专题1.1 幂的乘除（5大知识点+10 大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期培优讲义

专题1.1 幂的乘除 知识点1：同底数幂的乘法 1.核心法则：对于正整数、，，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.拓展应用： 多个同底数幂相乘：（、、为正整数）； 底数为多项式：将多项式视为一个整体，如； 逆用公式：（用于拆分幂、求值）。 知识点2：幂的乘方 1.核心法则：对于正整数、，，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2.拓展应用： 多重复合运算：（、、为正整数）； 逆用公式：（用于化简、比较大小）； 底数含负号：符号由指数奇偶性决定，如。 知识点3：积的乘方 1.核心法则：对于正整数，，即积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2.拓展应用： 多个因式相乘：（为正整数）； 逆用公式：（用于简便计算）； 系数含负号：将负号视为单独因式，如。 知识点4：同底数幂的除法 1.核心法则：对于不等于0的数，正整数、（），，即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.拓展应用： 零指数幂：（，任何非零数的0次幂等于1）； 负整数指数幂：（，为正整数）； 逆用公式：（用于求值、化简）。 知识点5：幂的四种运算对比表 运算类型 核心法则 指数运算方式 底数要求 同底数幂乘法 指数相加 底数相同且不为0 幂的乘方 指数相乘 底数不为0 积的乘方 各因式指数分别乘 因式不为0 同底数幂除法 指数相减 底数相同且不为0 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂的直接乘除运算 1.核心知识点 同底数幂的乘法、除法法则； 零指数幂、负整数指数幂的定义。 2.解题方法技巧 直接套用法则：底数不变，指数按“乘加除减”运算； 符号处理：底数为负数时，先确定结果符号（奇负偶正），再计算指数； 单独字母指数：牢记单个字母的指数为1（如）。 【例题1】.（25-26八年级上·广东江门·期末）计算 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东广州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·新疆·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，负整数指数幂，根据已知条件式可推出，所求式子可变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查幂的运算，负指数幂，掌握好幂运算的法则是关键． （1）按照同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）先按照积的乘方的法则化简，再按照同底数幂的除法法则进行计算即可； （3）按照同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （4）先将底数化为相同的形式，再按照同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型2】幂的乘方与积的乘方基础运算 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 含负号底数的运算规则。 2.解题方法技巧 幂的乘方：忽略底数符号，先算指数相乘，再确定符号； 积的乘方：拆分每个因式分别乘方，避免漏乘（如系数、单独字母）。 【例题2】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意； 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方和幂的乘方运算，负整数指数幂，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·重庆·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的相关运算，熟练掌握幂的相关运算法则是做题的关键．根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法则，逐一判断各选项的计算是否正确即可． 【详解】解：幂的运算法则： 积的乘方：，幂的乘方：，同底数幂相乘：，同底数幂的除法：（）， 故对各选项推导如下： A选项：，计算正确，故符合题意； B选项：，计算错误，故不符合题意； C选项：，计算错误，故不符合题意； D选项：，计算错误，故不符合题意． 故选：A． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查幂的运算、有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数的乘除运算法则计算即可； （2）先利用幂的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的乘除运算法则计算即可； （3）先计算括号内的幂的运算，再进行同底数幂的除法运算即可； （4）先分别计算绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行乘法和加减原式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型3】利用法则求指数或字母值 1.核心知识点 幂的乘除法则（指数运算关系）； 等式两边幂相等的条件（底数相同则指数相等）。 2.解题方法技巧 化同底数：将等式两边化为同底数幂形式； 列方程：根据指数相等列出一元一次方程，求解后验证底数不为0。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则p的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法及负整数指数幂，掌握相关知识是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则，将指数相加求解即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， 可得， 又因为 ， 所以 ， 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算，解一元一次方程，掌握好相关的运算法则是关键． 将方程中的所有幂转换为以为底的幂，利用指数运算法则简化方程，再根据底数相同指数相等的原则求解． 【详解】解：根据幂的乘方运算法则进行化简，得， ，，，， ∴原方程化简为：， 合并，得， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算，根据同底数幂的乘除法法则进行求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，应用指数运算法则简化方程，通过指数相等建立方程求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4】科学记数法的表示、还原与运算 1.核心知识点 科学记数法表示形式（，）； 绝对值大于1与小于1的数的表示区别； 科学记数法的乘除运算（系数、10的幂分别运算）。 2.解题方法技巧 表示/还原：大于1时n为正整数（小数点左移位数），小于1时n为负整数（小数点右移位数）； 运算技巧：系数按有理数计算，10的幂按同底数幂法则运算，结果需还原为标准科学记数法。 【例题4】.（25-26七年级上·河南开封·期末）开封万岁山武侠城位于河南省开封市龙亭区东京大道中段 ，是国家级景区 ，以武侠文化为主题 ，在2026年1月1日～1月3日三天，共接待游客29.3万人次，29.3万用科学记数法表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将29.3万写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：29.3万， 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·重庆·月考）氧气是由氧元素形成的一种单质，氧元素的原子半径约为米，则氧原子的半径用科学记数表示为 米． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：氧原子半径原数为0.000000000074 米，即米． 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）某一人造地球卫星绕地球运动的速度约为米/秒，则该卫星运行米所需要的时间约为多少秒？ 【答案】卫星运行米所需要的时间约为秒 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，列出算式解答即可． 【详解】解：由题意，得 （秒）， 所以卫星运行米所需要的时间约为秒． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·北京西城·期末）已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有 个水分子（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，读懂题意是解题的关键． 根据题意，水分子的数量等于一滴水的质量除以一个水分子的质量，利用科学记数法的除法法则进行计算． 【详解】解：一滴水的质量为，一个水分子的质量为，则水分子的数量为：． 故答案为：． 【题型5】法则逆用基础求值 1.核心知识点 同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的逆用公式； 整体代入思想。 2.解题方法技巧 拆分指数：将待求幂的指数拆分为已知幂指数的和、积形式； 代入计算：逆用公式转化为已知幂的运算，代入数值求解。 【例题5】.（25-26七年级上·河南·期末）已知，，则 ． 【答案】 135 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，代数式求值， 利用指数运算法则，将转化为，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴. 故答案为：135． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如果，，那么 ．（用含、的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方，掌握好幂运算的法则是关键． 利用积的乘方法则，将转化为，再代入已知条件即可． 【详解】解：由积的乘方法则可得，． 故答案为：． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的组合，然后代入数值计算． 【详解】解：由已知，根据幂的乘方法则，得． 由，且，得， 再根据幂的乘方法则，得． 因此，． 故答案为：． 【变式题5-3】.（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 【答案】（1） （2）32 （3） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可； （2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为，即可代入求解； （3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 【培优高频题型】 【题型6】幂的混合运算 1.核心知识点 幂的四种运算法则； 整式加减的合并同类项规则。 2.解题方法技巧 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 合并同类项：仅底数和指数均相同的幂可合并，系数相加，底数和指数不变。 【例题6】.（25-26八年级上·天津南开·期末）已知，化简，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算是关键．先用积的乘方公式计算，然后用幂的乘方公式计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，结合零指数幂的计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，幂的混合运算，准确应用运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、绝对值，再乘除，最后进行加减运算； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，涉及了零指数幂、负指数幂、单项式的乘除法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． （1）按顺序先分别进行乘方运算、零次幂运算、负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）按顺序进行单项式乘除法运算、积的乘方运算，然后再进行整式的加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7】底数含多项式的幂运算 1.核心知识点 幂的乘除法则（多项式作为整体底数）； 底数互为相反数的幂的转化（如与）。 2.解题方法技巧 整体代换：将多项式视为一个整体，按法则计算； 统一底数：（偶数次幂相等，奇数次幂互为相反数）。 【例题7】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 【变式题7-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据同底数幂的除法法则运算即可得到答案； （2）原式根据同底数幂的除法法则运算即可得到答案； （3）原式进行同底数幂的乘除法运算即可得到答案； （4）原式先计算同底数幂的除法，再进行整式的加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则和相反数底数的幂的转换． （1）根据同底数幂相乘，指数相加计算即可； （2）对于相反数底数，利用偶次幂的性质可得，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）∵ ， （2） ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型8】逆用法则简便计算 1.核心知识点 积的乘方、幂的乘方的逆用； 底数互为倒数的幂的运算技巧。 2.解题方法技巧 积的乘方逆用：指数相同时，先将底数相乘再乘方（如）； 幂的乘方逆用：将指数拆分为乘积形式，简化计算（如）。 【例题8】.（24-25八年级上·全国·期末）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则的逆用，灵活运用积的乘方运算法则的逆用进行计算即可． 直接运用积的乘方运算法则的逆用计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方逆用、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得； （2）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题8-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算、含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先利用乘法运算律，再利用积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算将原算式转化为求的值，进而根据有理数的乘方和乘法运算法则求解即可； （2）根据积的乘方的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算将原算式转化为求的值，进而根据有理数的乘方和乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题8-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法逆运算，有理数的乘方运算，掌握计算公式和运算法则是解题的关键． （1）直接利用积的乘方逆运算计算； （2）先将化为，再利用积的乘方逆运算计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【压轴素养题型】 【题型9】幂的大小比较 1.核心知识点 幂的乘方法则逆用； 指数相同或底数相同的幂的大小比较规则。 2.解题方法技巧 化同指数：逆用幂的乘方，将不同底数的幂化为同指数（如），比较底数大小； 化同底数：将不同指数的幂化为同底数，比较指数大小； 特殊值法：对于复杂幂，可选取特殊值辅助判断。 【例题9】.（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，，然后比较指数即可； （2）转化为同指数，，，然后比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，，， ， ， ． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 【变式题9-2】.（23-24七年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)； ，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 【题型10】新定义运算中的幂运算 1.核心知识点 幂的乘除法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为幂的运算； 按则计算：根据新定义列出算式，套用幂的运算法则求解。 【例题10】.（24-25七年级下·四川成都·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　 　； (2)记，，．试说明：． 【答案】(1)3 (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘方的新定义，解题的关键是认真读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题． （1）认真读懂题意，利用新定义的运算法则计算； （2）利用新定义计算并证明． 【详解】（1）解：； 故答案为：3； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． 【变式题10-1】.（21-22七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴ ＝a－b＝－， 即 －． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 【变式题10-2】.（22-23七年级上·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 【变式题10-3】.（24-25九年级下·江苏泰州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 易错点 1.混淆幂的运算规则：如将误算为，将误算为； 2.积的乘方漏乘因式：如误算为（正确结果为）； 3.忽略底数不为0的前提：对或底数为0的负整数指数幂进行运算； 4.符号处理错误：底数为负数时，未根据指数奇偶性判断结果符号； 5.合并同类项错误：将不同底数或指数的幂进行合并（如）。 重点 1.熟练掌握幂的四种运算法则，能准确进行基础运算； 2.掌握法则的逆用技巧，解决求值、化简、比较大小问题； 3.能处理底数含多项式、负号的幂运算，明确符号规则； 4.会进行幂的混合运算，遵循正确的运算顺序； 5.能解决幂运算与科学记数法、跨学科情境的综合问题。 难点 1.幂的运算法则的灵活逆用，尤其是复杂指数的拆分与组合； 2.底数含多项式或互为相反数的幂运算，需准确进行整体代换与统一； 3.幂的大小比较，能根据底数、指数特征选择合适的转化方法； 4.新定义运算与规律探究题，需提炼核心逻辑，转化为幂的运算； 5.含参数的幂运算综合题，需结合方程思想与分类讨论，避免漏解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方等运算法则，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键．本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，需根据各法则逐一计算判断选项正误． 【详解】解：∵， ∴A错误． ∵， ∴B错误． ∵， ∴C正确． ∵， ∴D错误． 故选：C． 2．，则（　　）里可以填写的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；需将等式左边的式子转化为平方形式，再与选项对比即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴括号里可填写的式子是， 故选：C． 3．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵负整数指数幂法则：，零指数幂法则： ∴， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 4．定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴ ，， ∴原式 ， 故选：C 5．已知A种细菌在培养过程中，每隔半小时由1个分裂成2个，若培养皿中约有30亿个A种细菌，经过2个小时之后，培养皿中的A种细菌的数量用科学记数法表示为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的应用以及科学记数法，解题的关键是根据分裂次数确定细菌数量的变化规律． 先计算2小时内细菌的分裂次数，再根据每次分裂数量翻倍的规律算出最终细菌总数，最后将结果转化为科学记数法的标准形式． 【详解】解：∵2小时包含的半小时个数为， ∴经过2小时后细菌数量为30亿亿亿． ∵科学记数法要求表示为（，n为整数）， ∴480亿． 故选：D． 二、填空题 6．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅、该小行星与地球的最近距离为，将数据18000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法； 科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．将18000000转换为科学记数法，需确定a和n的值． 【详解】解：， 故答案为：． 7．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则的逆运用； 利用指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故答案为 ：12． 8．已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查科学记数法的定义，掌握相关知识点是解题的关键． 将用科学记数法表示，比较指数即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为， 可得， 因此， 解得， 故答案为4． 9．（为大于1的整数）的结果是 ． 【答案】0 【分析】此题考查了同底数幂的乘法逆运算法则，利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10．已知，则值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法； 将9和27化为以3为底数的指数形式，利用指数运算法则计算，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题 11．在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③ ， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先逆用幂的乘方运算法则，再逆用积的乘方运算法则进行计算； （2）先将变形，再综合运用幂的乘方与积的乘方运算法则的逆用进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．已知，，，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，猜想与证明等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 逆用幂的乘方法则，并运用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：猜想． 理由：，，， ， ， ， ． 14．若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解题关键在于掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则将等式，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将化为，由此可得再根据题目给出的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ，， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 即， ． 15．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂的意义等知识，掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据乘法的分配律计算即可； （2）根据乘方的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义等计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 幂的乘除 知识点1：同底数幂的乘法 1.核心法则：对于正整数、，，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.拓展应用： 多个同底数幂相乘：（、、为正整数）； 底数为多项式：将多项式视为一个整体，如； 逆用公式：（用于拆分幂、求值）。 知识点2：幂的乘方 1.核心法则：对于正整数、，，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2.拓展应用： 多重复合运算：（、、为正整数）； 逆用公式：（用于化简、比较大小）； 底数含负号：符号由指数奇偶性决定，如。 知识点3：积的乘方 1.核心法则：对于正整数，，即积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2.拓展应用： 多个因式相乘：（为正整数）； 逆用公式：（用于简便计算）； 系数含负号：将负号视为单独因式，如。 知识点4：同底数幂的除法 1.核心法则：对于不等于0的数，正整数、（），，即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.拓展应用： 零指数幂：（，任何非零数的0次幂等于1）； 负整数指数幂：（，为正整数）； 逆用公式：（用于求值、化简）。 知识点5：幂的四种运算对比表 运算类型 核心法则 指数运算方式 底数要求 同底数幂乘法 指数相加 底数相同且不为0 幂的乘方 指数相乘 底数不为0 积的乘方 各因式指数分别乘 因式不为0 同底数幂除法 指数相减 底数相同且不为0 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂的直接乘除运算 1.核心知识点 同底数幂的乘法、除法法则； 零指数幂、负整数指数幂的定义。 2.解题方法技巧 直接套用法则：底数不变，指数按“乘加除减”运算； 符号处理：底数为负数时，先确定结果符号（奇负偶正），再计算指数； 单独字母指数：牢记单个字母的指数为1（如）。 【例题1】.（25-26八年级上·广东江门·期末）计算 ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东广州·期末）计算： ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·新疆·期末）若，则 ． 【变式题1-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】幂的乘方与积的乘方基础运算 1.核心知识点 幂的乘方、积的乘方法则； 含负号底数的运算规则。 2.解题方法技巧 幂的乘方：忽略底数符号，先算指数相乘，再确定符号； 积的乘方：拆分每个因式分别乘方，避免漏乘（如系数、单独字母）。 【例题2】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·重庆·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3】利用法则求指数或字母值 1.核心知识点 幂的乘除法则（指数运算关系）； 等式两边幂相等的条件（底数相同则指数相等）。 2.解题方法技巧 化同底数：将等式两边化为同底数幂形式； 列方程：根据指数相等列出一元一次方程，求解后验证底数不为0。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则p的值为 ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则 ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）若，则等于 ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）若，则的值为 ． 【题型4】科学记数法的表示、还原与运算 1.核心知识点 科学记数法表示形式（，）； 绝对值大于1与小于1的数的表示区别； 科学记数法的乘除运算（系数、10的幂分别运算）。 2.解题方法技巧 表示/还原：大于1时n为正整数（小数点左移位数），小于1时n为负整数（小数点右移位数）； 运算技巧：系数按有理数计算，10的幂按同底数幂法则运算，结果需还原为标准科学记数法。 【例题4】.（25-26七年级上·河南开封·期末）开封万岁山武侠城位于河南省开封市龙亭区东京大道中段 ，是国家级景区 ，以武侠文化为主题 ，在2026年1月1日～1月3日三天，共接待游客29.3万人次，29.3万用科学记数法表示为（      ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·重庆·月考）氧气是由氧元素形成的一种单质，氧元素的原子半径约为米，则氧原子的半径用科学记数表示为 米． 【变式题4-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）某一人造地球卫星绕地球运动的速度约为米/秒，则该卫星运行米所需要的时间约为多少秒？ 【变式题4-3】.（25-26八年级上·北京西城·期末）已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有 个水分子（结果用科学记数法表示）． 【题型5】法则逆用基础求值 1.核心知识点 同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的逆用公式； 整体代入思想。 2.解题方法技巧 拆分指数：将待求幂的指数拆分为已知幂指数的和、积形式； 代入计算：逆用公式转化为已知幂的运算，代入数值求解。 【例题5】.（25-26七年级上·河南·期末）已知，，则 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如果，，那么 ．（用含、的式子表示） 【变式题5-2】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值为 ． 【变式题5-3】.（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 【培优高频题型】 【题型6】幂的混合运算 1.核心知识点 幂的四种运算法则； 整式加减的合并同类项规则。 2.解题方法技巧 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 合并同类项：仅底数和指数均相同的幂可合并，系数相加，底数和指数不变。 【例题6】.（25-26八年级上·天津南开·期末）已知，化简，其结果为 ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算： (1)； (2)． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东茂名·月考）计算： (1) (2) 【题型7】底数含多项式的幂运算 1.核心知识点 幂的乘除法则（多项式作为整体底数）； 底数互为相反数的幂的转化（如与）。 2.解题方法技巧 整体代换：将多项式视为一个整体，按法则计算； 统一底数：（偶数次幂相等，奇数次幂互为相反数）。 【例题7】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【变式题7-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 【题型8】逆用法则简便计算 1.核心知识点 积的乘方、幂的乘方的逆用； 底数互为倒数的幂的运算技巧。 2.解题方法技巧 积的乘方逆用：指数相同时，先将底数相乘再乘方（如）； 幂的乘方逆用：将指数拆分为乘积形式，简化计算（如）。 【例题8】.（24-25八年级上·全国·期末）用简便方法计算： ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式题8-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式题8-3】.（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【压轴素养题型】 【题型9】幂的大小比较 1.核心知识点 幂的乘方法则逆用； 指数相同或底数相同的幂的大小比较规则。 2.解题方法技巧 化同指数：逆用幂的乘方，将不同底数的幂化为同指数（如），比较底数大小； 化同底数：将不同指数的幂化为同底数，比较指数大小； 特殊值法：对于复杂幂，可选取特殊值辅助判断。 【例题9】.（24-25七年级下·陕西西安·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即． (1)比较，的大小； (2)比较，，的大小． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【变式题9-2】.（23-24七年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【题型10】新定义运算中的幂运算 1.核心知识点 幂的乘除法则； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算（如）转化为幂的运算； 按则计算：根据新定义列出算式，套用幂的运算法则求解。 【例题10】.（24-25七年级下·四川成都·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　 　； (2)记，，．试说明：． 【变式题10-1】.（21-22七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【变式题10-2】.（22-23七年级上·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【变式题10-3】.（24-25九年级下·江苏泰州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 易错点 1.混淆幂的运算规则：如将误算为，将误算为； 2.积的乘方漏乘因式：如误算为（正确结果为）； 3.忽略底数不为0的前提：对或底数为0的负整数指数幂进行运算； 4.符号处理错误：底数为负数时，未根据指数奇偶性判断结果符号； 5.合并同类项错误：将不同底数或指数的幂进行合并（如）。 重点 1.熟练掌握幂的四种运算法则，能准确进行基础运算； 2.掌握法则的逆用技巧，解决求值、化简、比较大小问题； 3.能处理底数含多项式、负号的幂运算，明确符号规则； 4.会进行幂的混合运算，遵循正确的运算顺序； 5.能解决幂运算与科学记数法、跨学科情境的综合问题。 难点 1.幂的运算法则的灵活逆用，尤其是复杂指数的拆分与组合； 2.底数含多项式或互为相反数的幂运算，需准确进行整体代换与统一； 3.幂的大小比较，能根据底数、指数特征选择合适的转化方法； 4.新定义运算与规律探究题，需提炼核心逻辑，转化为幂的运算； 5.含参数的幂运算综合题，需结合方程思想与分类讨论，避免漏解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．，则（　　）里可以填写的式子是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 5．已知A种细菌在培养过程中，每隔半小时由1个分裂成2个，若培养皿中约有30亿个A种细菌，经过2个小时之后，培养皿中的A种细菌的数量用科学记数法表示为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅、该小行星与地球的最近距离为，将数据18000000用科学记数法表示为 ． 7．若，，则 ． 8．已知，则的值为 ． 9．（为大于1的整数）的结果是 ． 10．已知，则值为 ． 三、解答题 11．在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 13．已知，，，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 14．若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 15．计算 (1)； (2)． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $