精品解析：辽宁盘锦市双台子区2025—2026学年度八年级上学期数学期末质量检测卷

双台子区2025—2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在攻击人类的病毒中某类新型冠状病毒体积较大，直径约为米，含约3万个碱基，拥有RNA病毒中最大的基因组，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（　　） A B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形两腰上的高相等 B. 到三角形三边距离相等的点是三条高的交点 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 7. 如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ） A. 边的高上 B. 的平分线上 C. 的平分线上 D. 边的中线上 8. 某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点E在边上，且，的垂直平分线分别交于点，，点P为直线上一动点，点F为边上一动点，当的值最小时，的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 13. 如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为_________． 14. 如图，在中，，为边上高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 15. 如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，则四边形面积的最大值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）解方程：； （3）先化简，再求值：，其中． 17. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的； （2）点与点关于轴对称，求的值； （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是_________． 18. 如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 19. 已知，如图，于点于点． （1）求证：； （2）求证：． 20. 某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过60000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 21. 若一个整数能表示成（a，b是整数）形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． （1）请说明13是“完美数”； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （3）已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 22. “数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． （1）通过观察图1大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； （2）有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） （3）在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 23. 已知中，，，射线平分，交于点D，动点P从D点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． （1）如图1，当点E在线段上时， ； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点A与点E在直线异侧，猜想、、三条线段的数量关系，并说明理由； （3）若，在点P运动过程中，所在直线与相交于点M，设点P的运动时间为t秒，当时，请求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双台子区2025—2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义即可进行解答． 【详解】解：根据题意得： A为轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 2. 在攻击人类的病毒中某类新型冠状病毒体积较大，直径约为米，含约3万个碱基，拥有RNA病毒中最大的基因组，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘除和积的乘法判断即可. 【详解】A. ,该选项错误; B. ,该选项错误; C. ,该选项错误; D. ,该选项正确; 故选D. 【点睛】本题考查幂的乘除和积的乘法,关键在于掌握基础运算法则. 4. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，分式的性质：分子和分母同时乘以或者除以非0的数或整式，分式的值不变；根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∵一束平行于主光轴的光线， 故选：A． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形两腰上的高相等 B. 到三角形三边距离相等的点是三条高的交点 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定等知识点，需根据相关定义和性质逐项分析判断． 【详解】解：A、∵等腰三角形的面积腰长×腰上的高，且两腰长相等，三角形面积固定∴两腰上的高相等，该命题是真命题，故本选项符合题意． B、∵到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，而非三条高的交点∴该命题是假命题，故本选项不符合题意． C、∵等腰三角形只有顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合，并非所有的角平分线、中线和高都重合∴该命题是假命题，故本选项不符合题意． D、∵有一个角等于60°的等腰三角形才是等边三角形，普通三角形有一个角为60°不一定是等边三角形∴该命题是假命题，故本选项不符合题意． 故选：A． 7. 如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ） A. 边的高上 B. 的平分线上 C. 的平分线上 D. 边的中线上 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选B． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 8. 某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可． 【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2， 由题意可得：， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 9. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 10. 如图，在中，，，，点E在边上，且，的垂直平分线分别交于点，，点P为直线上一动点，点F为边上一动点，当的值最小时，的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，正确找出的值最小时，点的位置是解题关键． 作点关于直线的对称点，连接，得出相等的线段，根据两点之间线段最短和垂线段最短确定点的位置，然后利用线段的和差以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小， 即的值最小， ∵垂直平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当的值最小时，的长为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式的分母不为零列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为： 13. 如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明得，根据求出即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可分当点E在直线的上方时，当点E在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可分：当点E在直线的上方时， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为； 当点E在直线的下方时， 同理可得：， ∴， ∴点E的运动时间为； 综上所述：当点E运动或时，有； 故答案为：或． 15. 如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，则四边形面积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是正确作出辅助线；延长到点，使，连接，可得，进而得出，从而得到当时，面积最大． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，最大为：， 此时最大为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）解方程：； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2）； （3）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、解分式方程、分式的化简求值，关键是熟练应用运算方法进行计算； （1）先算积的乘方，再算单项式与多项式相乘，最后合并同类项即可； （2）把分式方程化为整式方程求解即可； （3）先将括号内的通分化简后再算除法，然后求出的值，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得； 检验，当时，， ∴原方程的解为； （3）解： ， ∵， ∴当时，原式． 17. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的； （2）点与点关于轴对称，求的值； （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是_________． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形； （2）利用关于轴对称的点的坐标关系求出、的值； （3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， 又∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：要使与全等， 则或或， 如图，根据格点的特点，找到三个符合条件的点， ∴使与全等，那么不同于点的格点的坐标是或或， 故答案为：或或． 18. 如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 首先根据是的角平分线，求出的度数，然后根据是的高，求出，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的度数是． 19. 已知，如图，于点于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 20. 某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过60000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）政府最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过60000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）， 答：单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； 【小问2详解】 解∶单枪新能源充电桩单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了， 则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过60000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为6， 答：政府最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 21. 若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． （1）请说明13是“完美数”； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （3）已知实数x与y和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 【答案】（1）见解析； （2），S是完美数，见解析； （3）的最小值等于． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是关键． （1）根据13是“完美数”定义证明即可； （2）利用完全平方公式，将S配成完美数，可求k的值， （3）由得到，再由完全平方的非负性求解最值． 【小问1详解】 解：∵， ∴13是“完美数”； 【小问2详解】 解：，是完美数， 理由如下： ， ∵整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是“完美数”，且是大于等于2的最小“完美数”， 当时，可由解得符合题意， 故的最小值等于 22. “数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． （1）通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； （2）有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） （3）在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）图阴影部分面积，图阴影部分面积为； （3）图中的阴影部分的面积是． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，掌握数形结合的思想，是解题的关键； （1）根据大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果； （2）根据图形列出表示面积的代数式即可； （3）根据，，求出，然后代入化简后的阴影部分的面积表达式求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵两个正方形，，边长分别为，， ∴阴影部分正方形的边长为， ∴图2阴影部分面积为：； 图3阴影部分面积为：． 答：图2阴影部分面积为，图3阴影部分面积为． 【小问3详解】 解：根据题意得： ，， ∴， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图4阴影部分面积为： ， ． 答：图4中的阴影部分的面积是． 23. 已知中，，，射线平分，交于点D，动点P从D点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． （1）如图1，当点E在线段上时， ； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点A与点E在直线异侧，猜想、、三条线段的数量关系，并说明理由； （3）若，在点P运动的过程中，所在直线与相交于点M，设点P的运动时间为t秒，当时，请求出t的值． 【答案】（1） （2），见解析 （3）t的值为或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据等边三角形的性质得出，最后利用三角形内角和定理求解即可； （2）在射线上截取，连接，判定是等边三角形，然后得出相等的边和角，证明，得出相等的边，然后利用线段的和差以及等量代换即可得出结论； （3）分两种情况进行讨论，当点A与点E在直线异侧时和当点A与点E在直线同侧时，利用面积比求出线段比，根据含角的直角三角形的性质得出边的之间的关系，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，在射线上截取，连接， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示， ①当点A与点E在直线异侧时，由（2）可知，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点A与点E在直线同侧时， 在射线DF上截取DH=DC，连接CH， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 由①可知， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $