湖北省随州市部分高中2025-2026学年高三下学期2月联考数学试题

湖北省随州市部分高中2025—2026学年下学期2月联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，又， ，故选. 2.下列函数中，在内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于，，因为，故 错误；对于，由于，所以，故 正确；对于，，因为，故 错误；对于，，因为，故 错误. 3.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】由，得，即，即，，故 是钝角， 该三角形为钝角三角形，故选. 4.点在平面上以速度做匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设点 的初始坐标为， 由题意可得 解得 即点 的初始坐标为，故选. 5.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，，，得，，,,所以点 到直线 的距离为 6.若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】抛物线 的焦点坐标是，由点 到直线 的距离为， 可得，即，解得 或（舍去）.故选. 7.现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是（ ） A. ①抽签法，②分层随机抽样 B. ①随机数法，②分层随机抽样 C. ①随机数法，②抽签法 D. ①抽签法，②随机数法 【答案】A 【解析】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样.故选. 8.圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】原方程可化为， 半径， 圆的面积 . 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知是定义在上不恒为0的奇函数，是的导函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】根据题意得，因为 为奇函数，所以，可得，即，即，所以 为偶函数. ，所以 为奇函数，所以 正确； ，所以 为偶函数，所以 正确； ，所以 为偶函数，所以 错误； ，所以 为偶函数，所以 正确.故选. 10.如图，在梯形中，，，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】，故 正确.因为,所以，所以，故，故 正确.由题图知，，故 错误.，故 正确. 故选. 11.已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 圆与圆相交 C. 当圆与直线相切时， D. 当时，圆截直线所得的弦长为 【答案】BD 【解析】由题设知，圆，则，半径， 圆，则，半径，错误； ，所以圆 与圆 相交，正确； M到直线 的距离，若圆 与直线 相切，则，解得 或，错误； 当 时，，所以圆 与直线 相交，弦长为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为函数 在区间 上单调递减，所以 在区间 上恒成立，所以. 13.已知向量，满足，，且，则_ _ _ _ . 【答案】 【解析】设， 向量，满足，，且， ， 解得（负值舍去）. 14.已知点在抛物线上，过点作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点.若 ，点的横坐标为1，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图所示： 不妨设点 在第一象限，联立 可得 即点. 易知 轴，则 轴，则 ， 所以直线 的倾斜角为 ，易知点,所以,整理得,且，故, 等式 两边平方，并整理得，即, 解得 舍去. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（本小题满分15分） 已知函数（其中 为自然对数的底数）,0为的一个极值点. （1） 求的值;（7分） （2） 证明:.|（8分） 【解析】 （1） , 由0为 的一个极值点，可得,解得.当 时，,,, 由 知，存在,，当 时，，所以 在 和单调递增， 又，所以当 时，, 当 时，，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 是 的极值点，所以. （2） 证明:, 要证，可以先证, 的导数为， 当 时，，单调递增; 当 时，，单调递减. 所以 时，取得最小值0， 所以，即有，又， 且 时,，所以，即. 16.（本小题满分15分） 已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，. （1） 求数列，的通项公式；（7分） （2） 数列满足求数列的前项和.（8分） 【解析】 （1） 设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为， 因为，， 所以 解得 或 因为数列 为递增数列， 所以，， 所以，. （2） 由（1）得 所以数列 的前 项和. 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面 平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点. （1） 证明：平面；（7分） （2） 若，求直线与平面所成角的正弦值.（8分） 【解析】 （1） 证明：取 的中点， 连接，. 因为，分别是棱，的中点， 所以， 又因为 平面， 平面， 所以 平面， 因为，分别是棱，的中点， 所以， 又因为 平面， 平面， 所以 平面， 又因为， 平面，且， 所以平面 平面， 又因为 平面， 所以 平面. （2） 以 为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，垂直平面 向上的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，. 所以在 中，， 则 ， 所以，，，，， 故，，. 设平面 的法向量为， 则 令，得. 设直线 与平面 所成的角为 ， 则,， 即直线 与平面 所成角的正弦值为. 18.（本小题满分16分） 斜三棱柱的各棱长都为4, ，点在底面上的投影为的中点. （1） 在棱（含端点）上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.（8分） （2） 求点到平面的距离.（8分） 【解析】 （1） 存在. 点 在底面 上的投影为 的中点， 平面， 连接，由题意知 为正三角形，故, 以 为原点，,,所在直线分别为 轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， 则，， 假设在棱（含端点）上存在一点，使得， 设，,则， , ,,即,， . （2） 由（1）知，,， 设平面 的法向量为， 则 令，则,， ， 易知， 则 到平面 的距离为. 19.（本小题满分16分） 已知数列，满足，，记为的前项和. （1） 若为等比数列，其公比，求；（8分） （2） 若为等差数列，其公差，证明：.（8分） 【解析】 （1） 因为 为等比数列，其公比，所以，所以， 又，所以 是以1为首项，为公比的等比数列， 所以. （2） 证法一：因为 为等差数列，，，所以，所以. 因为，即， 所以， 所以当 时， . 又 符合上式，所以. 所以. 证法二：因为 为等差数列，，，所以，所以. 因为， 即， 所以， 所以数列 为常数列. 因此，所以. 后同证法一. 共4页，第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省随州市部分高中2025—2026学年下学期2月联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.下列函数中，在内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 4.点在平面上以速度做匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（ ） A. B. C. D. 5.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6.若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7.现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是（ ） A. ①抽签法，②分层随机抽样 B. ①随机数法，②分层随机抽样 C. ①随机数法，②抽签法 D. ①抽签法，②随机数法 8.圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知是定义在上不恒为0的奇函数，是的导函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 10.如图，在梯形中，，，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 11.已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 圆与圆相交 C. 当圆与直线相切时， D. 当时，圆截直线所得的弦长为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 13.已知向量，满足，，且，则_ _ _ _ _ _ __ _ _. 14.已知点在抛物线上，过点作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点.若 ，点的横坐标为1，则_ _ _ _ _ _ . 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（本小题满分15分） 已知函数（其中 为自然对数的底数）,0为的一个极值点. （1） 求的值;（7分） （2） 证明:.|（8分） 16.（本小题满分15分） 已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，. （1） 求数列，的通项公式；（7分） （2） 数列满足求数列的前项和.（8分） 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面 平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点. （1） 证明：平面；（7分） （2） 若，求直线与平面所成角的正弦值.（8分） 18.（本小题满分16分） 斜三棱柱的各棱长都为4, ，点在底面上的投影为的中点. （1） 在棱（含端点）上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.（8分） （2） 求点到平面的距离.（8分） 19.（本小题满分16分） 已知数列，满足，，记为的前项和. （1） 若为等比数列，其公比，求；（8分） （2） 若为等差数列，其公差，证明：.（8分） 共4页，第1页 学科网（北京）股份有限公司 $