2025-2026学年第一学期高二数学学科期末模拟考卷

2025-2026学年第一学期高二数学学科期末模拟考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．圆心在 轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3． 如图，在平行六面体中，点M满足，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 4．数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 6． 一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（ ） A. B. C. D. 7．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 8．在正四面体中，，，，分别为棱，，的中点，若，，，均在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 10．已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为圆上一点，则的最小值为 C. 若与圆相交于，两点，则 D. 过上一点向圆作切线，切点，则 11．如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．设直线与平面所成角为，则最大值为 D．平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若公差不为0的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列，则_______ 13．已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线C交于M，N两点，则的值为 14．已知数列的前n项和，若，数列中 ，的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.10．已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 16．已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式；(2)令，求的前项和. 17．如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 18．甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 19．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．   (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二数学学科期末模拟考参考答案 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A【详解】 ， 4．【答案】B 5．【答案】C 【详解】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，，所以， 所以，解得.所以. 6．【答案】B 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为，所以货车能顺利通过桥洞的限高为. ．【答案】A【详解】如图，设，， 由双曲线定义可知：，， ，，即； 在直角中，，即， 解得：，则，； 在直角中，，即，即，所以. 8．【答案】C 【详解】如图，由正四面体的性质可知，顶点在所在平面内的投影为的重心， 连接，则在上，且. 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为，则，， 所以，，，，，， 取的中点，则， 因为,分别为棱，的中点，所以， 则，，则， 设球心的坐标为，因为，，，均在球的球面上， 所以，， 即， ， ，解得，，，故得， 所以球的半径为，则球的表面积为. 9．【答案】AC 【详解】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为，所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 10．【答案】ABD 【详解】对于选项A，若，则，得，故选项A正确． 对于选项B，设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，故选项B正确． 对于选项C，因为，化简可得， 令，解得，故过定点， 当时，取最小值，则，故选项C不正确． 对于选项D，因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而当时，取得最小值为圆心到直线的距离， 故当时，取得最小值为，故选项D正确， 11．【答案】ACD 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，如图建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，令，则，则， 因为，设，故， 则， 由，得，不合题意，故B错误； 对于选项C，易知平面的法向量为， 则， 所以， 当时，取最小值为，所以有最大值为，故C正确； 对于选项D，如图，直线分别交的延长线于点， 连接交于，连接交于，连接， 由题意可知五边形即为平面截正方体所得截面， 因，分别为棱，的中点，，， ，得， 由正方体性质可知，，故所求截面面积为， 由选项C可知，，，故，， 故，， ， 故所求截面面积为，故D正确， 12．【答案】25 【详解】令的公差为，又，且， 所以，整理得，可得，所以. 13．【答案】 【详解】设，，由抛物线定义得，， 又，. 14．【答案】5 【详解】由，当时，； 当时，满足上式，则， 由， 则对任意都成立，即， 则数列单调递增，因此. 15．【详解】（1）解：设圆心的坐标为，则， 因为，是圆上的两点，所以， 所以，即， 由得即， 则圆的半径， 故圆的标准方程为； （2）因为，，所以， 所以， 则四边形的面积， 因为过点作圆的两条切线，切点为，，所以， 所以四边形的面积，解得. 16．【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 17．【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，     则，，，，； 为中点，故；为中点，故． ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则，∴， 又∵平面，∴平面. （2）∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ．∴． （3）不存在这样的点，理由如下 设（），则，若平面，则为平面的法向量 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面． 18．【小问1详解】 根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， 所以比赛3局结束的概率为：， 【小问2详解】根据题意可知，甲最终获胜的可能性有： ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为； ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜， 此时概率为； ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为； ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为； 所以设“甲最终获胜”为事件，则 19．【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为. （2）圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且    （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为，令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以，即， 则，可得， 整理得，所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意；若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边，所以当为的中点时，.      学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $