专题1.2 整式的乘法（4大知识点+ 9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦整式的乘法核心知识点，系统梳理单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，通过对比表明晰三种乘法的运算核心、结果特征及易错点，构建从基础到综合的学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题巩固法则应用，培优题结合图形面积培养几何直观，压轴题通过规律探究发展创新意识。课中辅助教师落实运算能力与推理意识培养，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与模型构建能力。

专题1.2 整式的乘法 知识点1：单项式与单项式相乘 1.核心法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2.运算步骤： 系数相乘：确定积的系数（包括符号，遵循有理数乘法法则）； 同底数幂相乘：底数不变，指数相加（遵循同底数幂乘法法则）； 单独字母保留：只在一个单项式中出现的字母，连同其指数直接作为积的因式。 知识点2：单项式与多项式相乘 1.核心法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（本质是乘法分配律的应用），用式子表示为：（为单项式，为多项式的项）。 2.注意事项： 符号处理：多项式的每一项都包含前面的符号，相乘时需注意符号运算（同号得正，异号得负）； 不重不漏：确保单项式与多项式的每一项都相乘，避免漏乘常数项； 结果整理：所得积中若有同类项，需合并同类项化简。 知识点3：多项式与多项式相乘 1.核心法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用式子表示为：（为单项式或常数）。 2.运算本质：通过乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，即先将看作整体，分别与、相乘，再展开计算。 3.关键要点： 顺序运算：按一定顺序（如“先左后右、先上后下”）相乘，避免重乘或漏乘； 符号法则：每一项相乘时，连同前面的符号一起运算； 合并同类项：展开后及时合并同类项，使结果最简。 知识点4：三种整式乘法对比表 乘法类型 运算核心 运算结果特征 易错点提示 单项式×单项式 系数相乘、同底数幂相加、单独字母保留 结果为单项式 系数符号错误、同底数幂指数运算混淆 单项式×多项式 分配律+单项式×单项式 结果为多项式，项数与原多项式项数相同 漏乘多项式的常数项、符号处理失误 多项式×多项式 逐项相乘+单项式×单项式 合并前项数=两个多项式项数之积，合并后为多项式 漏乘某一项、同类项未合并、符号错误 【基础必考题型】 【题型1】单项式与单项式直接相乘 1.核心知识点 单项式×单项式的运算法则； 同底数幂乘法、积的乘方的综合应用。 2.解题方法技巧 分步运算：先算系数（含符号），再算同底数幂，最后保留单独字母； 验证检查：结果的系数为各系数乘积，同底数幂指数为各指数之和，单独字母及指数不变。 【例题1】.（25-26八年级上·北京西城·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘法，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，掌握其运算法则是关键，根据有理数乘法和幂的运算性质计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·广东·期末）下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则. 逐一计算各选项并判断正误即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型2】单项式与多项式基础运算 1.核心知识点 单项式×多项式的分配律应用； 同类项的合并规则。 2.解题方法技巧 分配律展开：将单项式分别与多项式的每一项相乘，注意符号随项一起运算； 合并化简：展开后逐一合并同类项，确保结果无同类项残留。 【例题2】.（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算法则，解题的关键是正确运用分配律，将单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解： 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·上海·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，根据分配律，将单项式乘以多项式中的每一项，然后合并结果即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了单项式乘多项式、合并同类项，关键是运用运算法则进行计算； （1）先算单项式乘多项式再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先算单项式乘多项式再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 上式； （2）解：原式 ， 当，时， 上式． 【题型3】多项式与多项式基础展开 1.核心知识点 多项式×多项式的逐项相乘法则； 符号运算与同类项合并。 2.解题方法技巧 箭头标注法：用箭头连接需相乘的项（如标注、、、），避免漏乘； 分步合并：先展开所有项，再按同类项分组合并，减少符号错误。 【例题3】.（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可得到结果 【详解】解：， 故选：B． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 展开左边多项式，与右边对比常数项． 【详解】解：左边展开： ， 与右边对比， 得， 故答案为：． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含和项，则 ， ． 【答案】 3 9 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算及多项式的相关概念，关键知识点是：多项式中不含某一项，则该项的系数为0．先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据展开式中不含和项，分别令这两项的系数为0，得到关于、的方程，解方程即可求出、的值． 【详解】解：． ∵展开式中不含和项， ∴项的系数，项的系数， 解得，； 故答案为：，． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4】利用整式乘法求字母值 1.核心知识点 整式乘法法则； 等式两边同类项系数相等的性质。 2.解题方法技巧 展开整理：将等式左边按整式乘法法则展开，合并同类项； 系数对应：等式两边同类项的系数相等，列方程求解字母值。 【例题4】.（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 【变式题4-1】.（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 【变式题4-2】.（23-24八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，为常数，且为恒等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 【培优高频题型】 【题型5】整式乘法的化简求值 1.核心知识点 单项式×多项式、多项式×多项式法则； 整体代入思想。 2.解题方法技巧 先化简：按法则展开所有乘法运算，合并同类项至最简形式； 再求值：将字母取值或整体代数式的值代入化简结果，避免直接代入原式计算繁琐。 【例题5】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为0 【分析】本题考查整式的乘法运算及化简求值，核心是掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法．先依据整式乘法法则展开原式的各项，再通过去括号、合并同类项将整式化简为最简形式，最后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式题5-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了计算单项式乘多项式及求值，先根据单项式乘多项式运算法则进行化简，然后把代入求值即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当 时， 原式 ． 【变式题5-3】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值．需通过去括号、合并同类项来化简多项式，再代入数值计算．需注意符号的变化． 【详解】解：原式= 当时： 【题型6】整式乘法与图形面积综合 1.核心知识点 整式乘法法则； 长方形、梯形等基本图形的面积公式。 2.解题方法技巧 面积建模：根据图形形状，用整式表示边长，列出面积表达式（直接公式或面积和差）； 整式运算：通过整式乘法化简面积表达式，结合已知条件求解。 【例题6】.（25-26八年级上·山西临汾·月考）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观获得结论．如图1，从整体看，这个图形是一个长为，宽为的长方形，其面积表示为，从局部看，这个图形由4个长方形组成，面积分别为，，，，则这个长方形的面积还可以表示为．因为这两个代数式表示的是同一个图形的面积，所以． 任务： (1)上述数学活动主要体现的数学思想是______． A．分类讨论            B．特殊与一般            C．数形结合 (2)如图2，根据上述材料提供的方法，可以推导出等式______． (3)等式也可以借助图形的面积进行解释，请模仿材料中的方法，画出能推导出该等式的示意图（在你所画的图形中添加标记）． 【答案】(1)C (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的几何背景，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）本题是代数与几何的结合，故是数形结合思想； （2）根据图形面积的两种表示方式得出结论； （3）模仿材料中的方法，画出能推导出该式子的示意图即可． 【详解】（1）解：上述数学活动主要体现的数学思想是数形结合， 故选：C； （2）解：可以推导出：， 故答案为：； （3）解：如图， 【变式题6-1】.（25-26八年级上·重庆·期末）数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是___________； (2)利用（1）中结论，解决下面问题，若，则___________． (3)如图3，四边形，，是正方形，四边形和是长方形，其中长方形的面积是，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为500． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积，代数式求值，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式直接计算得出面积，或者用大正方形的面积减去周围小图形的面积，列等式即可； （2）根据（1）中结论，整体代入计算即可； （3）设阴影部分的面积为S，，则，，然后根据长方形面积公式可得，得到，根据计算即可． 【详解】（1）解：根据图形得， 故答案为：； （2）解：由（1）知， 则 ； 故答案为：30； （3）解：∵四边形是正方形， ∴设阴影部分的面积为S，， ∵， ∴，， ∵长方形的面积是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形，是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ． 答：阴影部分的面积为500． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图1是一个长方形窗户，它是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是和（即，），且．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形）的面积． 如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸至．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸时，恰好与在同一直线上（即点、、在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含、的代数式表示） (2)如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸至时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含、的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，多项式的乘法，整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据题意求得长方形窗户的长为，宽为，即可求得面积； （2）窗户透光的面积等于总面积减去遮阳帘的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 长方形窗户的总面积为； （2）上面窗户遮阳帘的面积为， 下面窗户的遮阳帘的面积为， 窗户透光的面积为． 【题型7】不含某一项的整式乘法问题 1.核心知识点 多项式×多项式的展开法则； 同类项合并与系数为0的条件。 2.解题方法技巧 展开合并：将多项式相乘展开，合并同类项得到标准多项式形式（按某字母降幂排列）； 系数为0：令不含项的系数等于0，列方程求解字母值（如不含项，则项系数为0）。 【例题7】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，甲长方形的两边长分别为；乙长方形的两边长分别为．（其中为正整数）． (1)图中的甲长方形的面积，乙长方形的面积，比较：和的大小，并说明理由； (2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查多项式乘法及列代数式，注意数形结合的运用，比较两个多项式的大小，常用作差法． （1）根据长方形的面积公式列式，利用多项式乘以多项式的法则计算即可求解； （2）根据图中甲的长方形周长算出正方形的边长，后求S与的差即可求解． 【详解】（1）解：（1）． 理由：， ， ∴， ∴． （2）解：图中甲的长方形周长为， ∴该正方形边长为， ∴， ∴这个常数为4． 【变式题7-1】.（21-22八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·湖北黄石·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 【压轴素养题型】 【题型8】整式乘法的规律探究 1.核心知识点 多项式×多项式的展开规律； 数字、式子的规律提炼。 2.解题方法技巧 特例计算：先计算前几个简单式子的展开结果（如、），观察项的系数规律； 归纳通用：用含的代数式表示规律，通过整式乘法验证规律的正确性。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）探究发现： 小明计算下面几个题目：①，②，③，④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明写出发现的规律：__________； （2）面积说明： 上面的规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积证明乘法公式，于是画出如下图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号内的代数式； （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法． （1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论； （2）通过总结（1）的计算结果：，再结合图形的面积，即可得到答案； （3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ，， 总结规律为：， 故答案为：； （2）根据（1）中总结的规律：， 结合图形的面积可知：为长方形的面积， 则为长方形的宽，为长方形的长， 如图所示； （3）根据小明发现的规律，可得． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·上海·期末）以下节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)i）n，；ii） 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、列代数式及多项式，能根据题意得出各式计算结果的系数变化规律是解题的关键． （1）根据所给式子，观察其各项系数，发现规律即可解决问题． （2）①根据所给式子，观察计算结果分别为几次几项式，发现规律即可解决问题；②分别求出所给式子计算结果的各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为1，1， 计算结果中的各项系数依次为1，2，1， 计算结果中的各项系数依次为1，3，3，1， 计算结果中的各项系数依次为1，4，6，4，1， 由此可知，计算结果中的各项系数依次为1，5，10，10，5，1， 即． 故答案为：． （2）解：i）由题知， 计算结果是一个一次二项式， 计算结果中是一个二次三项式， 计算结果中是一个三次四项式， 计算结果是一个四次五项式， 所以计算结果是一个n次项式． 故答案为：n，． ii）计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 所以计算结果各项系数之和为． 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【答案】课本再现：见解析；（1），；（2），；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 课本再现：根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）由题意得，，运用（2）中的规律得出计算结果即可． 【详解】解：课本再现： ； （1）∵， ， ， ……， ∴， 故答案为：，； （2）∵其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)， ∴另外一个两位数的个位数字为， 一般规律是； 证明： ； 故答案为：，； （3）由题意得，， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 【题型9】新定义运算中的整式乘法 1.核心知识点 整式乘法法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为整式乘法与加减运算； 按则计算：根据新定义列出整式表达式，按整式乘法法则化简求解。 【例题9】.（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于任何数，我们规定：．例如：． (1)按照这个规定，请你化简： (2)按照这个规定，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算计算即可； （2）先根据定义的新运算，然后进行计算，最后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1） （2） ， ∵，即， ∴． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案； （3）①根据新定义得到，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此再进一步计算即可．②由，可得，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 【点睛】本题主要考查了新定义，同底数幂除法计算，幂的乘方及积的乘方，多项式的乘法，负整数指数幂的含义，熟记运算法则，理解新定义是解本题的关键． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 【变式题9-3】.（25-26七年级上·重庆·期末）定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法的应用． （1）直接根据新运算的定义计算； （2）通过计算新运算后比较多项式系数，利用恒成立条件求解和，再求． 【详解】（1）解： 则 （2） 则 与比较系数 ∵项系数为0 ∴，得 ∵项系数为 ∴ 代入，得 ∴ 验证常数项：，符合； ∴ 易错点 1.符号运算错误：单项式与多项式相乘时，忽略多项式项前的负号；多项式相乘时，未将项的符号一同参与运算。 2.漏乘问题：单项式漏乘多项式的常数项；多项式相乘时，遗漏部分项的乘法。 3.运算顺序混淆：先算乘法再算乘方，或未合并同类项直接代入求值。 4.同类项合并失误：展开后同类项识别错误，或系数计算错误。 5.含单独字母遗漏：单项式相乘时，未将只在一个单项式中出现的字母连同指数保留。 重点 1.熟练掌握三种整式乘法的核心法则，能准确进行基础运算。 2.掌握整式乘法的符号法则和运算顺序，避免漏乘、错乘。 3.能进行整式乘法与加减的混合运算，熟练合并同类项。 4.会解决整式乘法与图形面积、求字母值、化简求值等基础综合问题。 5.理解整式乘法的本质（转化为单项式相乘），建立“转化”的数学思想。 难点 1.多项式与多项式相乘的逐项运算，避免漏乘和符号错误。 2.“不含某一项”问题的求解，需准确掌握“系数为0”的条件。 3.整式乘法与跨学科情境、新定义运算的结合，需灵活转化实际问题为数学模型。 4.复杂整式乘法的化简推理，能分步拆解代数式并进行逻辑验证。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，熟练应用运算法则计算是关键；根据乘法、乘方、除法运算法则和整式的乘法进行计算即可. 【详解】解：∵ 选项A: ， ∴ A错误. ∵ 选项B: ， ∴ B正确. ∵ 选项C: ， ∴ C错误. ∵ 选项D: ， ∴ D错误. 故选：B. 2．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 3．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开等式左边的多项式，再利用多项式相等时对应项系数相等的性质求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】解：， 根据多项式相等对应项系数相等，得，， ∴． 故选：C． 4．对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 5．若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【详解】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 二、填空题 6．已知 ，则 的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查单项式的乘法，幂的综合运算，熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算法则是解题的关键． 先把左右两边分别计算，再对应字母指数相等求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：6 7． ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 8．已知，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算．利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 9．如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为 ．（用含或的式子表示） 【答案】b 【分析】本题考查了平方差公式的几何解释．熟练掌握长方形面积公式，平方差公式，根据题意正确拼接图形，是解题的关键．把长方形沿折叠，得到，根据长方形性质和面积公式，平方差公式可得，由，即得． 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的规律．根据规律，可得的展开式为 ． 1 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，通过观察杨辉三角的系数规律，每一行的系数由上一行相邻两个系数之和得到，且展开式按a的次数降序排列，据此可求解． 【详解】解：根据给定表格，杨辉三角的系数对应二项式展开系数，时系数为1，5，10，10，5，1， 则的系数为1，6，15，20，15，6，1， 故的展开式为． 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键； （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可； （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算即可； （4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， ． 12．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 13．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的几何背景．根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， ， 当，时，． 14．在一次数学活动中，数学老师组织学习探究：设是方程的一个根，学习小组成员发现如下一系列等式： (1)根据以上规律，用数字填空：__________； (2)小王同学通过观察比较两个相邻等式，提出了一个猜想：设是正整数，若，则．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)13；8 (2)猜想正确；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，规律探索，多项式乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干的信息，得出答案即可； （2）根据，，求出，即可证明结论正确． 【详解】（1）解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴； （2）解：猜想正确；理由如下： ∵，， ∴ ， 即， ∴这个猜想正确． 15．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）小长方形的宽为（2）大长方形的周长为 【分析】本题考查了整式的加减运算和几何图形周长的计算，解题的关键是通过观察图形，建立小长方形长与宽的关系，并用代数式表示出阴影部分的周长． 设小长方形的长为，宽为，由图可知，大长方形的长为，宽为；分别计算图3和图4中阴影部分的周长，再根据两者的差为列出方程求解． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知：， 大长方形的长为，宽为． 图3中阴影部分的周长： 图4中阴影部分的周长： 由题意： ，，． 故小长方形的宽为． （2）解：大长方形的长为，宽为，大长方形周长， 将代入：． 故大长方形的周长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 整式的乘法 知识点1：单项式与单项式相乘 1.核心法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2.运算步骤： 系数相乘：确定积的系数（包括符号，遵循有理数乘法法则）； 同底数幂相乘：底数不变，指数相加（遵循同底数幂乘法法则）； 单独字母保留：只在一个单项式中出现的字母，连同其指数直接作为积的因式。 知识点2：单项式与多项式相乘 1.核心法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（本质是乘法分配律的应用），用式子表示为：（为单项式，为多项式的项）。 2.注意事项： 符号处理：多项式的每一项都包含前面的符号，相乘时需注意符号运算（同号得正，异号得负）； 不重不漏：确保单项式与多项式的每一项都相乘，避免漏乘常数项； 结果整理：所得积中若有同类项，需合并同类项化简。 知识点3：多项式与多项式相乘 1.核心法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用式子表示为：（为单项式或常数）。 2.运算本质：通过乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，即先将看作整体，分别与、相乘，再展开计算。 3.关键要点： 顺序运算：按一定顺序（如“先左后右、先上后下”）相乘，避免重乘或漏乘； 符号法则：每一项相乘时，连同前面的符号一起运算； 合并同类项：展开后及时合并同类项，使结果最简。 知识点4：三种整式乘法对比表 乘法类型 运算核心 运算结果特征 易错点提示 单项式×单项式 系数相乘、同底数幂相加、单独字母保留 结果为单项式 系数符号错误、同底数幂指数运算混淆 单项式×多项式 分配律+单项式×单项式 结果为多项式，项数与原多项式项数相同 漏乘多项式的常数项、符号处理失误 多项式×多项式 逐项相乘+单项式×单项式 合并前项数=两个多项式项数之积，合并后为多项式 漏乘某一项、同类项未合并、符号错误 【基础必考题型】 【题型1】单项式与单项式直接相乘 1.核心知识点 单项式×单项式的运算法则； 同底数幂乘法、积的乘方的综合应用。 2.解题方法技巧 分步运算：先算系数（含符号），再算同底数幂，最后保留单独字母； 验证检查：结果的系数为各系数乘积，同底数幂指数为各指数之和，单独字母及指数不变。 【例题1】.（25-26八年级上·北京西城·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘法，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，掌握其运算法则是关键，根据有理数乘法和幂的运算性质计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·广东·期末）下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则. 逐一计算各选项并判断正误即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型2】单项式与多项式基础运算 1.核心知识点 单项式×多项式的分配律应用； 同类项的合并规则。 2.解题方法技巧 分配律展开：将单项式分别与多项式的每一项相乘，注意符号随项一起运算； 合并化简：展开后逐一合并同类项，确保结果无同类项残留。 【例题2】.（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算法则，解题的关键是正确运用分配律，将单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解： 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·上海·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，根据分配律，将单项式乘以多项式中的每一项，然后合并结果即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了单项式乘多项式、合并同类项，关键是运用运算法则进行计算； （1）先算单项式乘多项式再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先算单项式乘多项式再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 上式； （2）解：原式 ， 当，时， 上式． 【题型3】多项式与多项式基础展开 1.核心知识点 多项式×多项式的逐项相乘法则； 符号运算与同类项合并。 2.解题方法技巧 箭头标注法：用箭头连接需相乘的项（如标注、、、），避免漏乘； 分步合并：先展开所有项，再按同类项分组合并，减少符号错误。 【例题3】.（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可得到结果 【详解】解：， 故选：B． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 展开左边多项式，与右边对比常数项． 【详解】解：左边展开： ， 与右边对比， 得， 故答案为：． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含和项，则 ， ． 【答案】 3 9 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算及多项式的相关概念，关键知识点是：多项式中不含某一项，则该项的系数为0．先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据展开式中不含和项，分别令这两项的系数为0，得到关于、的方程，解方程即可求出、的值． 【详解】解：． ∵展开式中不含和项， ∴项的系数，项的系数， 解得，； 故答案为：，． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4】利用整式乘法求字母值 1.核心知识点 整式乘法法则； 等式两边同类项系数相等的性质。 2.解题方法技巧 展开整理：将等式左边按整式乘法法则展开，合并同类项； 系数对应：等式两边同类项的系数相等，列方程求解字母值。 【例题4】.（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 【变式题4-1】.（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 【变式题4-2】.（23-24八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，为常数，且为恒等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 【培优高频题型】 【题型5】整式乘法的化简求值 1.核心知识点 单项式×多项式、多项式×多项式法则； 整体代入思想。 2.解题方法技巧 先化简：按法则展开所有乘法运算，合并同类项至最简形式； 再求值：将字母取值或整体代数式的值代入化简结果，避免直接代入原式计算繁琐。 【例题5】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为0 【分析】本题考查整式的乘法运算及化简求值，核心是掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法．先依据整式乘法法则展开原式的各项，再通过去括号、合并同类项将整式化简为最简形式，最后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式题5-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了计算单项式乘多项式及求值，先根据单项式乘多项式运算法则进行化简，然后把代入求值即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当 时， 原式 ． 【变式题5-3】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值．需通过去括号、合并同类项来化简多项式，再代入数值计算．需注意符号的变化． 【详解】解：原式= 当时： 【题型6】整式乘法与图形面积综合 1.核心知识点 整式乘法法则； 长方形、梯形等基本图形的面积公式。 2.解题方法技巧 面积建模：根据图形形状，用整式表示边长，列出面积表达式（直接公式或面积和差）； 整式运算：通过整式乘法化简面积表达式，结合已知条件求解。 【例题6】.（25-26八年级上·山西临汾·月考）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观获得结论．如图1，从整体看，这个图形是一个长为，宽为的长方形，其面积表示为，从局部看，这个图形由4个长方形组成，面积分别为，，，，则这个长方形的面积还可以表示为．因为这两个代数式表示的是同一个图形的面积，所以． 任务： (1)上述数学活动主要体现的数学思想是______． A．分类讨论            B．特殊与一般            C．数形结合 (2)如图2，根据上述材料提供的方法，可以推导出等式______． (3)等式也可以借助图形的面积进行解释，请模仿材料中的方法，画出能推导出该等式的示意图（在你所画的图形中添加标记）． 【答案】(1)C (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的几何背景，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）本题是代数与几何的结合，故是数形结合思想； （2）根据图形面积的两种表示方式得出结论； （3）模仿材料中的方法，画出能推导出该式子的示意图即可． 【详解】（1）解：上述数学活动主要体现的数学思想是数形结合， 故选：C； （2）解：可以推导出：， 故答案为：； （3）解：如图， 【变式题6-1】.（25-26八年级上·重庆·期末）数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是___________； (2)利用（1）中结论，解决下面问题，若，则___________． (3)如图3，四边形，，是正方形，四边形和是长方形，其中长方形的面积是，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为500． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积，代数式求值，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式直接计算得出面积，或者用大正方形的面积减去周围小图形的面积，列等式即可； （2）根据（1）中结论，整体代入计算即可； （3）设阴影部分的面积为S，，则，，然后根据长方形面积公式可得，得到，根据计算即可． 【详解】（1）解：根据图形得， 故答案为：； （2）解：由（1）知， 则 ； 故答案为：30； （3）解：∵四边形是正方形， ∴设阴影部分的面积为S，， ∵， ∴，， ∵长方形的面积是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形，是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ． 答：阴影部分的面积为500． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图1是一个长方形窗户，它是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是和（即，），且．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形）的面积． 如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸至．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸时，恰好与在同一直线上（即点、、在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含、的代数式表示） (2)如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸至时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含、的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，多项式的乘法，整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据题意求得长方形窗户的长为，宽为，即可求得面积； （2）窗户透光的面积等于总面积减去遮阳帘的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 长方形窗户的总面积为； （2）上面窗户遮阳帘的面积为， 下面窗户的遮阳帘的面积为， 窗户透光的面积为． 【题型7】不含某一项的整式乘法问题 1.核心知识点 多项式×多项式的展开法则； 同类项合并与系数为0的条件。 2.解题方法技巧 展开合并：将多项式相乘展开，合并同类项得到标准多项式形式（按某字母降幂排列）； 系数为0：令不含项的系数等于0，列方程求解字母值（如不含项，则项系数为0）。 【例题7】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，甲长方形的两边长分别为；乙长方形的两边长分别为．（其中为正整数）． (1)图中的甲长方形的面积，乙长方形的面积，比较：和的大小，并说明理由； (2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查多项式乘法及列代数式，注意数形结合的运用，比较两个多项式的大小，常用作差法． （1）根据长方形的面积公式列式，利用多项式乘以多项式的法则计算即可求解； （2）根据图中甲的长方形周长算出正方形的边长，后求S与的差即可求解． 【详解】（1）解：（1）． 理由：， ， ∴， ∴． （2）解：图中甲的长方形周长为， ∴该正方形边长为， ∴， ∴这个常数为4． 【变式题7-1】.（21-22八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·湖北黄石·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 【压轴素养题型】 【题型8】整式乘法的规律探究 1.核心知识点 多项式×多项式的展开规律； 数字、式子的规律提炼。 2.解题方法技巧 特例计算：先计算前几个简单式子的展开结果（如、），观察项的系数规律； 归纳通用：用含的代数式表示规律，通过整式乘法验证规律的正确性。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）探究发现： 小明计算下面几个题目：①，②，③，④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明写出发现的规律：__________； （2）面积说明： 上面的规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积证明乘法公式，于是画出如下图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号内的代数式； （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法． （1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论； （2）通过总结（1）的计算结果：，再结合图形的面积，即可得到答案； （3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ，， 总结规律为：， 故答案为：； （2）根据（1）中总结的规律：， 结合图形的面积可知：为长方形的面积， 则为长方形的宽，为长方形的长， 如图所示； （3）根据小明发现的规律，可得． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·上海·期末）以下节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)i）n，；ii） 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、列代数式及多项式，能根据题意得出各式计算结果的系数变化规律是解题的关键． （1）根据所给式子，观察其各项系数，发现规律即可解决问题． （2）①根据所给式子，观察计算结果分别为几次几项式，发现规律即可解决问题；②分别求出所给式子计算结果的各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为1，1， 计算结果中的各项系数依次为1，2，1， 计算结果中的各项系数依次为1，3，3，1， 计算结果中的各项系数依次为1，4，6，4，1， 由此可知，计算结果中的各项系数依次为1，5，10，10，5，1， 即． 故答案为：． （2）解：i）由题知， 计算结果是一个一次二项式， 计算结果中是一个二次三项式， 计算结果中是一个三次四项式， 计算结果是一个四次五项式， 所以计算结果是一个n次项式． 故答案为：n，． ii）计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 计算结果各项系数之和为， 所以计算结果各项系数之和为． 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【答案】课本再现：见解析；（1），；（2），；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 课本再现：根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）由题意得，，运用（2）中的规律得出计算结果即可． 【详解】解：课本再现： ； （1）∵， ， ， ……， ∴， 故答案为：，； （2）∵其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)， ∴另外一个两位数的个位数字为， 一般规律是； 证明： ； 故答案为：，； （3）由题意得，， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 【题型9】新定义运算中的整式乘法 1.核心知识点 整式乘法法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为整式乘法与加减运算； 按则计算：根据新定义列出整式表达式，按整式乘法法则化简求解。 【例题9】.（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于任何数，我们规定：．例如：． (1)按照这个规定，请你化简： (2)按照这个规定，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算计算即可； （2）先根据定义的新运算，然后进行计算，最后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1） （2） ， ∵，即， ∴． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案； （3）①根据新定义得到，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此再进一步计算即可．②由，可得，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 【点睛】本题主要考查了新定义，同底数幂除法计算，幂的乘方及积的乘方，多项式的乘法，负整数指数幂的含义，熟记运算法则，理解新定义是解本题的关键． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 【变式题9-3】.（25-26七年级上·重庆·期末）定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法的应用． （1）直接根据新运算的定义计算； （2）通过计算新运算后比较多项式系数，利用恒成立条件求解和，再求． 【详解】（1）解： 则 （2） 则 与比较系数 ∵项系数为0 ∴，得 ∵项系数为 ∴ 代入，得 ∴ 验证常数项：，符合； ∴ 易错点 1.符号运算错误：单项式与多项式相乘时，忽略多项式项前的负号；多项式相乘时，未将项的符号一同参与运算。 2.漏乘问题：单项式漏乘多项式的常数项；多项式相乘时，遗漏部分项的乘法。 3.运算顺序混淆：先算乘法再算乘方，或未合并同类项直接代入求值。 4.同类项合并失误：展开后同类项识别错误，或系数计算错误。 5.含单独字母遗漏：单项式相乘时，未将只在一个单项式中出现的字母连同指数保留。 重点 1.熟练掌握三种整式乘法的核心法则，能准确进行基础运算。 2.掌握整式乘法的符号法则和运算顺序，避免漏乘、错乘。 3.能进行整式乘法与加减的混合运算，熟练合并同类项。 4.会解决整式乘法与图形面积、求字母值、化简求值等基础综合问题。 5.理解整式乘法的本质（转化为单项式相乘），建立“转化”的数学思想。 难点 1.多项式与多项式相乘的逐项运算，避免漏乘和符号错误。 2.“不含某一项”问题的求解，需准确掌握“系数为0”的条件。 3.整式乘法与跨学科情境、新定义运算的结合，需灵活转化实际问题为数学模型。 4.复杂整式乘法的化简推理，能分步拆解代数式并进行逻辑验证。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，熟练应用运算法则计算是关键；根据乘法、乘方、除法运算法则和整式的乘法进行计算即可. 【详解】解：∵ 选项A: ， ∴ A错误. ∵ 选项B: ， ∴ B正确. ∵ 选项C: ， ∴ C错误. ∵ 选项D: ， ∴ D错误. 故选：B. 2．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 3．已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开等式左边的多项式，再利用多项式相等时对应项系数相等的性质求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】解：， 根据多项式相等对应项系数相等，得，， ∴． 故选：C． 4．对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 5．若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【详解】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 二、填空题 6．已知 ，则 的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查单项式的乘法，幂的综合运算，熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算法则是解题的关键． 先把左右两边分别计算，再对应字母指数相等求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：6 7． ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 8．已知，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算．利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 9．如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为 ．（用含或的式子表示） 【答案】b 【分析】本题考查了平方差公式的几何解释．熟练掌握长方形面积公式，平方差公式，根据题意正确拼接图形，是解题的关键．把长方形沿折叠，得到，根据长方形性质和面积公式，平方差公式可得，由，即得． 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的规律．根据规律，可得的展开式为 ． 1 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，通过观察杨辉三角的系数规律，每一行的系数由上一行相邻两个系数之和得到，且展开式按a的次数降序排列，据此可求解． 【详解】解：根据给定表格，杨辉三角的系数对应二项式展开系数，时系数为1，5，10，10，5，1， 则的系数为1，6，15，20，15，6，1， 故的展开式为． 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键； （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可； （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算即可； （4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， ． 12．已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 13．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的几何背景．根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， ， 当，时，． 14．在一次数学活动中，数学老师组织学习探究：设是方程的一个根，学习小组成员发现如下一系列等式： (1)根据以上规律，用数字填空：__________； (2)小王同学通过观察比较两个相邻等式，提出了一个猜想：设是正整数，若，则．请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)13；8 (2)猜想正确；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，规律探索，多项式乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干的信息，得出答案即可； （2）根据，，求出，即可证明结论正确． 【详解】（1）解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴； （2）解：猜想正确；理由如下： ∵，， ∴ ， 即， ∴这个猜想正确． 15．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）小长方形的宽为（2）大长方形的周长为 【分析】本题考查了整式的加减运算和几何图形周长的计算，解题的关键是通过观察图形，建立小长方形长与宽的关系，并用代数式表示出阴影部分的周长． 设小长方形的长为，宽为，由图可知，大长方形的长为，宽为；分别计算图3和图4中阴影部分的周长，再根据两者的差为列出方程求解． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知：， 大长方形的长为，宽为． 图3中阴影部分的周长： 图4中阴影部分的周长： 由题意： ，，． 故小长方形的宽为． （2）解：大长方形的长为，宽为，大长方形周长， 将代入：． 故大长方形的周长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $