专题11分式方程题型突破讲义(知识点梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题11分式方程题型突破讲义 基础 过关题 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.根据分式方程解的情况求值 能力 提升题 4.分式方程无解问题 5.列分式方程 6.分式方程的行程问题 7.分式方程的工程问题 拓展 拔高题 8.分式方程的经济问题 9.分式方程和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 一、基本概念 分式方程：分母中含有未知数的方程。 与整式方程区别：关键看分母是否有未知数。 二、解分式方程的一般步骤 1.去分母方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 2.解整式方程按一元一次方程步骤求解。 3.检验（必写！）把解代入最简公分母： 公分母≠0 → 是原方程的解 公分母=0 → 是增根，原方程无解 4.写出结论。 三、增根 定义：去分母后整式方程的解，但使原分式分母为 0。 增根不是原分式方程的解。 考点：已知增根，求方程中字母参数的值。 四、常见题型与公式 1. 行程问题 路程=速度×时间 时间= 2. 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间 常把总量看作 1。 3. 销售 / 增长率问题 总价=单价×数量 五、易错点 1.忘记检验，直接写解（必扣分）。 2.去分母时，常数项 / 整式项漏乘最简公分母。 3.分数线有括号作用，去分母后分子要加括号。 4.混淆 “解” 和 “增根”。 六、核心口诀 一化二解三检验，增根分母等于零。 【题型1.分式方程的定义】 1．下列关于的方程中，属于整式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式方程的定义，解题关键是理解整式方程的定义． 根据整式方程的定义，需逐一分析各方程再作判断． 【详解】解：是整式方程，故A符合； 不是整式方程，故B不符合； 不是整式方程，故C不符合； 不是整式方程，故D不符合， 故选：A． 2．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程． 【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：， 即， 故答案为：． 3．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程的根为x=2，故②正确； 方程的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 是分式方程，故④正确； 故选：B． 【点睛】此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键． 4．请你利用代数式，，组成一个分式方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2.分式方程的解法】 5．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根， ∴原方程的解为：， 故答案为： 6．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为：， 故答案为：． 7．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程时去分母的方法，利用了转化的思想，去分母的关键是找出各分母的最简公分母． 方程两边同时乘以最简公分母 ，并注意符号变化． 【详解】解：∵ ， ∴ 原方程可化为 . 两边同乘 得：， 即 . 故选：C． 8．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，先解含字母参数的分式方程，求出x，再根据分式的分母不能为0和关于x的分式方程的解为非负数，列出不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 解得：， ∵， ∴，即， ∵方程的解为非负数，即， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 解答题 9．解下列分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定最简公分母，然后两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程求解，最后检验解是否使分母为零； （2）先对分母进行因式分解，确定最简公分母为，再去分母转化为整式方程，最后检验． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的解． （2）解：原方程变形为． 方程两边都乘，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，并且必须对解进行检验，确保分母不为零． 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 10．若分式方程的解是，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程的解为， 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 11．关于x的分式方程有增根，则n的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的增根，掌握增根的概念是解题的关键． 将原方程去分母得，化简得，把增根代入解得的值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 解得， ∴， 解得． 故选B． 12．若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先求出方程的解，根据解的情况得出关于的不等式，并结合最简公分母不等于求出的取值范围即可，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 综上，的取值范围是且． 13．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 解答题 14．已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且满足整式方程是解题的关键． 先确定分式方程的最简公分母，找到可能的增根，将增根代入整式方程求出对应的值，从而确定的取值范围． 【详解】解：解分式方程， 变形右边： ​两边同乘 去分母： 解得． 当，即时，分式方程有增根． 把代入，得． 分式方程不会产生增根， ． 【题型4.分式方程无解问题】 15．关于的分式方程有增根，则增根为 ． 【答案】 【分析】根据分式方程增根的定义：使分式方程最简公分母为零的的值即可得到答案． 【详解】解：关于的分式方程有增根，且分式方程最简公分母为， 分式方程的增根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程增根的定义，熟记使分式方程最简公分母为零的的值叫增根是解决问题的关键． 16．若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，正确理解分式方程增根的含义是解题的关键． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】方程两边都乘以，得 ， 即， ∵方程有增根， ∴， 解得， ∴是整式方程的根， ∴． 故答案为：． 17．若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程等知识，先去分母，将分式方程化为整式方程，再根据参数，分类讨论解方程即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得，即， 当，即时，无解； 当，即时，， 关于的分式方程无解， ，解得； 综上所述，当关于的分式方程无解，的值为或2， 故选：C． 18．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为 ； （2）若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了解分式方程； （1）把代入方程计算，即可求出的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可． 【详解】解：（1）分式方程的根是， ， 解得， 的值为； （2）①去分母得：， 当时，方程无解， ， ②当分式方程有增根， 或， 当时，， 当时，， ， 的值为； ， 若分式方程无解，的值为或． 解答题 19．已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的无解问题，弄清题意是解本题的关键． （1）先解分式方程，得出，再根据分式方程无解，得到最简公分母为，即可求出的值，从而得出，求出m的值即可； （2）根据解大于且，得出且，求出的范围即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵该分式方程无解， ， ， ∴， 解得：． （2）解：根据解析（1）得：， ∵该分式方程的解大于1且， ∴且， 解得：且． 【题型5.列分式方程】 20．某单位向一所希望小学赠送1060本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：包装箱的个数课外书的总本数每个包装箱装的课外书本数． 【详解】解：设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为， 故选C． 21．魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，分式方程的行程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时；根据距离相等，甲比乙早到1小时，即乙所用时间比甲多1小时，列出方程． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时千米， 乙跑完全程所需时间为小时， 甲跑完全程所需时间为小时； 由甲比乙早到1小时，得， 故答案为：． 22．某公路进行施工，为尽量减少施工对市民出行造成的影响，实际施工时工作效率比原计划提高了，结果提前4个月完成这一任务．设原计划个月完成这一任务，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是找到等量关系式． 根据工作效率提高和提前个月完成，利用工作总量相等列方程． 【详解】解：设工作总量为，原计划个月完成，则原工作效率为． ∵ 实际工作效率比原计划提高了， ∴ 实际工作效率为. 又∵ 实际提前个月完成， ∴ 实际完成时间为个月， ∴ 实际工作效率也为． 因此，有方程， 即． 故选：B． 解答题 23．某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，熟练掌握根据题干找出等量关系是解题的关键； （1）根据题干设出的未知数，列式子表示出表格中的量； （2）根据（1）中的信息列出方程． 【详解】（1）解：已知甲队单独做这项工程需要x天， 则甲队的工程效率为总量与时间的比值：， 由信息②可知，乙队所用时间为：天， 乙队工程效率为：； ∴表格为： 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 x 乙队 1 （2）解：根据题干中的条件③可得:合作3天的工作量再加上乙队单独完成的工作量等于整个工作量“1”， ∴方程为： 【题型6.分式方程的行程问题】 24．一首轮船在静水中的最大速度为，它以最大航速沿江顺流航行，所用时间与以最大航速逆流航行所用时间相等，若设江水流速为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程解应用题，表示出船顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程是解题的关键．在水中，根据题意，准确表示出船顺水速度、逆水速度，结合时间相等建立等量关系列方程式解决问题的关键． 【详解】解：设江水流速为， 则所列方程正确的是， 故选：A． 25．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出等量关系列出分式方程是解题的关键． 设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，由题意列出分式方程． 【详解】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是， 根据题意，得， ， 解得： ， 经检验： 是原方程的解且符合题意． 故答案为： ． 解答题 26．某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度． 【答案】中巴车的速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设中巴车的速度为，则大巴车的速度为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设中巴车的速度为，则大巴车的速度为， 根据题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 答：中巴车的速度为． 27．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （）解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （）解法二：设大巴车行驶的时间为，根据中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：； （2）解：设大巴车行驶的时间为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：． 【题型7.分式方程的工程问题】 28．某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则 ．（用含，的最简分式表示） 【答案】 【分析】先表示出，再根据即可用含的式子表示出s．本题主要考查了列代数式（分式），能根据题意用含的式子表示出s是解题的关键． 【详解】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天， ∴； 同理可得，． ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：． 29．某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，解题关键是根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“新工艺比原工艺少用9小时”这一等量关系列出方程． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工千克梨干， 因此根据题意，列方程为：， 故选：B． 解答题 30．某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键． 设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递，根据题意建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型机器人每小时分拣件快递， 答：A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件． 31．今年哈市入冬以来，为保障道路畅通及市民出行安全，及时开展扫雪除冰工作．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作． (1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？ (2)如果甲、乙两组先合作若干小时后，甲组有事离开，剩下的工作全由乙单独完成，且要求完成扫雪工作不超过小时，问甲乙两组至少合作多少小时才能完成任务？ 【答案】(1)甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时 (2)1小时 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为，利用甲组完成的工作量+乙组完成的工作量=总工作量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲种单独完成此项工作所需时间，再将其代入中，即可求出乙种单独完成此项工作所需时间； （2）设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时，根据要求完成扫雪工作不超过小时，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 小时 答：甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时； （2）解：设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：甲乙两组至少合作1小时才能完成任务． 【题型8.分式方程的经济问题】 32．水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 33．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种邮票．某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套．其中，“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，已知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元．聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程 聪聪： 明明： 下列判断正确的是（    ） A．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的单价 B．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的数量 C．明明设的未知量表示“小版邮票册”的单价 D．明明设的未知量表示“小版邮票册”的数量 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程中未知数的实际意义．题目中涉及两个未知数，需根据方程结构判断未知数的实际意义．聪聪的方程通过单价差建立等式，而明明的方程通过总数量建立等式． 【详解】解：聪聪的方程为， 方程左边为两个分数相减，右边为单价差55， ∵“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元， ∴为“小版邮票册”的单价，为“邮票合集套装”的单价， ∴表示“小版邮票册”的数量， 故选项B正确，选项A错误； 明明的方程为 ， 方程左边为两个分数相加，右边为总数量35， ∵“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元， ∴为“小版邮票册”的数量， 为“邮票合集套装”的数量， ∴ 表示“邮票合集套装”的单价， 故选项C、D均错误． 故选：B． 解答题 34．2025年4月23日至25日，第四届全民阅读大会在山西省太原市举办，以“培育读书风尚  建设文化强国”为主题，大会期间揭晓了2024年度“中国好书”名单．某校计划购进“中国好书”名单中《中国文化之美》和《中华文明的形成》这两种图书供学生阅读，其中《中国文化之美》的单价比《中华文明的形成》的单价贵，用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本．求这两种图书的单价． 【答案】《中华文明的形成》的单价为100元，《中国文化之美》的单价为130元 【分析】本题考查了分式方程的应用．设《中华文明的形成》的单价为x元，则《中国文化之美》的单价为元，根据“用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设《中华文明的形成》的单价为x元，则《中国文化之美》的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：《中华文明的形成》的单价为100元，《中国文化之美》的单价为130元． 【题型9.分式方程和差倍分问题】 35．不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的一些白乒乓球和12个黄乒乓球，若随机从袋子中摸出一个乒乓球是黄色的概率为，则袋子中总共有 个白乒乓球． 【答案】6 【分析】设袋子中有m个白色乒乓球，根据黄色的概率为，列方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有m个白色乒乓球，由题意得， ， 解得m=6， 经检验，m=6是原方程的解， ∴袋子中总共有6个白乒乓球． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 36．智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：C． 解答题 37．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？ 【答案】乙每小时制作80朵纸花 【分析】本题主要考查了，列分式方程解应用题，解题关键点：找出相等关系，列方程．设乙每小时制作x朵纸花，则甲每小时制作朵纸花，根据“甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同”得：，解分式方程可得. 【详解】解：设乙每小时制作x朵纸花，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时制作80朵纸花． 38．小明家原来有12公顷地种植粮食，9公顷地种植西瓜．为了增加经济收入，计划将部分种植粮食的地改为种植西瓜，使得粮食的种植面积与西瓜的种植面积之比为2∶5．设有公顷种植粮食的地改为种植西瓜，那么满足怎样的分式方程？ 【答案】满足的分式方程为 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握根据题干信息找出等量关系是解题的关键； 先求出改种后；粮食和西瓜的种植面积，再根据两者面积之比为列出分式方程． 【详解】解：确定改种后粮食的种植面积为：公顷， 确定改种后西瓜的种植面积为：公顷， ∴分式方程为：， 即满足的分式方程为． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 39．综合实践课上，同学们设计摸球试验．在一个不透明的布袋中，装有除颜色外完全相网的个红球和个白球，小明想使摸到白球的概率是，则需要再向袋中加入 个白球． 【答案】5 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设需要再加入个白球，由概率公式列分式方程求解即可． 【详解】解：设需要再加入个白球， ∴， 解得，， 检验，当时，原方程有意义， ∴需要再加入个白球， 故答案为：5 ． 40．新能源电动汽车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小明的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源电动汽车，发现燃油车每千米的行驶费用比新能源电动汽车多元，已知燃油车加满1箱油需要360元，新能源电动汽车的电池充满一次电需要36元，则小明的爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解． 设两台汽车的续航里程为千米，根据燃油车每千米费用比新能源车多元列方程求解． 【详解】解：设续航里程为千米． 燃油车加满一箱油需360元，每千米费用为元； 新能源车充满一次电需36元，每千米费用为元． 根据题意，燃油车每千米费用比新能源车多元， 列方程：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义． 因此，续航里程为600千米， 故选：A． 解答题 41．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数． 小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍． 小慧：我读完这本书比你多用了4天． 【答案】小慧每天读这本名著20页 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页，根据小慧读完这本书比小智多用了4天列方程，解方程求出的值，再进行检验即可得． 【详解】解：设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 答：小慧每天读这本名著20页． 42．某校计划租车前往博物馆开展研学活动．某租车公司有，两种型号的客车可供租用，每辆车满员的情况下，每辆型客车的载客量比每辆型客车的载客量多人，用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同．求每辆型客车的载客量． 【答案】人 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出分式方程并检验解的合理性是解题的关键．设每辆型客车的载客量为人，根据题意表示出型客车的载客量为人；利用“载客人数每辆车的载客量车辆数”这一关系，结合“用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同”这一等量关系，列出分式方程；最后解方程并检验，得出型客车的载客量． 【详解】解：设每辆B型客车的载客量为x人，则每辆A型客车的载客量为人． 由题意，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：每辆B型客车的载客量为45人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11分式方程题型突破讲义 基础 过关题 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.根据分式方程解的情况求值 能力 提升题 4.分式方程无解问题 5.列分式方程 6.分式方程的行程问题 7.分式方程的工程问题 拓展 拔高题 8.分式方程的经济问题 9.分式方程和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 一、基本概念 分式方程：分母中含有未知数的方程。 与整式方程区别：关键看分母是否有未知数。 二、解分式方程的一般步骤 1.去分母方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 2.解整式方程按一元一次方程步骤求解。 3.检验（必写！）把解代入最简公分母： 公分母≠0 → 是原方程的解 公分母=0 → 是增根，原方程无解 4.写出结论。 三、增根 定义：去分母后整式方程的解，但使原分式分母为 0。 增根不是原分式方程的解。 考点：已知增根，求方程中字母参数的值。 四、常见题型与公式 1. 行程问题 路程=速度×时间 时间= 2. 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间 常把总量看作 1。 3. 销售 / 增长率问题 总价=单价×数量 五、易错点 1.忘记检验，直接写解（必扣分）。 2.去分母时，常数项 / 整式项漏乘最简公分母。 3.分数线有括号作用，去分母后分子要加括号。 4.混淆 “解” 和 “增根”。 六、核心口诀 一化二解三检验，增根分母等于零。 【题型1.分式方程的定义】 1．下列关于的方程中，属于整式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 3．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．请你利用代数式，，组成一个分式方程： ． 【题型2.分式方程的解法】 5．分式方程的解为 ． 6．分式方程的解是 ． 7．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 解答题 9．解下列分式方程： (1)． (2)． 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 10．若分式方程的解是，则 ． 11．关于x的分式方程有增根，则n的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 12．若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 13．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 解答题 14．已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 【题型4.分式方程无解问题】 15．关于的分式方程有增根，则增根为 ． 16．若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 17．若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 18．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为 ； （2）若分式方程无解，则的值为 ． 解答题 19．已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【题型5.列分式方程】 20．某单位向一所希望小学赠送1060本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　） A． B． C． D． 21．魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为 ． 22．某公路进行施工，为尽量减少施工对市民出行造成的影响，实际施工时工作效率比原计划提高了，结果提前4个月完成这一任务．设原计划个月完成这一任务，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 解答题 23．某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 【题型6.分式方程的行程问题】 24．一首轮船在静水中的最大速度为，它以最大航速沿江顺流航行，所用时间与以最大航速逆流航行所用时间相等，若设江水流速为，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 25．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是 ． 解答题 26．某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度． 27．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 【题型7.分式方程的工程问题】 28．某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则 ．（用含，的最简分式表示） 29．某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 解答题 30．某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 31．今年哈市入冬以来，为保障道路畅通及市民出行安全，及时开展扫雪除冰工作．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作． (1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？ (2)如果甲、乙两组先合作若干小时后，甲组有事离开，剩下的工作全由乙单独完成，且要求完成扫雪工作不超过小时，问甲乙两组至少合作多少小时才能完成任务？ 【题型8.分式方程的经济问题】 32．水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 33．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种邮票．某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套．其中，“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，已知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元．聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程 聪聪： 明明： 下列判断正确的是（    ） A．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的单价 B．聪聪设的未知量表示“小版邮票册”的数量 C．明明设的未知量表示“小版邮票册”的单价 D．明明设的未知量表示“小版邮票册”的数量 解答题 34．2025年4月23日至25日，第四届全民阅读大会在山西省太原市举办，以“培育读书风尚  建设文化强国”为主题，大会期间揭晓了2024年度“中国好书”名单．某校计划购进“中国好书”名单中《中国文化之美》和《中华文明的形成》这两种图书供学生阅读，其中《中国文化之美》的单价比《中华文明的形成》的单价贵，用910元购买《中国文化之美》的数量比用800元购买《中华文明的形成》的数量少1本．求这两种图书的单价． 【题型9.分式方程和差倍分问题】 35．不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的一些白乒乓球和12个黄乒乓球，若随机从袋子中摸出一个乒乓球是黄色的概率为，则袋子中总共有 个白乒乓球． 36．智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A．60，30 B．60，90 C．90，60 D．90，120 解答题 37．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？ 38．小明家原来有12公顷地种植粮食，9公顷地种植西瓜．为了增加经济收入，计划将部分种植粮食的地改为种植西瓜，使得粮食的种植面积与西瓜的种植面积之比为2∶5．设有公顷种植粮食的地改为种植西瓜，那么满足怎样的分式方程？ 【题型10.分式方程的其他实际问题】 39．综合实践课上，同学们设计摸球试验．在一个不透明的布袋中，装有除颜色外完全相网的个红球和个白球，小明想使摸到白球的概率是，则需要再向袋中加入 个白球． 40．新能源电动汽车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小明的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源电动汽车，发现燃油车每千米的行驶费用比新能源电动汽车多元，已知燃油车加满1箱油需要360元，新能源电动汽车的电池充满一次电需要36元，则小明的爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A． B． C． D． 解答题 41．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数． 小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍． 小慧：我读完这本书比你多用了4天． 42．某校计划租车前往博物馆开展研学活动．某租车公司有，两种型号的客车可供租用，每辆车满员的情况下，每辆型客车的载客量比每辆型客车的载客量多人，用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同．求每辆型客车的载客量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $