精品解析：贵州毕节市七星关区第三实验学校2025-2026学年九年级上学期数学第四次质量自测

七星关区第三实验学校2025秋7-9年级第四次 教学质量检测九年级数学试卷 （考试总分：150 分 考试时长：120分钟） 一、 选择题 （每小题3分，共36分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数． 【详解】由于，则最大的数是1 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 2. 2025年贵州省篮球公开总决赛于3月23日至3月24日举行．下图是运动会的领奖台，它的俯视图是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：它的俯视图是： ， 故选：B． 3. 据贵州省人民政府官网报道，贵州省2025年一季度围绕“六大产业基地”和纺织服装、食品加工、健康医药等产业，梳理明确“”工业重大项目清单，持续完善元以上重大工业项目台账．这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握其表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法解题即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：B． 5. 若分式有意义，下列说法错误的是（ ）． A. 当时，分式的值为正数 B. 当时，分式无意义 C. 当时，分式的值为0 D. 当时，分式的值为1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 6. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ） 时间小时 7 8 9 10 人数 7 9 11 3 A. 9，8 B. 9，9 C. 11，8 D. 11，8．5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，据此求解即可． 【详解】解：把这名学生的睡眠时间从低到高排列，处在第15名和第16名的睡眠时间都是8小时， ∴中位数为小时， ∵睡眠时间为9小时的人数最多， ∴众数为9小时， 故选：A． 7. 不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得x＞﹣1 由②得x≤1 在数轴上可表示为: 所以解集为﹣1＜x≤1 故选A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，在解答此题时要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此类题目的易错点． 8. 在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果设小季每分钟跳x下，那么小范每分钟跳（x+30）下．题中有等量关系：小季跳100下所用的时间=小范跳120下所用的时间，据此可列出方程． 【详解】解：由于小季每分钟跳x下，所以小群每分钟跳（x+20）下． 根据题意，得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键． 9. 如图，在中，，，，则的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．先根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 则， 故选：D． 10. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 11. 如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点．若是的中点，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得的长． 【详解】解：∵菱形的周长为20， ∴，且O为的中点， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选：B． 12. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】用红球个数除以白球与红球数量之和即可． 【详解】解：摸到红球的概率为． 答案为：． 【点睛】本题考查概率的计算，掌握简单概率计算公式是解题的关键．概率＝所求情况数与总情况数之比． 14. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 15. 在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是______m． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设这栋楼的高度为米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】设这栋楼的高度为米， 由题意得： ， 解得：， 这栋楼的高度为54米． 故答案为：54． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】 （1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的化简求值、特殊角的三角函数值． （1）根据特殊角的三角函数值、乘方的定义、指数幂、负整数指数幂的定义把算式中各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的加法法则计算； （2）根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，再把代入化简后的分式中计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 18. 如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒+水） 的距离 （1）表中的值是_________； （2）你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式___________________； （3）某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 【答案】（1） （2）反比例函数； （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，分式方程的应用． （1）根据天平的特点列出算式进行求解即可； （2）设关于的函数表达式为，然后将，，代入求解即可； （3）设空牛奶盒的质量为，可得，然后求解即可． 根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据天平的特点可得：左侧托盘上物体质量右侧托盘上物体的质量， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：根据表格中数据可得与m的乘积不变， ∴与满足的函数关系为反比例函数； 设关于的函数表达式为， 则， ∵当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设空牛奶盒的质量为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：这个空牛奶盒的质量为． 19. 为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 　　； （2）图1中∠α的度数是 　　，并把图2条形统计图补充完整； （3）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）40人； （2），补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）利用B级的人数除其所占的百分比即可求得抽样测试的总人数； （2）利用360°乘A级对应的百分比即可求得α的值．用抽样测试的总人数减其它级人数，求出C级人数，即可补全统计图； （3）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人）． 故答案为：40人； 【小问2详解】 ， 所以∠α的度数是， 故答案为：； C级的人数是：40-6-12-8＝14（人）； 【小问3详解】 根据题意可画树状图如下： 共有12种等可能的情况，选中小明的有6种， ∴P（选中小明）＝． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，要会求总数，部分的百分比，扇形的圆心角度数，会用列表法与树状图法求事件的概率． 20. 如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接， （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的应用，关键是利用矩形的对边平行性质证明三角形全等，进而得到平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定菱形，同时结合勾股定理和三角函数求解线段比例． （1）先根据矩形的性质得到，从而得到内错角，再结合是中点的条件，证明，得到，结合可证四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可完成证明． （2）设菱形的边长，则可表示出，在中，利用勾股定理建立方程，解方程求出的值，进而得到的长度，最后在中，根据余弦的定义计算出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵四边形是菱形， ∴，则． 在中，， 由勾股定理得：，则． 解得， ∴． 在中，． 21. 信阳浉河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村民在第一年承包种植茶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩． （1）求该村民种植茶树亩数的年平均增长率； （2）某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销，已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设售价应降低y元，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，根据题意得： ， 解得：， ∵为了尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 22. 项目式学习 【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？ 【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！ 【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量． 实践任务】 课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量 建立模型 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距2米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点在同一条直线上． 解决问题 计算太阳能路灯电池板距离地面的高度． （1）设米，用含的代数式表示的长为______米； （2）求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米）（参考数据， 【答案】（1）；（2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数表示线段长度，再根据线段间的等量关系建立方程求解． （1）在中，由得； （2）设米，中，，，在中，，根据列方程，解得，再加上测角仪高度米，得米． 【详解】（1）解：在中，，， 故． 故答案为：； （2）中，，故； 在中，． ∵， ∴，解得， ∴(米)． 答：电池板离地面的高度的长为米． 23. 如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． （1）试说明：； （2）若矩形是正方形，求的长； 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． （1）的值为 ； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式，菱形的性质和勾股定理，解本题的关键是判断菱形的边始终和双曲线有交点的分界点． （1）先由点的坐标确定出，从而求出点坐标，最后求出； （2）①由平移的性质确定出的纵坐标，根据解析式求出点的横坐标，即可；②由平移的性质求出点落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边始终有交点的的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴菱形， ∴，则 ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 【小问2详解】 ①将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上， ∴， ②如图， 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处， 过点作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 【初识图形】 （1）如图1，，分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； （2）如图2，矩形中，点，分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 （3）如图3，中，，分别为，边上的点，，，为的中点，连接，作交于点，交于点．直接写出的长为 ． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形、矩形及直角三角形中的全等三角形与相似三角形的判定与性质，关键是利用垂直关系推导角的等量关系，结合图形的边、角性质证明三角形全等或相似，进而通过相似比计算线段的比值． （1）在正方形中，先由推出，再结合正方形的边相等、角为直角的性质，证明，从而得到，故比值为； （2）在矩形中，先由勾股定理求出，再作于，利用推出，结合直角相等证明，从而得到，代入边长计算得比值为； （3）在中，先求出的长度，再作交的延长线于，利用推出，证明，再由证明，通过相似比计算与的比值为． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：在矩形中，，，由勾股定理得， 如图，过作于，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴，且， ∴， ∴； （3）解：在中，，，为中点， ∴， 由勾股定理得， 如图，过作交的延长线于， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴，设，，则， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七星关区第三实验学校2025秋7-9年级第四次 教学质量检测九年级数学试卷 （考试总分：150 分 考试时长：120分钟） 一、 选择题 （每小题3分，共36分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 2025年贵州省篮球公开总决赛于3月23日至3月24日举行．下图是运动会的领奖台，它的俯视图是（ ） A.     B.     C.     D.     3. 据贵州省人民政府官网报道，贵州省2025年一季度围绕“六大产业基地”和纺织服装、食品加工、健康医药等产业，梳理明确“”工业重大项目清单，持续完善元以上重大工业项目台账．这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等 5. 若分式有意义，下列说法错误的是（ ）． A. 当时，分式的值为正数 B. 当时，分式无意义 C. 当时，分式的值为0 D. 当时，分式的值为1 6. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ） 时间小时 7 8 9 10 人数 7 9 11 3 A. 9，8 B. 9，9 C. 11，8 D. 11，8．5 7. 不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 8. 在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，则的正弦值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A. B. C. D. 11. 如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点．若是的中点，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 12. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是__________． 14. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 15. 在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是______m． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒+水） 的距离 （1）表中的值是_________； （2）你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式___________________； （3）某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 19. 为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 　　； （2）图1中∠α的度数是 　　，并把图2条形统计图补充完整； （3）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 20. 如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接， （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的值． 21. 信阳浉河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村民在第一年承包种植茶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩． （1）求该村民种植茶树亩数的年平均增长率； （2）某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销，已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？ 22. 项目式学习 【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？ 【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！ 【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量． 实践任务】 课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量 建立模型 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距2米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点在同一条直线上． 解决问题 计算太阳能路灯电池板距离地面的高度． （1）设米，用含的代数式表示的长为______米； （2）求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米）（参考数据， 23. 如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． （1）试说明：； （2）若矩形是正方形，求的长； 24. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． （1）的值为 ； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 25. 【初识图形】 （1）如图1，，分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； （2）如图2，矩形中，点，分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 （3）如图3，中，，分别为，边上的点，，，为的中点，连接，作交于点，交于点．直接写出的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $