专题13平行四边形题型突破讲义(知识点梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题13平行四边形题型突破讲义 【三角形中位线 多边形的内角和与外角和】 基础 过关题 1.三角形中位线的基础计算 2.多边形内角和的直接计算 3.正多边形内角的求解 4.正多边形外角的求解 5.多边形内角和与外角和综合 能力 提升题 6.三角形中位线的性质证明 7.多(少)算一个角问题 8.多边形截角后的内角和问题 9.多边形外角和的实际应用 拓展 拔高题 10.三角形中位线的实际应用 11.平面镶嵌的规律与应用 一、三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 一个三角形有 3 条中位线。 区分：中位线是中点连中点；中线是顶点连对边中点。 2. 三角形中位线定理（核心） 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点⇒ DE ∥ BC 且 DE = BC 3. 重要推论（常直接用） 1.三角形的三条中位线把原三角形分成 4 个全等的小三角形。 2.中位线三角形周长 = 原三角形周长的 ​。 3.中位线三角形面积 = 原三角形面积的 ​。 4.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。 4. 易错提醒 1.中位线不是中线，不要混用。 2.定理有两个结论：既平行又减半，解题时两个都要用。 二、多边形的内角和与外角和 1. n 边形内角和 内角和=(n−2)×180∘(n≥3) 三角形：180° 四边形：360° 五边形：540° 六边形：720° 七边形：900° 八边形：1080° 九边形：1260° 十边形：1440° 2. 正 n 边形每个内角 每个内角=​ 3. 多边形外角和（必考） 任意 n 边形的外角和恒为 360°，与边数 n 无关。 4. 正 n 边形每个外角 每个外角=n360∘​ 5. 内角与外角关系 同一顶点处：内角 + 外角 = 180° 知道外角 → 立刻求边数：n=​ 【题型1.三角形中位线的基础计算】 1．如图，是的中位线，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，由三角形中位线定理得，，，所以整体计算，即可求解． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 故答案为：． 2．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 3．如图，是的边的中点，平分，且，垂足为．若，，，则的周长是 ． 【答案】25 【分析】延长线段交于，从而构造出全等三角形，进而证明是中位线，从而求出的长． 【详解】解：如图，延长线段交于点． 平分，． ，． 在和中， ， ，． 又是的边的中点，是的中位线， ， 的周长是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形的性质证得，进而应用三角形中位线定理解决问题． 解答题 4．如图，在中，是上一点，，是的中点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形.的判定，全等三角形的判定与性质，掌握延长中线构造平行四边形，结合等边三角形和全等三角形推导线段关系是解题的关键． 延长构造平行四边形，利用平行四边形性质得线段相等与平行关系，结合证等边三角形，再通过全等三角形证，最后由为的一半求长度． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， ． 在和中， ， ， ． 【题型2.多边形内角和的直接计算】 5．一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了边形的内角和，熟练掌握该知识点是解题的关键．设这个多边形为边形，根据公式可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形为边形， 故答案为：9 6．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【答案】B 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和定理，熟练掌握相关的公式定理是解此题的关键．在本题中，根据内角和是外角和2倍这一条件，结合内角和公式列出方程，进而求解出n的值，得到该多边形是六边形． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， 解得：． ∴这个多边形是六边形． 故选：B． 7．（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是 °． 【答案】 4 2340 【分析】本题考查多边形的外角和和内角和（1）利用多边形外角和恒为与内角和公式列方程求解； （2）先由外角和求边数，再代入内角和公式计算． 【详解】解：（1）设多边形的边数为n．多边形的外角和为，内角和为． 由题意得，， 解得， 故答案为：4； （2）多边形的每个外角为，外角和为， ∴边数， ∴内角和为， 故答案为：2340． 8．如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案． 【详解】解：过A作，交的延长线于E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积， 故选A． 解答题 9．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 【题型3.正多边形内角的求解】 10．如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的内角和是 度． 【答案】1080 【分析】根据多边形的内角和公式进行计算即可．本题考查了求多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正八边形的内角和为：． 故答案为：1080． 11．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键． 根据正五边形的性质可得，再利用等腰三角形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ， ， ， 故选：B． 12．在1970年墨西哥“世界杯”上使用的足球由32块手缝嵌面组成12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形，如图是侧面展开图局部，则图中∠α度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角. 先求出正五边形和正六边形的每个内角，进而根据镶嵌的定义即可求出． 【详解】解：如图所示， ∵正五边形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，五边形是正五边形，是的中点，连接，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的全等与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 如图：连接，根据正五边形的性质和内角和定理、等腰三角形的性质可得、，利用等腰三角形三线合一，得到即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选B． 【题型4.正多边形外角的求解】 14．一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了多边形外角和的性质，掌握多边形外角和为是解题的关键． 多边形外角和为即可求解． 【详解】解：一个多边形的每一个外角都是， ∴， ∴这个多边形的边数是10， 故答案为：10 ． 15．某塔的塔基是一个正边形（是正整数）．如图，测得塔基所在的正边形的一个外角为，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握正多边形各外角相等是解题的关键． 根据多边形外角和为的定理，结合正多边形各外角相等的性质，用外角和除以一个外角的度数即可求出边数． 【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和都为． ∵该塔基是正边形， ∴它的个外角都相等； 已知一个外角为， ∴边数可以通过外角和除以一个外角的度数来计算：． 因此，的值为8． 故选：C． 16．用n个完全相同的正五边形按照如图的方式拼成一圈，相邻的两个正五边形有公共顶点，且相邻两个正五边形外圈的夹角均为，内圈的夹角均为．若x，y均为正整数，且，则所有符合条件的的值为 ． 【答案】3或4或5 【分析】根据题意，得正五边形的一个内角为，结合题意，得，结合，确定，根据正多边形的一个内角度数为，得到，于是得到，结合n为正整数，解答即可． 【详解】解：根据题意，得正五边形的一个内角为， 根据题意，得，即 ∵， ∴ ∴， ∵正多边形的一个内角度数为， ∴， ∴， ∵n为正整数， ∴n为1或2或3或4或5， 又一个或2个多边形围不成所需要的图形，故舍去， 故n的可能值为3或4或5． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和定理，外角和定理，不等式的整数解，熟练掌握定理和不等式的整数解是解题的关键． 17．如图，在边长为2的正八边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，若，则的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，延长分别交直线于K、L，由正多边形外角和定理可得，再由平行线的性质得到，则由光的反射定律可知，据此可证明都是等腰直角三角形，则，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长分别交直线于K、L， ∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律可知， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型5.多边形内角和与外角和综合】 18．六边形外角和的度数是 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，根据多边形的外角和等于即可求解，掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 【详解】解：六边形外角和的度数是， 故答案为：． 19．如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（    ） A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加 C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加 【答案】D 【分析】多边形的外角和恒为与边数无关；内角和公式为边数增加2时内角和增加． 本题主要考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和与外角和的计算公式是解题关键． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为 ∴边数增加2后外角和不变； 设原边数为则原内角和为 新内角和为 ∴内角和增加． 故选：D． 20．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的大小为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查多边形的有关知识，由多边形的内角和外角的关系求出外角度数即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得： ， 解得， ∴正多边形每个外角大小为， 故答案为：°． 解答题 21．（1）解分式方程：； （2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查解分式方程，多边形的内角和与外角的综合应用： （1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）设这个多边形的每个外角为，根据每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，结合外角的定义，列出方程，求出的值，再根据外角和为360度，进行求解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 检验：当时， 是原方程的根． （2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意，得， 解得 ． 【题型6.三角形中位线的性质证明】 22．顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是 ． 【答案】平行四边形 【分析】根据中点四边形的性质判断即可； 【详解】解：如图所示， 四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，准确判断是解题的关键． 23．如图，在中，与交于点，是边的中点，下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质；根据平行四边形的性质可得，根据可得是的中位线，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 而，，不一定成立； 故选：C． 24．如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理，三角形中位线的性质及判定，熟练掌握三角形中位线的性质及判定是解题的关键， 连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理分别求出、、、，计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 解答题 25．如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，进而根据平行四边形的判定定理即可求证； （）根据中点定义可得，再根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点是的中点，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【题型7.多(少)算一个角问题】 26．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 27．已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变． 28．一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 【答案】80 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，可以求出多边形的边数为14，再利用内角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 解答题 29．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 【题型8.多边形截角后的内角和问题】 30．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 31．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】15，16或17 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 32．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 【题型9.多边形外角和的实际应用】 33．已知一个四边形，它的外角和的度数是 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查四边形的外角和，数学基本常识：任意一个多边形的外角和都是，熟记这一常识性知识是解决问题的关键． 【详解】解：一个四边形，它的外角和的度数是， 故答案为：． 34．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 35．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 解答题 36．课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 【答案】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，；（2）小明第一次回到O点时所走过的路程为120米；（3）18 【分析】（1）外角的大小不会改变，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画出图形即可． （2）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得（米）． （3）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得，解方程即可． 本题考查了多边形的外角性质，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画图如下： ． （2）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 故多边形的周长为：（米）． （3）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 【题型10.三角形中位线的实际应用】 37．如图，为估测被花坛隔开的A，B两点间的距离，先在外取一点C，找到的中点D，E，测得的长为．则A，B两点间的距离是 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边长的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴A，B两点间的距离是， 故答案为：18． 38．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 39．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点B，且，，连接OE，下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由▱ABCD中，∠ADC＝60°，易得ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD＝AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE， ∵AB＝BC， ∴AE＝BC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝30°，故①错误； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB⋅AC，故②错误； ∵AB＝BC，OB＝BD， ∵BD＞BC， ∴AB≠OB，故③错误； ∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，ADBC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， ∴BE＝CE， ∵OA＝OC， ∴OE＝AB＝BC，故④正确； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得ABE是等边三角形，OE是ABC的中位线是关键． 解答题 40．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【题型11.平面镶嵌的规律与应用】 41．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是 ．（写出一种即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌、正多边形的内角，正确理解平面图形的镶嵌是解题关键．平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌，据此解答即可得． 【详解】解：平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌． ∵正方形的一个内角的度数为，且， ∴只用正方形可以进行平面镶嵌， 故答案为：4（答案不唯一）． 42．如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是（   ） A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】本题考查了密铺，周角，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，六边形最大的角为，其中，利用，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，六边形最大的角为，其中，，，如图所示： 那么． 故选：C． 43．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，在平面镶嵌中，要求在同一个拼接点处，这几个多边形的内角拼接后恰好组成一个周角（即）．若用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z，其中x、y、z均为正整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平面镶嵌，三元一次方程的正整数解的应用，根据平面镶嵌可得，即，再求解正整数解即可得到答案. 【详解】解：∵用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z， ∴， ∴， ∴方程的正整数解：， ∴， 故答案为： 44．用边长相同的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形在一起组合，不能铺满地面的是（    ） A．正三角形和正四边形 B．正三角形和正六边形 C．正四边形和正六边形 D．正四边形和正八边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，先算出每个多边形的内角，正多边形的组合能否铺满地面，解题的关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，解题的关键是掌握平面镶嵌定义． 【详解】解：、正三角形的每个内角是，正四边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意； 、正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意； 、正四边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，， ∴，显然取任何整数时，不能得正整数，故不能铺满，符合题意； 、正四边形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ∵， ∴能铺满地面，不符合题意， 故选：． 45．在生活中，瓷砖是生活中常见的装饰材料，用瓷砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部铺满．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称为平面图形的密铺． 【探究一】只用同一种类型的多边形地砖进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号） 【探究二】共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． 某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买其他种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并列方程来说明理由． 【探究三】若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．镶嵌时每个顶点处的正多边形有个，设这个正多边形的边数分别为，请说明与应满足什么关系？ 【答案】探究一：①②④；探究二：①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺；②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺；见解析；③正三角形，正方形与正六边形可以共顶点组合密铺；见解析；探究三： 【分析】探究一：根据多边形的内角，结合围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角，据此判断即可； 探究二：分①正三角形与正方形，②正三角形与正六边形，③正三角形，正方形与正六边形，利用“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角”列二元一次方程，求解即可； 探究三：利用平面镶嵌的性质和正多边形的内角的性质列出等式即可化简得出结论． 【详解】解：探究一 ∵正三角形的内角和是，∴正三角形能密铺； ∵四边形的内角和是，∴正四边形能密铺； ∵五边形的内角和是，不能与整除，∴正五边形不能密铺； ∵正六边形的一个内角的度数是，能与整除，∴正六边形能密铺； 故答案为：①②④； 探究二 ①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正方形． 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角是， 若想用个与个围成，则 ， 即， 这个二元一次方程的正整数解， 正三角形与正方形可以共顶点组合密铺； ②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正六边形． 正三角形的每一个内角为，正六边形的每一个内角是，若想用个与个围成，则 ， 即， 这个二元一次方程的正整数解或， 正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺； ③正三角形，正方形与正六边形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正方形．个正六边形 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 若想用个个与个围成，则 ， 即， 这个，三元一次方程的正整数解， 正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺； 探究三 正边形的每个内角为， 边数分别为，的正多边形的每个内角为 ， ， ， ， 与应满足：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，多边形的内角和，平面镶嵌，本题是阅读型题目，正确理解题干中的知识点并熟练应用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13平行四边形题型突破讲义 【三角形中位线 多边形的内角和与外角和】 基础 过关题 1.三角形中位线的基础计算 2.多边形内角和的直接计算 3.正多边形内角的求解 4.正多边形外角的求解 5.多边形内角和与外角和综合 能力 提升题 6.三角形中位线的性质证明 7.多(少)算一个角问题 8.多边形截角后的内角和问题 9.多边形外角和的实际应用 拓展 拔高题 10.三角形中位线的实际应用 11.平面镶嵌的规律与应用 一、三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 一个三角形有 3 条中位线。 区分：中位线是中点连中点；中线是顶点连对边中点。 2. 三角形中位线定理（核心） 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点⇒ DE ∥ BC 且 DE = BC 3. 重要推论（常直接用） 1.三角形的三条中位线把原三角形分成 4 个全等的小三角形。 2.中位线三角形周长 = 原三角形周长的 ​。 3.中位线三角形面积 = 原三角形面积的 ​。 4.过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。 4. 易错提醒 1.中位线不是中线，不要混用。 2.定理有两个结论：既平行又减半，解题时两个都要用。 二、多边形的内角和与外角和 1. n 边形内角和 内角和=(n−2)×180∘(n≥3) 三角形：180° 四边形：360° 五边形：540° 六边形：720° 七边形：900° 八边形：1080° 九边形：1260° 十边形：1440° 2. 正 n 边形每个内角 每个内角=​ 3. 多边形外角和（必考） 任意 n 边形的外角和恒为 360°，与边数 n 无关。 4. 正 n 边形每个外角 每个外角=n360∘​ 5. 内角与外角关系 同一顶点处：内角 + 外角 = 180° 知道外角 → 立刻求边数：n=​ 【题型1.三角形中位线的基础计算】 1．如图，是的中位线，若，则的长为 ． 2．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的边的中点，平分，且，垂足为．若，，，则的周长是 ． 解答题 4．如图，在中，是上一点，，是的中点．若，，求的长． 【题型2.多边形内角和的直接计算】 5．一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 6．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 7．（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是 °． 8．如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 解答题 9．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【题型3.正多边形内角的求解】 10．如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的内角和是 度． 11．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．在1970年墨西哥“世界杯”上使用的足球由32块手缝嵌面组成12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形，如图是侧面展开图局部，则图中∠α度数为 ． 13．如图，五边形是正五边形，是的中点，连接，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【题型4.正多边形外角的求解】 14．一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是 ． 15．某塔的塔基是一个正边形（是正整数）．如图，测得塔基所在的正边形的一个外角为，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 16．用n个完全相同的正五边形按照如图的方式拼成一圈，相邻的两个正五边形有公共顶点，且相邻两个正五边形外圈的夹角均为，内圈的夹角均为．若x，y均为正整数，且，则所有符合条件的的值为 ． 17．如图，在边长为2的正八边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，若，则的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 【题型5.多边形内角和与外角和综合】 18．六边形外角和的度数是 ． 19．如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（    ） A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加 C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加 20．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的大小为 ． 解答题 21．（1）解分式方程：； （2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【题型6.三角形中位线的性质证明】 22．顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是 ． 23．如图，在中，与交于点，是边的中点，下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为 ． 解答题 25．如图，在中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【题型7.多(少)算一个角问题】 26．小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 27．已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 28．一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 解答题 29．小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【题型8.多边形截角后的内角和问题】 30．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 31．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 32．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【题型9.多边形外角和的实际应用】 33．已知一个四边形，它的外角和的度数是 ． 34．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 35．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 解答题 36．课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 【题型10.三角形中位线的实际应用】 37．如图，为估测被花坛隔开的A，B两点间的距离，先在外取一点C，找到的中点D，E，测得的长为．则A，B两点间的距离是 ． 38．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 39．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点B，且，，连接OE，下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 40．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【题型11.平面镶嵌的规律与应用】 41．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．若只用同一种正多边形进行平面镶嵌，则这种正多边形的边数可以是 ．（写出一种即可） 42．如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是（   ） A．90° B．120° C．135° D．150° 43．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，在平面镶嵌中，要求在同一个拼接点处，这几个多边形的内角拼接后恰好组成一个周角（即）．若用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z，其中x、y、z均为正整数，则 ． 44．用边长相同的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形在一起组合，不能铺满地面的是（    ） A．正三角形和正四边形 B．正三角形和正六边形 C．正四边形和正六边形 D．正四边形和正八边形 45．在生活中，瓷砖是生活中常见的装饰材料，用瓷砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部铺满．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称为平面图形的密铺． 【探究一】只用同一种类型的多边形地砖进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号） 【探究二】共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． 某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买其他种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并列方程来说明理由． 【探究三】若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．镶嵌时每个顶点处的正多边形有个，设这个正多边形的边数分别为，请说明与应满足什么关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $