精品解析：2026年江苏省南京市建邺区集团联考中考一模数学试题

九年级数学中考模拟试题 一、单选题（本大题共6小题，共12分） 1. 方程的根是（ ） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 0或3 2. 有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为1，2，3，随意从每组牌中各抽取一张，数字和是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 将下列二次函数中图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（ ） A. B. C. D. 4. 北京今年6月某日部分区县的高气温如下表： 区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山 最高气温 32 32 30 32 30 32 29 32 30 32 则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（　　） A. 32，32 B. 32，30 C. 30，32 D. 32，31 5. 如图，正方形和正方形的顶点A，E，O在同一直线l上，且，，点M、N分别是线段和的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，共20分） 7. 样本数据，，0，1，5，6的极差是_________． 8. 已知，则___________． 9. 在实数范围内分解因式的结果是_____． 10. 如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为___________． 11. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣12t2．飞机着陆后滑行 ___米才能停下来． 12. 关于的一元二次方程有一个根是，则___． 13. 如图，在四边形ABCD中， m代表的度数为________． 14. 如图，菱形的四个顶点位于坐标轴上，对角线，交于原点，线段的中点的坐标为，是菱形边上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是________． 15. 如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则______． 16. 如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则______；若，______． 三、解答题（本大题共8小题，共88分） 17. 解下列方程： （1）； （2） 18. 某工程咨询公司技术部门员工五月份的工资报表如下（单位：元） 技术部门员工 总工程师 工程师 技术员A 技术员B 技术员C 技术员D 技术员E 技术员F 技术员G 见习生H 工资 10000 5500 5000 3000 3000 2800 2800 2800 2300 800 （1）求该公司技术部门员工五月份工资的平均数、中位数和众数 （2）小李作为一般技术员，若考虑应聘该公司技术部门工作，他应该参考（1）中的哪些统计量来选择是否应聘该公司？请说明理由 19. 小丽和小华想利用摸乒乓球游戏决定谁去参加市里举办的喜迎建党一百周年以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主体的演讲比赛，游戏规则是：在一只不透明的袋子中装有4个大小､质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字，搅匀后，一人先从中随机摸出一个球（不放回），另一人再从余下的3个球中摸出一个球，若摸出的两个小球上的数字之和为偶数，则小丽去，否则小华去参赛． （1）用列表法或树状图法，求小丽参赛的概率； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 20. 对称轴的抛物线与轴相交于A，两点，其中点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点． ①在对称轴直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标． ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 21. 如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 22. 在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE． （1）如图（1），当B，D，E三点共线时，求证：∠BEC=∠DAE． （2）如图（2），当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F． ①求证：AD·CG=EG·FC； ②若∠BAC=∠ADB=90°，求的值． 23. 一种商品售价为10元，一周可卖出50件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，每件降价1元，每周要多卖5件， 已知该商品进价每件8元． （1）写出周利润y与涨价x之间的函数表达式； （2）如果要求保证利润为正值，请写出x的取值范围； （3）问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？ 24. （1）已知抛物线的函数表达式为，求该抛物线的顶点坐标． （2）如图，是的斜边上的中线，分别过点，作， ，与相交于点．求证：四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学中考模拟试题 一、单选题（本大题共6小题，共12分） 1. 方程的根是（ ） A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 0或3 【答案】D 【解析】 【分析】先把右边的x移到左边，然后再利用因式分解法解出x即可. 【详解】解： 故选D. 【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键. 2. 有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为1，2，3，随意从每组牌中各抽取一张，数字和是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法解两步概率问题，涉及简单概率公式，根据题意，列出表格，得到所有等可能得结果及满足题意的结果数，代入简单概率公式求解即可得到答案，熟练掌握列表法解两步概率问题是解决问题的关键． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 由表可知，共有9种等可能得结果，其中是奇数的结果有4种， 随意从每组牌中各抽取一张，数字和是奇数的概率是， 故选：D． 3. 将下列二次函数中图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：A、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； B、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； C、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； D、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，在原点，故符合题意； 故选：D． 4. 北京今年6月某日部分区县的高气温如下表： 区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山 最高气温 32 32 30 32 30 32 29 32 30 32 则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（　　） A. 32，32 B. 32，30 C. 30，32 D. 32，31 【答案】A 【解析】 【详解】在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32．故选A． 5. 如图，正方形和正方形的顶点A，E，O在同一直线l上，且，，点M、N分别是线段和的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质求得，，根据勾股定理求得，再根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：连接，，交直线l于点G， ∵正方形中，， ∴，， ∵正方形的边长， 在中，，， ∴， ∵点M、N分别是线段和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数，其中． ①若这个函数的图象经过点，则函数必有最大值； ②若时，随的增大而减小，则必有； ③若这个函数的图象经过点，则不等式的解集为或； ④若方程有一根为，且，则必有． 上述四个结论中：所有正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括最值、单调性、不等式解集及根的范围，灵活运用反例或结合性质找到a，b的范围，从而判断选项是否错误是解题关键． 结合条件，利用二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】对于①：若经过点，则有，结合，可得，，∴，故函数必有最大值，选项正确； 对于②：可取反例，当时，，，此时当时，y随x的增大而减小，故原选项错误； 对于③：若经过点，则有，结合，可得，，∴， 令，解得，或，∵，结合图象可知，不等式的解集为或，选项正确； 对于④：由，即，可知二次函数经过定点，∴方程的其中一根为， 若，则有，，即，，解得，，故原选项错误， ∴①③正确，正确的个数为2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，共20分） 7. 样本数据，，0，1，5，6的极差是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据极差的定义用6减去即可． 【详解】解：样本数据，，0，1，5，6的极差是：6−（）＝10， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 8. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质；由已知比例 ，将所求表达式 拆分为 ，即 ，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为： 9. 在实数范围内分解因式的结果是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】用公式法求出方程=0的根是， ，据此进行因式分解即可． 【详解】解：∵方程=0中， ∴原方程的根是：， 即：，， ∴分解因式得： 故答案是：． 【点睛】本题考查的是方程的因式分解，求出方程的两个根，再根据进行因式分解是解题的关键． 10. 如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长计算解答． 【详解】解：设这个圆锥形容器的底面半径为， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣12t2．飞机着陆后滑行 ___米才能停下来． 【答案】75 【解析】 【分析】将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义解题． 【详解】解：s＝60t﹣12t2 = 当t=2.5时，s取最大值， 即飞机着陆后滑行75 m后才能停下来 故答案为：75． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是理解飞机滑行的最远距离即为函数的最大值． 12. 关于的一元二次方程有一个根是，则___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，将代入方程，得出，再求解关于的方程即可． 【详解】解：依题意，把代入方程， 得， 即， 解得． 故答案为：． 13. 如图，在四边形ABCD中， m代表的度数为________． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】利用四边形的内角和为 再列方程求解即可. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，掌握“四边形的内角和为”是解本题的关键. 14. 如图，菱形的四个顶点位于坐标轴上，对角线，交于原点，线段的中点的坐标为，是菱形边上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据线段的中点的坐标为，易得，根据菱形的性质与直角三角形的性质，可得菱形的边长，，然后分别从①当时，②当时，③当时去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①过点作于，延长交于点，连接， ∵点的坐标为， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵点为菱形的边的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴； ②过点作于，延长交于点， ∵点为菱形的边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴点是线段的中点，点是线段的中点， 由①知：，， ∴，，， ∴， ∴； ③过点作于，延长交于点，连接，， 由①知：，，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴点是线段的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据题意，菱形关于坐标轴和原点对称， ∴． 综上所述，点的坐标是或或． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中点坐标等知识点．掌握菱形的性质及分类讨论是解答本题的关键． 15. 如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线定理，先根据画图得到为的角平分线，再证明，再证明是等腰三角形，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，过点M作，垂足为D， 由题意得，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 16. 如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则______；若，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证出，根据等腰三角形的判定可得，再连接，根据圆周角定理可得，然后解直角三角形和勾股定理求解即可得的长；设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，． 如图，设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点， 由圆周角定理得：，即， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共88分） 17. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）=-10，=2； （2）=4，=3． 【解析】 【分析】（1）左边利用十字相乘法因式分解，再进一步求解即可； （2）将x-2看作整体，利用十字相乘法因式分解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 因式分解得(x+10)(x-2)=0， 则x+10=0或x-2=0， 解得=-10，=2； 【小问2详解】 解：∵， 因式分解得(x-2-2)(x-2-1)=0，即（x-4）（x-3）=0， 则x-4=0或x-3=0， 解得=4，=3． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 某工程咨询公司技术部门员工五月份的工资报表如下（单位：元） 技术部门员工 总工程师 工程师 技术员A 技术员B 技术员C 技术员D 技术员E 技术员F 技术员G 见习生H 工资 10000 5500 5000 3000 3000 2800 2800 2800 2300 800 （1）求该公司技术部门员工五月份工资的平均数、中位数和众数 （2）小李作为一般技术员，若考虑应聘该公司技术部门工作，他应该参考（1）中的哪些统计量来选择是否应聘该公司？请说明理由 【答案】（1）平均数为3800元；中位数为2900元；众数为2800元； （2）虽然该技术部门员工五月份的月平均工资是3800元，但它不能代表普通员工该月收入的一般水平；如果除去总工程师、见习生的工资，那么其余8人的平均工资为3400元，比较接近这组数据的中位数和众数；因此，小李是一名普通技术人员，可根据该部门员工工资的中位数和众数来考虑是否应聘． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的基本定义和求法进行求解即可； （2）根据（1）中的数据所对应的实际意义进行分析即可． 【详解】解：（1）平均数为：（元）； 由表格数据可知，将所有员工工资从小到大排列后，中间两个数据为3000和2800， 则中位数（元）； 由表格数据可知，2800出现次数最多， 则众数（元）； （2）略 【点睛】本题考查求一组数据的平均数、中位数和众数，并利用它们的意义进行决策分析，熟练掌握求解方法以及每种数据的实际意义是解题关键． 19. 小丽和小华想利用摸乒乓球游戏决定谁去参加市里举办的喜迎建党一百周年以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主体的演讲比赛，游戏规则是：在一只不透明的袋子中装有4个大小､质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字，搅匀后，一人先从中随机摸出一个球（不放回），另一人再从余下的3个球中摸出一个球，若摸出的两个小球上的数字之和为偶数，则小丽去，否则小华去参赛． （1）用列表法或树状图法，求小丽参赛的概率； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） ， （2）游戏不公平，理由为: ∵小丽参赛的概率为： ∴小华参赛的概率为 ∵ ∴这个游戏不公平 【解析】 【分析】(1)列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之和为偶数的情况数，求出小丽去参赛的概率; （2）由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率，比较即可得到游戏公平与否 【详解】(1)解：根据题意列表得 第二次 第一次 1 -2 3 -4 1 （-2，1） （3，1） （-4，1） -2 （1，-2） （3，-2） （-4，-2） 3 （1，3） （-2，3） （-4，3） -4 （1，-4） （-2，-4） （3，-4） 由表可知所有可能结果共有12种，数字之和分别为：-1，4，-3，-1，1，-6，4，1，-1，-3，-6，-1，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球，上的数字和为偶数的结果有4种， 所以小丽参赛的概率为： (2)略 【点睛】本题考查列表法计算概率，用概率判断游戏的公平性、正确使用列表法是关键，本题是中考的常考题型 20. 对称轴的抛物线与轴相交于A，两点，其中点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点． ①在对称轴直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标． ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）①；②有最大值 【解析】 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，点A的坐标为，在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到C点坐标，由抛物线的轴对称性质知：点A与点B关于直线对称，所以连接，直线与直线的交点即为所求的点P，运用待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点P的坐标； ②由直线的解析式为，设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含m的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为，A点坐标为在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：①由于A、B关于抛物线的对称轴对称，那么P点为直线与的交点时，的周长最小， 由（1）知，抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； ②∵直线的解析式为，抛物线关系式为， ∴设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题．解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 21. 如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：与垂直且相等，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴与垂直且相等； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形性质及判定，勾股定理等． （1）利用正方形性质证明，继而利用全等三角形性质即可得到答案； （2）利用正方形性质计算出，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵点是的中点， ∴． 22. 在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE． （1）如图（1），当B，D，E三点共线时，求证：∠BEC=∠DAE． （2）如图（2），当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F． ①求证：AD·CG=EG·FC； ②若∠BAC=∠ADB=90°，求的值． 【答案】 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE． 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ADB=∠AEC． 当B，D，E三点共线时，∠ADB=∠AED+∠DAE． 又∵∠AEC=∠AED+∠BEC， ∴∠BEC=∠DAE． （2）①证明：∵AB=AC，AD=AE， ∴=． 又∵∠BAC=∠DAE， ∴△BAC∽△DAE， ∴∠AED=∠ACB． 又∵∠AGE=∠FGC， ∴△AEG∽△FCG， ∴=， 即AE·CG=EG·FC． 又∵AD=AE， ∴AD·CG=EG·FC． ②= 【解析】 【分析】（1）求证△BAD≌△CAE，得到∠ADB=∠AEC，利用三角形外角和∠ADB=∠AED+∠DAE和∠AEC=∠AED+∠BEC等量代换皆可． （2）①证明相似找到对应的比例关系；②连接AF,△ABC为等腰直角三角形，求证AF⊥BC即可得到比例关系． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图，连接AF．由（1）可知，△BAD≌△CAE， ∴∠AEC=∠ADB=90°． 由①知△AEG∽△FCG， ∴=，即=． 又∵∠AGF=∠EGC， ∴△AGF∽△EGC， ∴∠AFG=∠ACE， ∴∠AFE+∠EFC=∠ECA+∠EAC=180°-∠AEC=90°， ∴∠AFC=90°， ∴FC=AC=AB， ∴=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，合理添加辅助线是解决本题的关键． 23. 一种商品售价为10元，一周可卖出50件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，每件降价1元，每周要多卖5件， 已知该商品进价每件8元． （1）写出周利润y与涨价x之间的函数表达式； （2）如果要求保证利润为正值，请写出x的取值范围； （3）问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？ 【答案】（1）y=；（2）； （3）涨价4元时，周利润最大是180元 【解析】 【分析】（1）根据利润的等量关系列出函数表达式即可； （2）根据利润为正值列出不等式，求出x的取值范围即可； （3）利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）依题意有： y=(10+x)(50-5x)-8×(50-5x) =-5x2+40x+100 （2）由， 或由y==0x1=-2，x2=10， 抛物线开口向下，y＞0． （3） y= =-5(x-4)2+180 当x=4时，取最大值y最大=180元， 因此，当涨价4元时，周利润最大是180元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．理解题意等量关系准确列出二次函数关系式且熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 24. （1）已知抛物线的函数表达式为，求该抛物线的顶点坐标． （2）如图，是的斜边上的中线，分别过点，作， ，与相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）； （2）∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）先将函数表达式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，进而利用菱形的判定定理可得结论． 【详解】解：（1）， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）略 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边的中线性质，熟练掌握二次函数的性质和菱形的判定是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $