精品解析：江苏盐城市东台市2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试卷（A）

2025~2026学年度第一学期期末考试 九年级数学样卷A （试卷分值150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 2.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座位号填写在答题卡上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是关于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 3. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 5. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条．试估计该鱼塘中鱼的数量约为（ ） A. 800条 B. 1200条 C. 1500条 D. 3000条 8. 我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为万辆，2024年7月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9. 某地某日最高气温为12℃，最低气温为-7℃，该日气温的极差是________℃． 10. 某校体育期末考核“立定跳远”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．小林这两项的成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为______分． 11. 在中，和均为锐角，且，则______度． 12. 已知扇形的面积为6π，半径为4，则该扇形的弧长为_______ ． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 14. 如图，在中，，，正方形的顶点分别在上，在上，则正方形的边长为______． 15. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 16. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的“相关矩形”．例如：如图，函数（）的图象，它的“相关矩形”为矩形．若二次函数（）图象的“相关矩形”恰好也是矩形，则______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE. 求证：△ABE∽△ADC . 19. 如图，在中，，，，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求代数式的值． 21. 某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）： 月销售量 600 500 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 3 （1）求该公司营销人员该月销售量的平均数； （2）该公司营销人员该月销售量的中位数是______，众数是______； （3）假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位营销人员的月销售指标？说说你的理由． 22. 马年吉祥，事事如意，这是丙午马年与如意吉祥之间最妙的创意连接．现将分别印有“事”“事”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除印的字外形状、大小、质地等完全相同． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，求摸出的这张卡片上印有“事”的概率． （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求两次摸出的卡片上印有“如”“意”的概率． 23. 已知二次函数． （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出此函数的图象（描个点即可）； （3）当时，利用图象直接写出的取值范围： ． 24. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处的俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）． 25. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 26. 问题情境 小东妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小东帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价/（元/盆） 日销售量/盆 A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）将以上调查数据按照一定顺序重新整理，把下表补充完整： 售价（元/盆） 18 20 22 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 模型建立 （2）设日销售量为y盆，售价为x元，根据数据的变化规律，估计y与x之间的函数关系，并求出y关于x的函数表达式； 拓展应用 （3）根据以上信息，小东妈妈在销售该种花卉中， ①若售价定为20元一盆，则每天的利润可以达到 元； ②要想每天获得400元的利润，且售价不可以超过题目中所提到的五家花店售价的最高价，应如何定价？ ③每盆售价不低于成本，每盆利润率不高于，当每盆售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少元？ 27. 借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． （1）当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． （2）当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末考试 九年级数学样卷A （试卷分值150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 2.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座位号填写在答题卡上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是关于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程中若为0，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，理解题意是解决本题的关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，即可判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为5，的半径为6，且， ∴点P在圆内． 故选：A． 3. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握正弦的定义． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：根据题意得，， （米）， 故选：A． 4. 点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断，的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：A． 5. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：解：由图，根据对应性，可得． 故选：B 6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， 故选：． 7. 为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条．试估计该鱼塘中鱼的数量约为（ ） A. 800条 B. 1200条 C. 1500条 D. 3000条 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体、分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 利用标记重捕法的比例关系，标记鱼在总体中的比例等于在样本中的比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设鱼塘中鱼的总数量为条， 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴估计鱼塘中鱼的数量约为1200条． 故选：B． 8. 我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为万辆，2024年7月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了平均增长率问题，正确列方程解答是解题的关键． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得， 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）． 9. 某地某日最高气温为12℃，最低气温为-7℃，该日气温的极差是________℃． 【答案】19 【解析】 【详解】试题解析：极差=12−(−7)=12+7=19. 故答案为19. 10. 某校体育期末考核“立定跳远”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．小林这两项的成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，利用加权平均数公式直接计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，期末成绩分， 故答案为：． 11. 在中，和均为锐角，且，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值及绝对值的非负性，根据非负式子和为0它们分别等于0，求出两个角的三角函数值，从而得到角度，最后结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 已知扇形的面积为6π，半径为4，则该扇形的弧长为_______ ． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长． 【详解】 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积与弧长的关系，熟记扇形的面积是解题的关键． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解决本题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，正方形的顶点分别在上，在上，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作于，交于点，由正方形的性质可得，，即得，设正方形的边长为，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理可得，再利用解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，即，， ∴， ∵，，， ∴ 设正方形的边长为，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 15. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点D在该量角器所在的圆上， ∴， 故答案为：55． 16. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的“相关矩形”．例如：如图，函数（）的图象，它的“相关矩形”为矩形．若二次函数（）图象的“相关矩形”恰好也是矩形，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出点的坐标，再根据定义分抛物线经过点和点两种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：把代入函数，得， ∴， 由题意知， ∵四边形是矩形， ∴， 当抛物线经过点时，把和代入得， ， 解得； 当抛物线经过点时，把和代入得， ， 解得； 综上，若二次函数（）图象的“相关矩形”恰好也是矩形，则或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程转化为一般形式，利用公式法进行求解即可． 【详解】解：由得： ∴ ； ． 18. 如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE. 求证：△ABE∽△ADC . 【答案】见解析 【解析】 【分析】由AE是⊙O的直径可得∠ABE是直角，所以∠ABE=∠ADC，由∠C、∠E是同弧 所对的圆周角可得∠C=∠E，所以△ABE与△ADC相似． 【详解】证明：∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90°， ∵AD是△ABC的边BC上的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠ABE=∠ADC． 又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA． ∴△ABE ∽△ADC． 【点睛】考查了圆周角的性质和三角形相似的判定方法，解题关键是由利用了圆周角性质得出∠BEA=∠DCA. 19. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于，利用锐角三角函数的定义分别求出，再相加即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求代数式的值． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程的根、求代数式的值； （1）计算一元二次方程的判别式，再根据判别式的符号证明即可； （2）代入到方程，得到，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 证明： ∵，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：代入到方程，得， ∴， ∴． 21. 某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）： 月销售量 600 500 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 3 （1）求该公司营销人员该月销售量的平均数； （2）该公司营销人员该月销售量的中位数是______，众数是______； （3）假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位营销人员的月销售指标？说说你的理由． 【答案】（1）360件 （2）； （3）件，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一组数据平均数的求法，以及众数与中位数的求法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解决此题的关键． （1）运用平均数的求法计算该公司营销人员该月销售量的平均数即可； （2）结合众数的定义，即在一组数据中出现次数最多的即是众数，中位数是将一组数据按大小排列后，最中间的1个或两个的平均数，求出即可； （3）结合实际，应以众数为参考依据，分析得出合理的答案． 【小问1详解】 解： （件）， 答：该公司营销人员该月销售量的平均数为360件； 【小问2详解】 解：将这组数据按大小顺序排列后，其中位数为350件； 出现了7次，次数最多， 众数是300件． 故答案为：350，300； 【小问3详解】 解：制定月销售量指标时，要能使大部分员工达标，应以众数为参考依据，将每位营销人员的月销售量定为300件． 22. 马年吉祥，事事如意，这是丙午马年与如意吉祥之间最妙的创意连接．现将分别印有“事”“事”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除印的字外形状、大小、质地等完全相同． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，求摸出的这张卡片上印有“事”的概率． （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求两次摸出的卡片上印有“如”“意”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“事”的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“如”“意”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“事”的结果有2种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“事”的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的结果有2种， ∴（摸出的这两张卡片上印有“如”“意”）． 23. 已知二次函数． （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出此函数的图象（描个点即可）； （3）当时，利用图象直接写出的取值范围： ． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）画图见解析 （3） 【解析】 【分析】（）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标及对称点的坐标，再描点连线即可画出函数图象； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，画二次函数的图象，二次函数与不等式，正确画出二次函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴此函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 又∵顶点坐标为， ∴画二次函数图象如下： 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，的取值范围为， 故答案为：． 24. 无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处的俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作于，过点作于，由可得米，米，进而得到米，再由得，即得，即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，则， 由题意得，米，，， 在中，米，米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 在中，米， ∴米， 答：大楼的高度为米． 25. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，由等腰三角形的性质得，，进而由得到，即得到，即可求证； （）过点作于，设的半径为，由锐角三角函数的定义可得，即得，得到，解得，即得到，，再利用三角形面积可得，得到，最后利用等腰三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，锐角三角函数等，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线与相切 【小问2详解】 解：过点作于，设的半径为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 26. 问题情境 小东妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小东帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价/（元/盆） 日销售量/盆 A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）将以上调查数据按照一定顺序重新整理，把下表补充完整： 售价（元/盆） 18 20 22 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 模型建立 （2）设日销售量为y盆，售价为x元，根据数据的变化规律，估计y与x之间的函数关系，并求出y关于x的函数表达式； 拓展应用 （3）根据以上信息，小东妈妈在销售该种花卉中， ①若售价定为20元一盆，则每天的利润可以达到 元； ②要想每天获得400元的利润，且售价不可以超过题目中所提到的五家花店售价的最高价，应如何定价？ ③每盆售价不低于成本，每盆利润率不高于，当每盆售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）见解析；（2）一次函数关系；；（3）①250元；②25元；③当每盆售价定为27元时，每天能够获得最大利润，最大利润是432元 【解析】 【分析】本题考查了统计表、求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意补全表格即可； （2）根据表格可知，y与x之间的函数关系为一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （3）①根据题意即可求解；②设每盆售价应定为x元，根据题意列出方程，求出x的值即可解答；③设每盆售价应定为x元，每天的利润为元，根据题意列出与x的关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）补全表格如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 （2）根据表格可知，y与x之间的函数关系为一次函数关系， 设y关于x的函数表达式为， 代入和得，， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （3）①当售价定为20元一盆，日销售量为50盆， ∴每天的利润可以达到（元）； 故答案为：250； ②设每盆售价应定为x元，则日销售量为盆， 根据题意，可得， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每盆售价应定为25元； ③设每盆售价应定为x元，每天的利润为元， 则， 由题意得，，即， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当每盆售价定为27元时，每天能够获得最大利润，最大利润是432元． 27. 借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． （1）当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． （2）当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （3）设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【答案】（1）①；② （2）作图见解析 （3）当时， 最小值；当时，最小值 【解析】 【分析】（）①由圆周角定理得，进而可得是等腰直角三角形，即得，再利用勾股定理求出即可求解；②过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接，由等腰直角三角形的性质可得，即得，，由垂径定理得，再根据矩形的性质得，，设，则，利用勾股定理可得，即得，再求出即可求解； （）作的垂直平分线交于点，由可知是等腰直角三角形，即可得是等腰直角三角形，故与相切于点，点即为所求； （）当以为直径的圆与相切时，可得，再分和两种情况解答即可求解． 【小问1详解】 解：①∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为， 故答案为：； ②如图，过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的半径为； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，以为直径的圆与相切时，，， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 当时， ； 当时，可知当与相切时，半径最小，如图，过点作于，的延长线交于点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上，当时， 最小值；当时，最小值． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $