精品解析：江苏省盐城市东台市第二教育联盟2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试卷

江苏省盐城市东台市第二教育联盟2025-2026学年九年级上学期2月期末 数学试卷 （试卷分值150分，考试时间120分钟，命题范围 九年级上下册） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C 两个矩形 D. 两个等边三角形 3. 已知线段a、b、c，其中c是a、b比例中项，若，，则线段c长（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件 B. 了解一批电视机的使用寿命适合采用普查 C. 要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上必然事件 5. 函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 如图，为的中线且交于点O，过点O作的平行线，交于D，交于E，若，则长为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 7. 如图，是的弦，半径，， 则弦的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 10. 在中，，，那么的最大值为_________． 11. 如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为___________． 12. 如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为______． 13. 盐城市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按、面试按计算总成绩．如果小张笔试成绩为80分，面试成绩为90分，那么小张的总成绩为___________分． 14. 盐城 ，一个让人打开心扉的地方，2024年盐城的空气质量指数优良率持续保持在全国前列．下列数据是2024年某一周盐城的空气质量指数：53，41，27，28，32，28，40，则这组数据的中位数是______． 15. 东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为______ cm（碗的厚度不计）． 16. 如图，在中，，点在上，已知，．则______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 19. 如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． （1）求证∶与相切； （2）若正方形的边长为1，求的半径． 20. 如图，AB、AC分别是半的直径和弦，于点D，过点A作半的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F． （1）求证：PC是半切线； （2）若，，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S． 21. 小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）： （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为________； （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率； （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？ 22. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 23. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 24. 如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 25. 定义：平面直角坐标系中，点 ，点，若，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级垂变点”．例如，点是点的“2级垂变点”． （1）函数的图象上是否存在点的“k级垂变点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）动点与其“k级垂变点”B分别在直线上，直线分别与x轴和y轴交于点C、点D； ①若直线与y轴围成的图形面积是5，求k的值； ②若关于x的二次函数的图象经过点C和点D，该二次函数的图象与x轴的另一个交点是点E，当该二次函数的顶点落在直线上并且满足时，求k的值． 26. 一场暴风雨后，小明家的一扇拱形窗户受损严重，窗框变形需要更换．小明同学参考了一些类似形状的窗框设计，绘制了如图1所示的图形．该图形为轴对称图形，曲线是抛物线的一部分，点O、C和最高点D在同一条直线上．已知，，，点E、F在抛物线上，且关于对称，． （1）根据上述信息，请以点O为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求曲线所在抛物线的关系式； （2）根据窗框设计图和相关数据，小明同学利用勾股定理计算出了窗棱的长，在计算窗棱的长时犯了难，请你帮助小明完成计算； （3）窗框设计完成后，需要定制特殊形状的玻璃，对于图1中形状的玻璃，工人师傅需要在矩形玻璃中切割出来，现有两种切割方案： 【方案一】在矩形中切割掉阴影部分（如图2），其中边，分别在过点C，D作的水平线上，边，分别在过点E，F作的铅垂线上； 【方案二】在矩形中切割掉阴影部分（如图3），其中边与重合，边、与抛物线有且仅有一个公共点（即边、刚好贴在抛物线的边缘），边经过点E． 本着节约的原则，请你帮小明计算哪种切割方案更节省材料． 27. 为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，某校开展了诗词知识竞赛活动，竞赛结束后从八年级和九年级参赛学生的成绩（满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 八年级 95 九年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生诗词知识掌握较好？请说明理由； （3）该校八年级300名学生和九年级200名学生参加了本次诗词知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第二教育联盟2025-2026学年九年级上学期2月期末 数学试卷 （试卷分值150分，考试时间120分钟，命题范围 九年级上下册） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可．本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、是反比例函数，故本选项不正确． 故选：C． 2. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似多边形的判定，菱形，矩形和等边三角形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形，故D符合题意． ∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故A，B，C不符合题意； 故选：D． 3. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段c长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据比例中项的定义，c是a和b的比例中项，则，代入数值计算即可． 【详解】解：∵c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴或（舍去）， ∴线段的长为， 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件 B. 了解一批电视机的使用寿命适合采用普查 C. 要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件、调查方式的选择、统计图的选择、必然事件逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件，故本选项符合题意； B. 了解一批电视机的使用寿命适合采用抽样调查，故本选项不符合题意； C. 要反应一周内每天气温的变化情况适宜采用折线统计图，故本选项不符合题意； D. 抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了随机事件、调查方式的选择、统计图的选择、必然事件等知识点，掌握相关概念是解决本题的关键． 5. 函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数y=xm+1是关于x二次函数 ∴m+1=2，即x=1． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0、次数为2的特征是解答本题的关键． 6. 如图，为的中线且交于点O，过点O作的平行线，交于D，交于E，若，则长为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质．取中点H，连接，可得．根据为的中位线，可得，进而证明，推出，再证，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，取中点H，连接， 为的中线， ， 点H为中点， ， ． 为的中线， 点F为中点， 又点H为中点， 为的中位线， ， ，， ， ， 同理，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，是的弦，半径，， 则弦的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了垂径定理及解直角三角形，过O作弦的垂线，通过构建直角三角形求出弦的长． 【详解】解：过作于C． 则， ∵ ， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是得到是等腰直角三角形． 连接，首先证明出是等腰直角三角形，，得到，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】如图所示，连接 设正方形网格中每个小正方形的边长为1 ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题关键是将方程左边配成完全平方式． 通过配方法将一元二次方程转化为“等号左边是完全平方形式，等号右边是数字”的形式，从而求出的值． 【详解】 移项得：， 配方得：， 即：， ∴ ． 故答案为． 10. 在中，，，那么的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的判别式和最值的知识点，需熟记勾股定理的运用和最值问题．过点作于点，令，，勾股定理表示出，然后得到，设，得到，代入，得到，然后利用判别式求解即可．利用勾股定理和取最值即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 令，， 在中， ∵， ∴， ，， 在中，由勾股可得：， ， ∴设， ， 代入 可得：， 整理得， ∴，， 解得：， 即的最大值为． 故答案为：． 11. 如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】解：连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 12. 如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，根据得到，得到，根据三角形的内角和列式计算即可． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接、， ， ， ， ，， ， 解得，， 的度数为， 故答案为：． 13. 盐城市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按、面试按计算总成绩．如果小张笔试成绩为80分，面试成绩为90分，那么小张的总成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 【详解】解：分， ∴小张的总成绩为为84分， 故答案为：． 14. 盐城 ，一个让人打开心扉的地方，2024年盐城的空气质量指数优良率持续保持在全国前列．下列数据是2024年某一周盐城的空气质量指数：53，41，27，28，32，28，40，则这组数据的中位数是______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数定义求解即可，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：27，28，28，32，40，41，53， 故这组数据的中位数是32， 故答案为：32． 15. 东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为______ cm（碗的厚度不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，用待系数法求出函数解析式是解题的关键. 设抛物线解析式为，用待系数法求出函数解析式，当汤面高度为时，代入解析式计算即可得到答案. 【详解】解：设抛物线解析式为， 根据题意得， ， ， 抛物线解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降cm时，汤面高度为， ， ， 碗中汤面水平宽度为， 故答案为：. 16. 如图，在中，，点在上，已知，．则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据题意可得，，运用特殊角的三角函数值的计算得到，，则，，由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，重点考查配方法的运用．先通过移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边添加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解未知数． 【详解】解：移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或； ∴，． 18. 如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆周角定理的推论，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：是直径， ， 又， ， ， ， 19. 如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． （1）求证∶与相切； （2）若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． 【小问1详解】 证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； 【小问2详解】 解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 20. 如图，AB、AC分别是半的直径和弦，于点D，过点A作半的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F． （1）求证：PC是半的切线； （2）若，，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，由题意可证△OCP≌△OAP（SSS），利用全等三角形的对应角相等以及切线的性质定理可得，即可证得结论； （2）根据AB＝6，∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，可求得OD、AC，然后根据S＝S扇形AOC－S△AOC即可求得结果． 【小问1详解】 证明：如图，连接OC， ∵PA是半⊙O的切线， ∴PA⊥OA， ∴∠OAP＝90°， ∵OD⊥AC，OD经过圆心O， ∴CD＝AD， ∴PC＝PA， ∵OC＝OA，OP＝OP， ∴△OCP≌△OAP（SSS）， ∴∠OCP＝∠OAP＝90°， ∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC， ∴PC是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：∵AB是⊙O直径，且AB＝6， ∴OA＝OB＝3， ∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°， ∴OD＝OA＝， ∴， ∴AC＝2AD＝， ∴， ∵∠COB＝2∠CAB＝60°， ∴∠AOC＝180°－60°＝120°， ∴S扇形AOC＝， ∴S＝S扇形AOC－S△AOC＝． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定、扇形的面积公式、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理和直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半．熟练掌握切线的性质和判定、扇形的面积公式和做辅助线的方法是解题的关键． 21. 小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）： （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为________； （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率； （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？ 【答案】（1） （2）见解析， （3）建议小明在第一题使用“求助” 【解析】 【分析】（1）由第一道单选题有个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用表示第一道单选题的个选项，表示剩下的第二道单选题的个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案； （3）分别计算出来第一题使用“求助”和第二题使用“求助”的概率，比较大小，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵第一道单选题有3个选项， ∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：； 故答案为：. 【小问2详解】 解：分别用表示第一道单选题的个选项，表示剩下的第二道单选题的个选项，画树状图得： ∵共有种等可能的结果，小明顺利通关的只有种情况， ∴小明顺利通关的概率为：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关概率为， 如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：， ∵ ∴建议小明在第一题使用“求助”． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）和； （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、画二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）令，，分别求解即可； （2）利用描点法画出图象即可； （3）根据函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：当时，，解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点为和， 当时，，即该二次函数图象与y轴的交点为; 【小问2详解】 解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标为， 画出函数图象如图所示： ； 【小问3详解】 解：当时，，当时，或， ∴当时，x的取值范围． 23. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 24. 如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）存在，点P的坐标为或 （3）n的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点A坐标，然后利用待定系数法可求抛物线解析式以及b值； （2）求出点B坐标，由直线的解析式可得，分两种情况：当时，当时，分别求出点P的横坐标即可； （3）分别求出直线过点时n的值以及直线与抛物线有唯一公共点时n的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交点为， ∴，， ∴， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 将代入得， 解得； 【小问2详解】 解：存在； 令， 解得，， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， 当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1， 把代入得， ∴此时， 当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点， ∴点E的横坐标为， ∴点P的横坐标为， 把代入得， ∴此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为， 当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，可得， 即只有一个实数解， ∴， 解得； ∴若直线与该新图象恰好有四个公共点，此时n的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，二次函数图象与几何变换等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 25. 定义：平面直角坐标系中，点 ，点，若，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级垂变点”．例如，点是点的“2级垂变点”． （1）函数的图象上是否存在点的“k级垂变点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）动点与其“k级垂变点”B分别在直线上，直线分别与x轴和y轴交于点C、点D； ①若直线与y轴围成的图形面积是5，求k的值； ②若关于x的二次函数的图象经过点C和点D，该二次函数的图象与x轴的另一个交点是点E，当该二次函数的顶点落在直线上并且满足时，求k的值． 【答案】（1）存在； （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）①动点在直线上，其“k级垂变点”B点坐标为，得的方程为：，可知 与y轴交于 ，与y轴交于 ，与x轴交于，根据面积公式求解即可； ②二次函数的图象经过点 和点，得方程，可得顶点在上，联立方程，求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象上存在点的“k级垂变点” 根据“k级垂变点”定义，点的“k级垂变点”为， 把点代入中， 得，解得． 【小问2详解】 ①动点在直线上，其“k级垂变点”B点坐标为，消去t得的函数为：， 与y轴交于 ，与y轴交于 ，与x轴交于 两直线的交点为：解得：， ∴三角形的底为： ，高为： 两直线与y轴围成的三角形面积为： 得：，解得：或； ②∵与x轴交点： 令， ， ∴， ∴ 与y轴交点： 令，， ∴ ∵二次函数经过和， 代入：则， 代入：则恒成立， ∵， ∴， ∵， ∴① 二次函数的图象与x轴另一交点为，设， ∵，即， ∴， ∵二次函数经过 和， ∴可写为： 则与给定形式比较， ∴，由， ∵， ∴② 由，代入方程①：得， ∴， 又由方程2，，所以一致， ∵顶点在上，二次函数顶点横坐标 ∵， ∴纵坐标． 代入： 即：， 又， 分情况： 情况1： 则， ∴， ∴， ， ∴ 代入顶点： 左边： 右边： ∵， ∴， ∴左边： 右边： ∴， 解得； 情况2： ∵， ∴， ∴， 代入顶点： 左边： 右边： ∵， ∴， ∴左边：， 右边：， ∴， 解得 综上，或． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，反比例函数的性质，求一次函数的关系式，二次函数图象和性质，理解“k级垂变点”是解题的关键． 26. 一场暴风雨后，小明家的一扇拱形窗户受损严重，窗框变形需要更换．小明同学参考了一些类似形状的窗框设计，绘制了如图1所示的图形．该图形为轴对称图形，曲线是抛物线的一部分，点O、C和最高点D在同一条直线上．已知，，，点E、F在抛物线上，且关于对称，． （1）根据上述信息，请以点O为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求曲线所在抛物线的关系式； （2）根据窗框设计图和相关数据，小明同学利用勾股定理计算出了窗棱的长，在计算窗棱的长时犯了难，请你帮助小明完成计算； （3）窗框设计完成后，需要定制特殊形状的玻璃，对于图1中形状的玻璃，工人师傅需要在矩形玻璃中切割出来，现有两种切割方案： 【方案一】在矩形中切割掉阴影部分（如图2），其中边，分别在过点C，D作的水平线上，边，分别在过点E，F作的铅垂线上； 【方案二】在矩形中切割掉阴影部分（如图3），其中边与重合，边、与抛物线有且仅有一个公共点（即边、刚好贴在抛物线的边缘），边经过点E． 本着节约的原则，请你帮小明计算哪种切割方案更节省材料． 【答案】（1） （2）50 （3）方案二更省材料 【解析】 【分析】本题考查数学建模，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，解直角三角形； （1）设抛物线的关系式为，将代入，即可求解； （2）过点B作，交于点G，过点G作，交于点P，，过点F作，证明可得，，利用三角形面积可得，再利用解直角三角形可求出点G坐标为，进而求出直线解析式为，将与抛物线解析式联立为方程组可求出点F的坐标为，最后可求出的长度； （3）可先求出，再分别求出直线、直线、直线的解析式，再利用平行线间的距离公式求出、的值，进而求出，进而可判断出方案二更节省材料. 【小问1详解】 解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∵，，， ∴，，， ∵抛物线顶点为D，经过点A、点B， ∴可设抛物线的关系式为，将代入得：， 解得：， ∴抛物线的关系式为. 【小问2详解】 解：过点B作，交于点G，过点G作，交于点P，，过点F作，如图所示： ∵，，， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点Q为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点G坐标为， ∵点C坐标为， ∴可设直线解析式为，代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，将与抛物线解析式联立为方程组得： ，解得：或（舍去） ∴点F的坐标为， ∴，， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：方案一：如图所示， 由（2）得：， ∵点E、F在抛物线上，且关于对称， ∴， ∴， 又∵， ∴， 方案二：如图所示， 由（2）可得直线解析式为， ∵矩形中，， ∴可设直线解析式为，代入得：， 解得：， ∵矩形中，， ∴可设直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， 令，即， ∵边与抛物线有且仅有一个公共点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵矩形中，， ∴可设直线的解析式为， 令，即， ∵边与抛物线有且仅有一个公共点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴方案二更节省材料． 27. 为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，某校开展了诗词知识竞赛活动，竞赛结束后从八年级和九年级参赛学生的成绩（满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 八年级 95 九年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的______，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生诗词知识掌握较好？请说明理由； （3）该校八年级300名学生和九年级200名学生参加了本次诗词知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1），， （2）八年级的学生诗词知识掌握较好，理由见解析； （3）估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为360． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，利用方差作决策，从统计图中有效的获取信息，熟练掌握各数的计算方法是解题的关键： （1）根据平均数，中位数的计算方法进行计算，根据方差的意义结合统计图判断方差的大小关系； （2）利用平均数和方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 九年级的数据排序后，第5个和第6个数据分别为， ∴； 由统计图可知，九年级的成绩波动程度大于八年级的成绩波动， ∴； 【小问2详解】 解：八年级的学生诗词知识掌握较好，理由如下： 八年级成绩的平均数大于九年级成绩的平均数，且八年级成绩的方差小于九年级成绩的方差，故八年级的学生诗词知识掌握较好； 【小问3详解】 解：（名）； 答：估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为360． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $