福建厦门外国语学校（集美）2025-2026学年高二上学期数学期末复习卷05

厦外（集美）2024级高二上数学期末复习卷5 班级______ 姓名___________ 座号______ 一、单项选择题 1．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知正项等比数列，若=9，则（  ） A．6 B．12 C．15 D．18 4．若函数在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D． 5．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为(    ) A． B． C． D． 6．，在处切线方程为（　　） A． B． C． D． 7．若数列满足，，则（   ） A． B． C． D．6 8．已知点，，若圆：上存在一点，使得，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．下列命题错误的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 10．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且，，，则（      ） A．当时， B．当时，异面直线与所成角的余弦值为 C．三棱锥的体积的最大值为1 D．不论取何值，都有 11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（    ） A．C关于原点对称 B．曲线C存在点P，使得C．直线与曲线C没有交点 D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，则点P的坐标 ． 13．记为等比数列的前项和．若，，则 ． 14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 16．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2（a，b∈R）． （1）若函数f（x）在x＝1处有极值为10，求b的值； （2）对任意a∈[﹣1，+∞），f（x）在[﹣2，0]上单调递增，求b的最大值． 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形．，，点为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知数列满足，. (1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由； (2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：. 19．已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 厦外（集美）2024级高二上数学期末复习卷5 答案和解析 1．A 【分析】先求出与的坐标，再由两向量垂直可得数量积等于零，列方程可求出的值 【详解】解：因为，， 所以，， 因为 与互相垂直， 所以，解得， 故选：A 【点睛】此题考查空间向量的数量积运算，考查由向量垂直关系求参数，属于基础题 2．C 【分析】利用直线平行关系，求得直线的斜率，然后利用点斜式即可得解. 【详解】直线的斜率为2， 因为直线与直线平行，所以直线的斜率为2． 又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：C 3．B 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，由于，所以， 故选：B. 4.【答案】D 【分析】根据条件得出存在x∈[1，4]，使成立，即存在x∈[1，4]，使成立，构造函数，x∈[1，4]，求出G（x）的最值即可解决问题． 【解答】jie：因为函数在[1，4]上存在单调递增区间， 所以存在x∈[1，4]，使成立， 即存在x∈[1，4]，使成立， 令，x∈[1，4]，变形得， 因为x∈[1，4]，所以， 所以当，即x＝4时，， 所以． 故选：D． 5．A 【详解】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积． 详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为， 设，则，即， 不妨设在第一象限，则， 所以，故选A． 点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力． 6.【答案】B 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出再结合直线的点斜式公式，即可求解． 【详解】由已知，，令， ∴＝，解， ∴在处切线方程为，即． 故选：B． 7．D 【分析】根据数列的递推关系式得数列是周期数列，从而得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，， 所以是周期为4的数列，故. 故选：D. 8．B 【解析】根据题意，分析圆C的圆心坐标以及半径，设AB的中点为M，由AB的坐标分析M的坐标以及|AB|的值，可得以AB为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C与圆M有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆即； 其圆心为，半径， 设AB的中点为M， 又由点则， 以AB为直径的圆为， 若圆上存在一点P，使得PA⊥PB，则圆C与圆M有公共点， 又由 即有且,即， 又， 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题． 9．AD 【分析】利用反例说明A、D，根据斜率和倾斜角的关系判断B，根据直线的两点式方程判断C. 【详解】对于A：经过点且斜率不存在的直线方程为， 不能用方程表示，方程只能表示过点且斜率存在的直线，故A错误； 对于B：直线，即，斜率， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，故B正确； 对于C：当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时， 直线方程为，即， 当直线斜率为或者斜率不存在时，也适合方程， 所以经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故C正确； 对于D：如直线不经过原点，但是不能用方程表示，故D错误； 故选：AD 10．ABD 【分析】利用三角形中位线可判断A，利用坐标法可判断BD，利用棱锥的体积公式可判断C. 【详解】当时，E，F分别为AB，BC的中点，则，故A正确； 建立如图所示的空间直角坐标系，当时，点，，，， 则，， 异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 又，∴， 从而，故C错误； 当取任意值时，，，，， ∴， ∴，故D正确, 故选：ABD． 11．CD 【分析】分的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】当时，曲线，即； 当时，曲线，即；不存在； 时，曲线，即； 时，曲线，即； 画出图形如下：    对于A，由图可得A错误，故A错误； 对于B，方程是以为上下焦点的双曲线， 当时，曲线C存在点P，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线， 则由点到直线的距离公式可得 ，， 所以， 又点Q是曲线C上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：CD. 12．【详解】设P(x0，y0)，则y0＝x＋1， f′(x0)＝＝＝2x0， 所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－x， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得2x2＋2x0x＋2－x＝0， 则Δ＝4x－8(2－x)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或. 13． 【分析】运用等比数列通项公式构造方程组，解出首项和公比，即可求出 【详解】设等比数列的公比为，① 由， 可得解得② 所以．③ 故答案为：． 14． 【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值． 【详解】设△PAF2的内切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N， 则|PM|＝|PN|，|AQ|＝|AN|，|QF2|＝|MF2|， 由双曲线的对称性可得|AF1|＝|AF2|＝|AQ|+|QF2||QF2|， 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2| |QF2|+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|MF2| ＝42a，解得a， 又|F1F2|＝6，即有c＝3， 离心率e． 故答案为． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查内切圆的切线性质，注意运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题． 15．(1)，最小值为 (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. （2）由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 16．【答案】（1）11； （2）． 【分析】（1）利用导函数与函数的单调性和极值的关系求解； （2）利用导函数与函数的单调性最值的关系求解． 【解答】解：（1）由题意可得f′（x）＝3x2﹣2ax﹣b， 因为函数f（x）在x＝1处有极值10， 所以，即，解得或， 当a＝3，b＝﹣3时，f（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，所以f（x）单调递增，不存在极值，不符合题意． 当a＝﹣4，b＝11时，f′（x）＝3x2+8x﹣11＝（3x+11）（x﹣1）， 当∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增 此时f（x）在x＝1处取到极小值10，符合题意． 故所求的b的值为11． （2）①若，则当a＝﹣1时，对， 有． 所以f（x）在上单调递减． 而，所以f（x）不可能在[﹣2，0]上递增，不满足条件； ②当时，对任意a∈[﹣1，+∞），有，且等号仅在一点成立． 所以f（x）单调递增，故一定在[﹣2，0]上单调递增，满足条件． 综上，b的最大值为． 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （3）思路一：建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解；思路二：由（2）知平面，故可将问题转换为与平面所成角的正弦值，由等体积法即可求解. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． （2）因为底面是边长为2的菱形，所以，且既是的中点，也是的中点， 又，所以， 连接，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，所以． 又平面，所以平面． （3）解法一：在边长为2的菱形中，，所以， 在，，则有， 以为原点，所在直线分别为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，所以平面平面， 即在底面的射影在上，所以， 易知，所以，，， 由（2）知平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 取，则，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：在边长为2的菱形中，，所以， 在，，，，， 由（2）知平面，则平面与平面夹角的余弦值即为与平面所成角的正弦值， 易知，所以， 因为平面平面，所以平面平面， 所以在底面的射影在上， 所以到底面的距离为， 设到底面的距离为，由可知，，解得， 所以与平面所成角的正弦值为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．(1)数列成等比数列，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）推导出，得到结论； （2）先得到，，从而得到，令，得到函数单调递增，且由特殊点函数值得到，，求出，当时，利用裂项相消法求和，得到. 【详解】（1）数列成等比数列，证明如下： 根据得， ； ，，，即数列成等比数列. （2）由（1）得，，， 故 ， 由，得. 令， 当时，单调递增，且， 故，，， ，， 当时， ， 综上，知 19．(1) (2)存在， (3)证明见解析 【分析】（1）根据已知直接列方程组可得； （2）设直线的方程，代入椭圆消元，记线段的中点为R，由可得直线为直线的垂直平分线，利用韦达定理表示出R坐标，从而可得直线的方程，求其与x轴的交点，然后可得； （3）设直线AB的方程，借助韦达定理表示出直线方程，然后求其与x轴的交点，然后可证. 【详解】（1）因为椭圆右焦点为，且经过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，设直线的方程为：，，代入， 得，恒成立. 设，，线段的中点为，则， 则，由， 得， 所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：， 令得：点的横坐标， 因为，所以，所以. 线段上存在点，使得，其中. . （3）设直线的方程为：，，代入， 得， 因为过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于A，两点， 所以由，得：， 设，，，则，， 则直线的方程为， 令，得 . 易知当直线AB斜率为0时，直线也过点. 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $