5.3.1 等积变形问题 课件--2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月26日 5.3.1等积变形问题 第五章 一元一次方程 探究新知 如图，请大家用一根长 60 cm 的铁丝围成一个长方形. …… 这些长方形的周长相等吗? 面积呢? 这些长方形的周长相等，都是 60 cm . 面积不一定相等. 大家围成的长方形是一模一样的吗? （2）如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积； （1）如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽； 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形， （3）若设长方形的面积为x平方厘米，能否直接列方程？ 新知探究 知识点 等积变形问题 (1)解：设长为x，则宽为， 由题意得：2(x+)=60 解得：x=18 则 所以长为18厘米，宽为12厘米. (2)解：设长为x，则宽为x-4， 由题意得：2(x+x-4)=60 解得：x=17 则x-4=17-4=13 面积=17×13=221(平方厘米) 所以长方形的面积是221平方厘米. (3)设长方形的面积为x平方厘米，不能找出等量关系， 不能直接列出方程. 新知探究 知识点 等积变形问题 （4）将问题（2）中的宽比长少4厘米改为少3厘米、2厘米、1厘米和0厘米（即长与宽相等），分别计算这个长方形的面积是多少？ 长-宽=（厘米） 4厘米 3厘米 2厘米 1厘米 0厘米 长（厘米） 宽（厘米） 面积（平方厘米） 17 13 16.5 13.5 16 14 15.5 14.5 15 15 221 222.75 224 224.75 225 新知探究 知识点 等积变形问题 知识点1 平面图形的等长、等积变化 1.一个长方形的周长为，这个长方形的长减少、宽增加 就成为一个正方形，设长方形的长为 ，可列方程为( ) D A.B. C.D. 中考考法 6 2.用同一根铁丝能围成一个等边三角形或正方形，正方形比等边三角形 的边长少，等边三角形的边长为____ . 40 中考考法 7 3.用一根长的铁丝围成一个长、宽比为 的长方形，则该长方形 的面积是____ . 32 中考考法 8 4.（4分）一块长方形地长，如果把它的长增加到 ，宽减少 ，面积的大小正好不变，这块长方形地的面积是多少平方米？ 解：设原长方形的宽为，由题意得 ， 解得， . 答：这块长方形地的面积是 . 中考考法 9 提炼概念 注意：长-宽=？也就是长比宽多多少或者宽比长少多少. 观察以上数据，你能发现长方形的面积和长方形的长、宽之差有什么关系么？ 长方形在周长一定的条件下，它的长与宽越接近，面积就越大；当长与宽相等，即成为正方形时，面积最大. 实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理. 新知探究 知识点 等积变形问题 招亲启事 亲爱的子民们： 如果你是20-25岁的年轻小伙子，你拥有勤劳的双手和智慧的头脑，你就有权来参加招亲。 参加招亲的年轻人都将得到一个长60米的栅栏，如果你用这个栅栏围成的长方形耕地，并种得了所有人中最多的粮食，那么你会成为驸马！ 现在有谁能回答国王提出的问题呢？ 解：当长方形的长为15厘米,宽为15厘米时 长方形的面积最大，最大值= 新知探究 知识点 等积变形问题 实际上，若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的不规则图形），面积最大的是圆。这里面的道理需要较为高深的数学知识，在以后的学习中，我们继续去探究其中的道理. 续接故事：如果没有要求围成方形地，那么，围成什么样形状的地，面积最大？ 新知探究 知识点 等积变形问题 例: 如图，小明家打算靠墙(墙长14米)修建一个长方形的养鸡场，另三边用35米长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多2米，小明的妈妈打算让鸡场的长比宽多5米，你认为他们谁的设计合理?按照这种设计，鸡场的面积是多少平方米? 新知探究 知识点 等积变形问题 解：设鸡场的宽为x米. ①若按小明爸爸的设计，则其长应为(x+2)米. x+2+2x=35 x=11. 因为11+2=13(米)<墙长14米， 所以小明爸爸的设计合理， 这时鸡场的面积为13x11=143(平方米). 经检验：符合题意 新知探究 知识点 等积变形问题 ②若按小明妈妈的设计，则其长应为(x+5)米. x+5+2x=35 x=10. 因为10+5=15(米)＞墙长14米， 所以小明妈妈的设计不合理. 经检验：不符合题意 新知探究 知识点 等积变形问题 知识点2 立体图形的容积变化 5.如图，两个量筒中分别装有等量的某种液体，根据图中信息可列方程 为_ ___________________________. 中考考法 16 6.把一个长、宽、高 的长方体铜块熔铸成一个底面半 径为的圆锥，这个圆锥的高是___.（结果保留 ） 中考考法 17 7.（4分）如图，甲、乙两个圆柱形容器的内部底面 积分别为、 ，甲容器装满水，乙容器 是空的.将甲容器中的水全部倒入乙容器，则乙容器 中的水面高度比甲容器的原水面高度高 ，求甲 容器的容积. 解：设甲容器的容积为，根据题意，得 ， 解方程，得 . 答：甲容器的容积为 . 中考考法 18 知识点3 平面图形的拼接与分割 8.[漯河期中] 如图，将一个正方形纸片剪去一个 宽为 的长条后，再从剩下的长方形纸片上 剪去一个宽为 的长条，两个长条的面积相 等，求每个长条的面积.若设正方形边长为 ， 依题意可列方程为( ) A A. B. C. D. 中考考法 19 9.（4分）如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和1个正方形拼 成的，其中小长方形的宽是 ，求大长方形的面积. 解：设小长方形的长为，由题意得 ， 解得，所以小长方形的长为 ， 所以大长方形的面积为 . 答：大长方形的面积为 . 中考考法 20 （第10题） 10.如图，一个瓶子的容积为 ，瓶内装 着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的 高度为 ，倒放时，空余部分的高度为 .则瓶内溶液的体积是( ) C A. B. C. D. 中考考法 21 11.如图，一个无盖长方体容器的内底面长为，宽为 ，高为 ，容器中水的高度为，现把一块棱长为 的立方体金属块 放入水中，则容器内的水将升高___ . 1 （第11题） 中考考法 22 12.如图，在长方形 中放入六个完全相同的小长方形，则图中阴影 部分的面积之和为________. 中考考法 23 13.（4分）［教材P20“习题5.3.1”第1题变式］如图，小王要利用长 的竹篱笆围成一个长边靠墙的长方形菜园，并在短边上留一个宽 的 门，已知墙的长度为，围成的菜园的长比宽多 .这个方案能否 实现？若能实现，这个菜园的面积是多少？ 中考考法 24 解：设围成的菜园宽为,则长为 .根据题意，得 ，解得， 这个方 案能实现. . 答：方案能实现，这个菜园的面积是 . 中考考法 25 $