点到直线的距离为，则，再探究是否存在最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．      又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 【点睛】本题考查了定点到动直线的距离的最大值问题，求出直线恒过的定点是解决问题的关键，还考查了数形形合思想，还要注意检验取得最值的条件. 21．（24-25高二上·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由边上的高所在直线方程得到边所在直线的斜率，利用点斜式写出方程即可； （2）设点B的坐标为，由点是边的中点，可得点的坐标，点B在直线上，点A在直线上，联立方程组即可求得的值，从而得解． （3）求得直线的方程，设的角平分线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $