第05讲 圆的方程（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

第05讲 圆的方程 知识清单 知识点01：圆的标准方程 知识点02：点与圆的位置关系 知识点03：圆的一般方程 知识点04：直线与圆的三种位置关系 题型讲解 （举三反三） 题型1：圆的标准方程 题型2：圆的一般方程 题型3：直线与圆的位置关系 题型4：圆与圆的位置关系 题型5：由圆的位置关系确定参数或范围 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 知识点02．点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 知识点03.圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝. (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 知识点04．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 题型1：圆的标准方程 【例1-1】已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程的形式，将圆心和半径代入整理即得. 【详解】因圆的圆心坐标为，圆的半径为，故圆的标准方程为：. 故答案为：. 【例1-2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程. 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 【例1-3】根据下列条件，分别求相应圆的方程． (1)圆心为，半径； (2)圆心为，过点； (3)与轴相交于、两点，且半径等于． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）将圆心坐标和半径代入圆的标准方程即可得出答案； （2）求出圆的半径，再代入标准方程即可求得结果； （3）易知圆心在线段的垂直平分线上，求出圆心坐标代入标准方程即可. 【详解】（1）将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为； （2）易知圆的半径为， 所以圆方程为； （3）易知圆心在线段的垂直平分线上， 不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得； 当圆心为时，圆方程为； 当圆心为时，圆方程为； 因此所求圆的方程为或； 【变式1-1】已知、，则以为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】线段的中点坐标为，， 所以，所求圆的半径为，故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式1-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知实数、满足，求的最大值． 【答案】 【分析】由题意可得，即可求出的最大值. 【详解】因为，则根据圆的标准方程知， 所以， 当且仅当或时，取等号，此时有最大值为. 所以当时，的最大值为 . 【变式1-3】（24-25高二上·上海·月考）在圆心为M的圆中，BC为直径，BC=d，A是圆M上的一点，分别取线段BM和MC的中点P和Q，连接AP、AQ. (1)求证：无论A在圆上任何位置，都为定值； (2)若G为线段AB上的一个动点，，求 的最小值.（用含d的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，可得圆的方程，设，进而得，计算即可； （2）不妨取，设，可得，进而可得，可求最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，则圆的方程为， 设为圆上任意一点，因为是的中点，则， 所以， 所以； （2）因为G为线段AB上的一个动点，，不妨取，则， 设，则，所以， 所以， 所以 ， 当时， 的最小值为. 题型2：圆的一般方程 【例2-1】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 【例2-2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）若圆的半径为1，则 ． 【答案】4 【分析】根据圆的半径计算公式列方程，解方程求得F的值. 【详解】由圆可知， ，解得， 故答案为：4 【例2-3】已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是､，求它的外接圆的方程. 【答案】或. 【分析】根据等腰三角形的几何特点，求得顶点坐标，设出所求圆的一般方程，待定系数即可求得结果. 【详解】由题意得，等腰三角形顶点的坐标为或. 当顶点坐标为时，设三角形外接圆的方程为， 则解得 所以圆的方程为. 当顶点坐标是时，同理可得圆的方程为. 综上，它的外接圆的方程为或. 【变式2-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】由题意可知当点P的纵坐标大于等于1、小于1时，确定点的位置，结合图形，可得点的轨迹方程；记，则，当且仅当共线时取等号. 【详解】由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图， 当点在曲线上是以为圆心以为半径的圆， 当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图， 取，则，所以四边形是平行四边形，所以， 所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的圆弧， 此时点的轨迹方程为； 当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图， 此时点的轨迹方程为， 所以点的轨迹方程为，故①错误； 记，如图， 结合图形，则， 又，所以， 左侧等号当且仅当依次共线时取到， 右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 【变式2-3】已知直线和的交点与圆的圆心间的距离为5，求a的值． 【答案】． 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，配方圆的方程求出圆心坐标，根据两点间距离公式即可求出a的值． 【详解】联立方程，解得， 直线与的交点为， ∵圆的标准方程为， 圆心坐标， ， 整理得，， 解得． 题型3：直线与圆的位置关系 【例3-1】（25-26高二上·上海·月考）已知 ，若直线 与圆 没有公共点，则直线 与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式确定圆心到直线的距离，进而判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为直线 与圆 没有公共点， 即直线 与圆 相离， 所以圆心到直线的距离：. 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离. 故选：C 【例3-2】（25-26高三上·上海宝山·月考）在平面直角坐标系中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 的距离为 1，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得圆心到直线的距离，代入公式计算即得结果. 【详解】因圆 的圆心到直线的距离为， 由题意，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，易知圆的半径为， 则，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 【例3-3】（25-26高二上·上海·期中）已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求出圆心和半径，得到关于直线对称点为，从而得到对称圆的方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径进行求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4， 关于直线对称点为， 圆关于直线的对称圆的方程为； （2）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时圆心到的距离为4，等于半径，故满足要求； 当过点的直线斜率存在时，设为， 由题意得，解得， 故直线方程为，即， 综上，切线方程为或. 【变式3-1】已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【答案】C 【分析】根据条件，即可圆心到直线的距离，再结合直线与圆位置关系的判断方法，即可判断. 【详解】圆心到直线的距离为 ，即 故直线与圆相交，圆心代入直线方程得到，不符合题意. 故选：C 【变式3-2】（24-25高二下·上海·月考）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 【变式3-3】已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出线段中垂线方程，与给定直线方程联立求出圆心坐标及半径，进而求出圆的标准方程. （2）利用圆的弦长公式求出弦心距，再按斜率存在与否分类求解. 【详解】（1）依题意，点的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段中垂线斜率为1，方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由直线被圆所截得的弦长为，得圆心到直线距离， 显然圆心到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 当直线斜率存在时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 题型4：圆与圆的位置关系 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 【例4-2】（24-25高二下·上海·月考）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 【例4-3】判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 【变式4-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交. 故选：B. 【变式4-2】已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 【变式4-3】证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 【答案】证明见解析，； 【分析】根据两圆方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离与半径之差的关系，即可根据两圆位置关系的条件得出答案，由两圆公切线的求法将两圆方程作减得出公切线方程，再将公切线与其中一圆联立即可得出切点坐标. 【详解】将两圆化为标准方程得： ，， 即两圆的圆心坐标分别为与，半径分别为，， 则两圆心距离为， 则，故两圆内切， 两圆方程作减得两圆公切线：， 与圆联立，消去得：，解得， 则，故两圆的切点坐标为. 题型5：由圆的位置关系确定参数或范围 【例5-1】（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 【例5-2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 【例5-3】（24-25高二上·上海·月考）已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 【答案】(1)9或 (2) 【分析】（1）两圆外切时解方程，内切时解方程即得解； （2）由几何法求弦长解方程即得解. 【详解】（1）由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 若两圆外切，则，解得； 若两圆内切，则，解得； （2）圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得， 所以的值为． 【变式5-1】若圆与圆外切，则＝（    ） A．21 B．19 C．9 D． 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【详解】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则， 又，且两圆外切，则，得到，解得． 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期中）若圆与圆外切，则实数 . 【答案】 【分析】根据两圆的圆心距与半径的关系即可列方程求解. 【详解】的圆心和半径分别为为， 圆的圆心和半径分别为， 根据两圆外切，故，解得， 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求出两圆的圆心和半径，然后由两圆相交，得，从而可求出r的取值范围； （2）设，，将直线方程代入圆方程化简，利用根与系数的关系，再结合列方程可求出实数k的值． 【详解】（1）圆：的标准方程为，则圆心，， 圆：的标准方程为，则圆心，， 所以． 因为圆与圆相交，所以， 即，解得， 所以r的取值范围为． （2）已知直线l：与圆交于P、Q两点， 设，，联立，得， 由，得， 所以， 所以，解得， 因为，所以． 一、填空题 1．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1， 故圆的标准方程是. 故答案为： 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆心坐标. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心坐标为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】化一般方程为标准方程，得到圆心坐标. 【详解】圆， 得， 得圆心坐标为. 故答案为： 4．（24-25高二·上海·随堂练习）圆与圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【分析】计算两圆的圆心距，再与两圆半径比较即得. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，半径分别为， 由，显然， 故圆与圆相交． 故答案为：相交. 5．平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】依题意设圆的方程为，代入原点坐标求出，即可得解. 【详解】设圆的半径为，则圆的方程为， 又圆过点，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 6.（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先判断曲线表示的曲线，再利用数形结合表示直线与曲线有两个交点时，参数的取值范围. 【详解】由可得，整理可得，其中， 所以曲线表示圆的下半圆， 如图所示．当直线与曲线相切时， 由图可知，，且有，解得． 当直线过点时，则有． 由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点． 故答案为： 8．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解. 【详解】设，则在直线上， 又因为在圆上， 所以直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海·期中）以为圆心，且和直线相切的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离即为圆的半径，再写出圆的标准方程即可. 【详解】设圆的半径为，因为圆与直线相切， 所以， 所以圆的方程为. 故答案为：. 10．已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为 ． 【答案】 【分析】已知圆D：，化为标准方程可得圆心坐标及半径，圆C与圆D关于直线对称，转化为两圆心关于直线对称，半径相等，求出圆C的圆心，则可得圆C的方程. 【详解】因为， 设圆C的圆心为， 又因为圆C与圆D关于直线对称， 即圆心与关于直线对称， 所以，解得， 所以，圆C的方程为 11．若圆：和圆：没有公共点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解即可． 【详解】化圆：为， 则，圆心坐标为，半径为， 圆：的圆心坐标为，半径为1， 要使圆：和圆：没有公共点， 则或，而， 所以或， 解得或， 故实数k的取值范围为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期末）若圆与圆外切，则实数 . 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系，确定圆心距等于半径和，由此得到方程： ，解方程即可求解. 【详解】圆，圆心，半径为， 圆，圆心，半径，， 因为两圆外切，所以，即， 整理有：，解得：. 故答案为： 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 14．（25-26高二上·上海浦东新·月考）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．与圆的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据条件，利用直线与圆的位置关系得到，即可求解. 【详解】因为的圆心为，半径为， 由直线与圆相离可知，圆心到直线的距离大于半径，即， 得到，所以点在圆内， 故选：B. 15．（25-26高二上·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 16．已知圆，圆，则圆与的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论. 【详解】根据题意将圆化为标准方程可得，即圆心，半径. 将圆化为标准方程可得，即圆心，半径. 此时圆心距为, 显然，即两圆相交. 故选：D. 三、解答题 17．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）根据外切的性质，由点点距离公式即可求解. 【详解】（1）的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， （2）由题意可知在直线上，由于，, 所以直线方程为， 设，则， 化简可得，解得或， 由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去， 故，圆心为则圆的方程为 18．（25-26高二上·上海·期中）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将直线方程变形为，即可求定点，根据中点坐标公式求解对称圆的圆心即可得解， （2）根据点在圆外，即可求解. 【详解】（1）由可得， 故且，故，故直线恒过定点， 的圆心为，半径为， 则关于对称的点为， 故圆关于点对称的圆的方程为， （2）要使存在实数，使得直线与圆相离，则定点在圆外， 且，解得 19．（24-25高二下·上海·期末）已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据条件可得，结合基本不等式求的最大值； （2）先验证过点斜率不存在直线满足条件，再由直线与圆有且只有一个交点结合几何关系列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为； （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或. 20．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 21．如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）建立平面直角坐标系后利用圆和椭圆的方程求解即可. （2）依据题意得到方程，求出截面边长最值即可. 【详解】（1）【小问1详解】 如图，以矩形ABCD 的对称中心为原点建立平面直角坐标系 则半圆的方程为设椭圆的标准方程为： 则由已知，有， 得出所以，椭圆部分的方程为： 水平线AB的方程为： （2）提前告诉搬运公司：正方形截面的边长的最大值为3.2米； 三角形截面的边长的最大值为米. 若为正方形截面，设正方形边长为，如图所示放置时正方形截面的边长的最大值 则点在圆上,即，解得 所以正方形截面的边长的最大值为3.2米； 若为等边三角形截面，如图放置： 解法一：因为直线倾斜角为， 所以直线的斜率为，且直线过定点，故直线的方程为， 联立整理得： 解得和 (舍). 所以三角形截面的边长的最大值为米 解法二： 设正三角形边长为 ,则点 在椭圆 上， 由 得 ， 即，解得和(舍) 所以三角形截面的边长的最大值为米. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理设出边长，然后表列出方程求解边长最值，计算得到所要求的数值即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 圆的方程 知识清单 知识点01：圆的标准方程 知识点02：点与圆的位置关系 知识点03：圆的一般方程 知识点04：直线与圆的三种位置关系 题型讲解 （举三反三） 题型1：圆的标准方程 题型2：圆的一般方程 题型3：直线与圆的位置关系 题型4：圆与圆的位置关系 题型5：由圆的位置关系确定参数或范围 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 知识点02．点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 知识点03.圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝. (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 知识点04．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 题型1：圆的标准方程 【例1-1】已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 【例1-2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【例1-3】根据下列条件，分别求相应圆的方程． (1)圆心为，半径； (2)圆心为，过点； (3)与轴相交于、两点，且半径等于． 【变式1-1】已知、，则以为直径的圆的标准方程为 . 【变式1-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知实数、满足，求的最大值． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·月考）在圆心为M的圆中，BC为直径，BC=d，A是圆M上的一点，分别取线段BM和MC的中点P和Q，连接AP、AQ. (1)求证：无论A在圆上任何位置，都为定值； (2)若G为线段AB上的一个动点，，求 的最小值.（用含d的代数式表示） 题型2：圆的一般方程 【例2-1】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）若圆的半径为1，则 ． 【例2-3】已知一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是､，求它的外接圆的方程. 【变式2-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【变式2-2】（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为 ． 【变式2-3】已知直线和的交点与圆的圆心间的距离为5，求a的值． 题型3：直线与圆的位置关系 【例3-1】（25-26高二上·上海·月考）已知 ，若直线 与圆 没有公共点，则直线 与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【例3-2】（25-26高三上·上海宝山·月考）在平面直角坐标系中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 的距离为 1，则实数的取值范围是 【例3-3】（25-26高二上·上海·期中）已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【变式3-1】已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【变式3-2】（24-25高二下·上海·月考）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【变式3-3】已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 题型4：圆与圆的位置关系 【例4-1】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【例4-2】（24-25高二下·上海·月考）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【例4-3】判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【变式4-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【变式4-2】已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【变式4-3】证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 题型5：由圆的位置关系确定参数或范围 【例5-1】（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【例5-2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 【例5-3】（24-25高二上·上海·月考）已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 【变式5-1】若圆与圆外切，则＝（    ） A．21 B．19 C．9 D． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期中）若圆与圆外切，则实数 . 【变式5-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 一、填空题 1．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）圆的圆心坐标是 ． 3．（24-25高二下·上海·期中）圆的圆心坐标为 ． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）圆与圆的位置关系为 ． 5．平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 6.（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ． 8．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 9．（25-26高二上·上海·期中）以为圆心，且和直线相切的圆的标准方程是 ． 10．已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为 ． 11．若圆：和圆：没有公共点，则实数k的取值范围是 ． 12．（24-25高二上·上海·期末）若圆与圆外切，则实数 . 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 14．（25-26高二上·上海浦东新·月考）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．与圆的位置关系不确定 15．（25-26高二上·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 16．已知圆，圆，则圆与的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 三、解答题 17．已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 18．（25-26高二上·上海·期中）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 19．（24-25高二下·上海·期末）已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 20．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 21．如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $