1.3 乘法公式（题型专练）（基础达标4大题型+能力提升5大题型+拓展培优）数学新教材北师大版七年级下册

1.3 乘法公式 题型一    利用平方差公式计算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式可进行求解； （2）根据平方差公式可进行求解． （1）解：原式； （2）解：原式． 2. （25-26八年级上·甘肃天水·期末）若，则 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方公式逆用，利用平方差公式将已知条件变形，再逆用积的乘方公式求解即可． 解：∵ ， ∴， ∴ ． 故答案为：25． 3．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 4. （25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型二    平方差公式的应用 1．如图，把一个长、宽分别为、的长方形分割成两个小长方形，然后拼成一个边长为a的有空缺的大正方形，其中空缺部分是一个边长为b的小正方形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别计算出两幅图中的阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：左边那幅图的阴影部分的面积为， 右边那幅图的阴影部分的面积为， ∵两幅图中的阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 2．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 3. （25-26八年级上·北京门头沟·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将原式变形为，再由平方差公式计算即可； （3）将原式变形为，再连续使用平方差公式计算． 【详解】（1）解：图1中，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形， 则剩余部分面积为：； 将剩余部分拼成一个长方形，则长为，宽为， 所以面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 4.（25-26八年级上·河南南阳·月考）用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 【答案】(1) (2)的值为15或 (3) 【分析】（1）用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各部分的面积之间的关系，即可得出答案； （2）根据（1）中的结论，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将和分别看作一个整体，结合（1）中结论即可求解． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及平方差公式的运用，熟练掌握平方差和完全平方公式的计算方法进行求解是解决本题关键． 【详解】（1）解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积， ． （2）解：，，， ． 或． ， ∴当时，； 当时，． 综上，的值为或． （3）解：设，，则， ． ． ． 故答案为：． 题型三    利用完全平方公式计算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式是解题关键． （1）（2）（3）（4）根据完全平方公式计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（四川宜宾市2025年秋期学校义务教育阶段教学质量监测八年级数学）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式化简即可得出答案． 解：． 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 【答案】(1)②③ (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； ，为常数，故③是“对消多项式”； 故答案为：②③； （2） ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 4.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：当，时， ． 题型四    完全平方公式的应用 1. 如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）． (2)如果图中的满足，，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）依据正方形的面积公式以及大正方形的各个组成部分，即可得到该图形的总面积； （2）由（1）可得，即可得出的值； （3）设，，则，，再根据，即可得到的值． 【详解】（1）解：方法1，图中大正方形的边长为，所以面积为； 方法2，拼成大正方形的四个部分的面积和为． （2）解：由（1）得， ，， ． （3）解：设，， 则，， 由，得， ， 即的值为28． 2. （25-26八年级上·北京·期中）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，数形结合，熟记完全平方公式是解决问题的关键． （1）数形结合，表示出，利用完全平方公式展开后，合并同类项即可得到答案； （2）由（1）中所求的，将代入计算即可得到答案． （1）解：放置冰块部分的面积 ； （2）解：当时，． 3. （25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式与几何综合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由题意得，，，则根据即可求解． 解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 4.（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 题型一    乘法公式的混合计算 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 先根据整式的乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意； 因为运用完全平方公式，所以D符合题意． 故选：D． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，积的乘方，同底数幂相乘，单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算平方差公式，再运算完全平方公式，即可作答． （2）先运算平方差公式，完全平方公式，再合并同类项，即可作答． （3）先运算平方差公式，完全平方公式，再去括号，即可作答． 【详解】 （1）解： ； （2）解： （3）解： ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； （3）原式根据完全平方公式进行计算即可； （4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 题型二    乘法公式中化简求值问题 1．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到，由所给条件得到，整体代入，即可得到结果． 解： ， ， ， ∴原式． 2．（2026·陕西西安·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项进行化简，再代值计算即可． 解：原式 ； 当，时，原式． 4．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解： ∵， ∴原式． 故选：A． 题型三    乘法公式中的简便计算 1．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2.（25-26八年级上·天津南开·月考）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9991 (2)998001 【分析】本题考查乘法公式进行简便运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）将改写成，97改写成，再利用平方差公式进行计算即可； （2）将改写成，再将完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.（24-25七年级下·山西太原·月考）用简便方法计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)4020025 (2)3999999 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式； （1）利用完全平方公式简便计算即可； （2）利用平方差公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4. （24-25八年级上·河南周口·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算律（乘法分配律）、平方差公式即可直接得出答案； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：， 小军进行简便计算的原理为乘法公式：， 故答案为：，； （2）解：① ； ② ． 题型四    利用乘法公式求待定系数 1. （25-26八年级上·山西临汾·期末）若是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式，即， ∴， 故答案为：． 2. （24-25八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 【答案】，，， 【分析】由于多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么此单项式可能是二次项、可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项，分4种情况讨论即可． 【详解】解：∵多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方， ∴此单项式可能是二次项，可能是常数项，可能是一次项，还可能是4次项， ，故此单项式是； ，故此单项式是； ，故此单项式是； 故此单项式是． 故答案是，，，． 3. 明明将展开后得到；东东将展开后得到，若两人计算结果无误，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先通过完全平方公式求出和，再得出，最后相加即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 4. 请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握 ． 【详解】解：， 或 故答案为：或． 题型五    乘法公式的综合运用 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据先求出的值，然后再求的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 3. （25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1)12 (2)4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 4. 如图，我校一块边长为米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为米的正方形，其中． （1）分别用的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积； （2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？ 【答案】（1）（2）平方米 【详解】试题分析：（1）结合图形、根据平方差公式计算即可； （2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、求差即可． 解：（1）八年3班的卫生区的面积=； 八年4班的卫生区的面积=； （2）． 答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多平方米． 1．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)设为整数，且，请用含的式子表示上述等式蕴含的一般规律_____； (2)请证明（1）中得到的规律； (3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：，，，……． 请你用发现的规律计算．（写出计算过程） 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式： （1）个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可； （2）利用完全平方公式把展开即可； （3）证明 ，再利用该结论计算求解即可． （1）解：； ； ； ……， 以此类推可知，， 故答案为：； （2）证明： ； （3）解： ， ∴，． 2.（25-26八年级上·河北衡水·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 3. （24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．． 【答案】类比探究：；应用：（1）217；（2）12；拓展：19平方米 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 类比探究：由图①所得到的等式，进行变形即可； 应用：（1）由，代入即可求出答案； （2）设，由题意得，由代入计算即可； 拓展：设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：类比探究：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为： ， 故答案为：； 应用：（1）∵，， ∴， 故答案为：217； （2）设，则，， ∴ ； 拓展：设，由题意得，，，即， （平方米）， 即种草区域的面积和为19平方米． 4. （25-26八年级上·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【答案】(1)最小值为 (2)代数式有最大值，最大值为12 (3)当时，生物园的面积有最大值，最大值为50 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）由，可知当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）设，则，由题意得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解： ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：      ， 当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）解：设，则， 由题意得，生物园的面积 ，      当时，生物园的面积有最大值，最大值为50． 答：当时，围成的生物园的面积最大． 5. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 【答案】(1)② (2)①见解析②见解析 【分析】（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用平方差公式计算整理原式即可得证；②由①可知“双奇差数”可表示为 ，设任意两个连续的“双奇差数”为和，作差即可得解． 【详解】（1）解：（1）② 【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意． 综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②． （2）解：① ． 因为为正整数， 所以“双奇差数”都能被整除． ②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为． 6. 【问题呈现】 （）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：______； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：______； 因此，可以得出等式______．（填序号） ①；② 【数学应用】 （）根据图所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （）如图，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 【答案】（），，②；（）；（）平方米 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）利用（）得到的等式计算即可求解； （）由题意得米，米，米，即得，得到，又由图可得正方形和区域的面积和为，设，，则，，利用（）得到的等式求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算及其应用，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：； 因此，可以得出等式， 故答案为：，，②； （）∵，，， ∴； （）由题意得，米，米，米， ∵的面积等于平方米， ∴， 即， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和区域的面积和为， 设，，则，， ∵， ∴， 即， ∴两个正方形和区域的面积和为平方米． 7. （25-26八年级上·吉林长春·期末）观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平方差公式的运用，读懂题目信息，写出奇数列的两种不同表示是解题的关键． （1）根据题干中的规律即可写出答案； （2）左边是相邻奇数的平方差，右边是8的倍数，根据奇数的不同表示写出算式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 可知第⑤个算式为：， 故答案为： （2）解：由题意可知，左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数，即第n个等式为：， 证明如下： ， 故答案为：． 8. （25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 A 乘法公式 B 题型一利用平方差公式计算 1.(1)解：原式=x2-(3y)2=x2 (2)解：原式=-(2m-n)(2m+m 2.25 3.B 4.(1)解：原式=a2-(3b)2 =a2-9b2 (2)解：原式=(2a+3)(2a-3) =(2a)2-32 =4a2-9 (3)解：原式=(50+1)(50-1) =502-12 =2499. 题型二平方差公式的应用 www.Zxx k.com 1.3乘法公式 题型一 题型二 基础达标题 题型三 题型四 题型一 题型二 能力提升题 题型三 题型四 题型五 拓展培优题 A 基础达标题 2 9 )=-[【(2m2-n2]=n2-4m2. 1/13 上好每一堂课 利用平方差公式计算 平方差公式的应用 利用完全平方公式计算 完全平方公式的应用 乘法公式的混合计算 乘法公式中化简求值问题 乘法公式中的简便计算 利用乘法公式求待定系数 乘法公式的综合运用 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 1.D 2.D 3.【详解】(1)解：图1中，从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形， 则剩余部分面积为：a2-b2; 将剩余部分拼成一个长方形，则长为(a+b),宽为(a一b), 所以面积为(a+b)(a-b), ∴.(a+b)(a-b)=a2-b2, 故答案为：(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)解：20242-2023×2025 =20242-(2024-1)×(2024+1) =20242-(2024-1)×(2024+1) =20242-(20242-12) =1; (3)解：9×(10+1)(102+1)(104+1)(108+1)(1016+1)-1032 =(10-1)×(10+1)(102+1)(104+1)(108+1)(1016+1)-1032 =(102-1)(102+1)(104+1)(108+1)(1016+1)-1032 =(104-1)(104+1)(108+1)(1016+1)-1032 =(108-1)(108+1)(1016+1)-1032 =(1016-1)(1016+1)-1032 =(1032-1)-1032 =-1 4.【详解】(1)解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积， (a+b)2=(a-b)2+4ab. (2)解：a+b=3,ab=-4,(a+b)2=(a-b)2+4ab, (a-b)2=(a+b)2-4ab=9-4×(-4)=25. a-b=5或a-b=-5. a+b=3, ∴.当a-b=5时，a2-b2=(a+b)(a-b)=3×5=15: 当a-b=-5时，a2-b2=(a+b)(a-b)=3×(-5)=-15. 综上，a2-b2的值为15或-15. 2/13 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：设m=2025-x,n=x-2026,则m+n=-1, (2025-x)2-(x-2026)2=m2-n2=(m+n)·(m-n)=9. .m-n=-9. (2025-x)(x-2026=mn=m+m02_m-m2=-20. 4 故答案为：-20. 题型三利用完全平方公式计算 1.(1)解：(3a+b)2=9a2+6ab+b2; (2)解：(4m-5m)2=16m2-40mn+25n2; (3)解：(-+2n2=6-n+n: (4)解：(0.1x2-4y2)2=0.01x4-0.8x2y2+16y4. 2.D 3.(1)解：3x2+2x+3x2+2=6x2+2x+2,不是常数，故①不是“对消多项式”； x-6一x+2=-4,为常数，故②是“对消多项式”； -5x2y3+2xy+5x2y3-2xy-1=-1,为常数，故③是对消多项式”； 故答案为：②③； (2)A+B=(x-a)2-bx2-2x+b =x2-2ax a2-bx2-2x+b =(1-b)x2-(2a+2)x+a2+b, ,多项式A=(x-a)2与多项式B=-bx2-2x+b(a,b为常数)互为对消多项式”， .1-b=0,2a+2=0, .b=1,a=-1, .A+B=a2+b=1+1=2, .“对消值为2. 4.解：当x=-2y=4时， x2+2y+y2=(+02=(-+4)°=（③=翠 题型四完全平方公式的应用 1.(1)解：方法1，图中大正方形的边长为a+b,所以面积为(a+b)2; 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法2，拼成大正方形的四个部分的面积和为a2+2ab+b2. (2)解：由(1)得(a+b)2=a2+2ab+b2, a2+b2=57,ab=12, ∴(a+b)2=a2+2ab+b2=57+24=81. (3)解：设m=5+2x,n=2x+3, 则m-n=2,m2+n2=60=(5+2x)2+(2x+3)2, 由(m-n)2=m2+n2-2mn,得22=60-2mm, ∴.mn=28=(5+2x)(2x+3), 即(5+2x)(2x+3)的值为28. 2.(1)解：放置冰块部分的面积S=(2a+b)2-(2a-b)2 =(4a2+4ab+b2)-(4a2-4ab+b2) =4a2+4ab+b2-4a2+4ab-b2 =(4a2-4a2)+(4ab+4ab)+(b2-b2) =8ab; (2)解：当ab=6.5dm2时，S=8ab=8×6.5=52dm2, 3.37 4.28 B 能力提升题 题型一乘法公式的混合计算 1.D 2.（1)解：(2x+3)2(2x-3)2 =[(2x+3)(2x-3)]2 =(4x2-9)2 =16x4-72x2+81; (2)解：(2a+b)(b-2a)-(a-3b)2 =(b+2a)b-2a)-(a-3b)2 =b2-4a2-(a2-6ab+9b2) =b2-4a2-a2+6ab-9b2 =-5a2+6ab-8b2 4/13 学科网·上好课 (3)解：(x-y+4)(x+y-4) =[x-(y-4)][x+(y-4)] =x2-(y-4)2 =x2-(y2-8y+16) =x2-y2+8y-16. 3.(1)解：(x+y-1)(x-y+1) =[x+(y-1)][x-(y-1] =x2-(y-1)2 =x2-(y2-2y+1) =x2-y2+2y-1. (2)解：(x-y+z)2 =[(x-y)+z]2 =(x-y)2+2z(x-y)+z2 =x2 y2 +z2-2xy +2xz-2yz; (3)解：(a-2b+c)2 =[(a-2b)+c]2 =(a-2b)2+2c(a-2b)+c2 =a2-4ab+4b2+2ca-4cb+c2. (4)解：(a+b-2c)(a-b-2c) =[(a-2c)+b][(a-2c)-b] =(a-2c)2-b2 =a2-4ac+4c2-b2. 题型二乘法公式中化简求值问题 1.解：(3a-1)2-2a(4a-1) =(9a2-6a+1)-8a2+2a =(9a2-8a2)+(-6a+2a)+1 =a2-4a+1, .a2-4a+3=0, a2-4a=-3, www.zxxk.com 5/13 上好每一堂课 丽学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.原式=a2-4a+1=-3+1=-2. 2.解：(x-3y)2+2y(3x-4y) =x2-6xy+9y2+6xy-8y2 =x2+y2 当x=1,y=-3时， 原式=12+(-3)2=1+9=10 3.解：原式=[a-(b-3)][a+(b-3)]+b2+6b+9 =a2-(b-3)2+b2+6b+9 =a2-b2+6b-9+b2+6b+9 =a2+12b: 当a=-3,b=-时，原式=(-3)2+12×（-)=5. 4.A 题型三乘法公式中的简便计算 1.(1)解：原式=482+2×48×52+522 =(48+52)2 =1002 =10000. (2)解：原式=(30.25+20.25)×(30.25-20.25) =50.5×10 =505. 2.(1)解：103×97 =(100+3)×(100-3) =1002-32 =10000-9 =9991: (2)解：9992 =(1000-1)2 =10002-2×1000×1+12 =1000000-2000+1 6/13 上好每一堂课 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =998000+1 =998001. 3.（1)解：20052 =(2000+5)2 =20002+2×2000×5+52 =4000000+20000+25 =4020025; (2)解：1999×2001 =(2000-1)×(2000+1) =20002-12 =4000000-1 =3999999. 4.(1)解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：a(b+c)=ab+ac, 小军进行简便计算的原理为乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2, 故答案为：ab+ac,(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)解：①29×31 =(30-1)×(30+1) =302-12 =900-1 =899: ②20232-2022×2024 =20232-(2023-1)×(2023+1) =20232-(20232-12) =20232-20232+1 =1. 题型四利用乘法公式求待定系数 1.±10 2.-x2,±4，-4,4 3.c 4.±12x或x4 题型五乘法公式的综合运用 1.(1)解：，a+b=5,ab=6, 7/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com .a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×6=25-12=13; (2)解：a+b=5,ab=6, ∴.(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×6=25-24=1, .a-b=±1. 2.(1)解：，(x+1)y+1)=8, .xy+x+y+1=8, 则xy+(x+y)=7, .x+y=4, .xy=7-4=3; (2)解：由(1)得xy=3, ,x+y=4 .x2+y2 =(x+y)2-2xy =42-2×3 =10. 3.（1)解：.x+y=8, ∴.(x+y)2=82=64, .x2+2xy+y2=64, x2+y2=40, .40+2xy=64, .xy=12, 故答案为：12： (2)解：2a+b=6, .(2a+b)2=62=36, ∴.4a2+4ab+b2=36, .'ab=4, .4a2+4×4+b2=36 ..4a2+b2=20, ∴.(2a-b)2=4a2-4ab+b2 8/13 上好每一堂课 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 =20-4×4 =4, ∴.(2a-b)2的值为4. 4.解：（1)八年3班的卫生区的面积=(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2; 八年4班的卫生区的面积=(x-2y)[2x-(x-2y)]=x2-4y2; (2)[2x-(x-2y)]2-(x-2y)2=8xy. 答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米， 拓展培优题 1.(1)解：152=15×15=225=(1×2)×100+25； 252=25×25=625=(2×3)×100+25; 352=35×35=1225=(3×4×100+25; 以此类推可知，(10a+5)2=100a(a+1)+25(0<a<10), 故答案为：(10a+5)2=100a(a+1)+25(0<a<10): (2)证明：(10a+5)2 =(10a)2+2.10a.5+52 =100a2+100a+25 =100a(a+1)+25(0<a<10): (3)解：(10a+b)(10a+10-b) =100a2+10ab+100a+10b-10ab-b2 =100a2+100a+10b-b2 =100a(a+1)+b(10-b)(0<a<10,0<b<10), ∴.48×42=100×4×(4+1)+8×2=2016,93×97=100×9×(9+1)+7×3=9021. 2.解：由题意可得(x+1)2023展开式中含x2022项为第二项， 展开式(a+b)1中的第二项系数为1， 展开式(a+b)2中的第二项系数为2， 展开式(a+b)3中的第二项系数为3， 展开式(a+b)4中的第二项系数为4， 9/13 学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 ∴.以此类推，根据杨辉三角形(a+b)”展开式中，第二项的系数为， (x+1)2023的展开式中含x2022项的系数是2023， 故选：C. 3.解：类比探究：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为： a2+b2=(a+b)2-2ab, 故答案为：a2+b2=(a+b)2-2ab; 应用：(1).'a+b=15,ab=4,a2+b2=(a+b)2-2ab, .a2+b2=152-2×4=217, 故答案为：217； (2)设m=5-x,n=x-1,则m+n=4,mn=(5-x)(x-1)=2, .(5-x)2+(x-1)2 =m2+n2 =(m+n)2-2mn =16-4 =12; 拓展：设AE=DE=Q,BE=CE=b,由题意得，Q+b=AE+CE=AC=16,SAAED+S△BEc=a2+b2 =109,即a2+b2=218, S种草区域=S△CDE十S△ABE ub+zub 1 ab =a+b)2-(a2+b2) 2 =162-218 2 256-218 2 =19(平方米)， 即种草区域的面积和为19平方米. 4.(1)解：(x-2)(x-4) 10/13 1.3 乘法公式 题型一    利用平方差公式计算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 2. （25-26八年级上·甘肃天水·期末）若，则 ． 3．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4. （25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 题型二    平方差公式的应用 1．如图，把一个长、宽分别为、的长方形分割成两个小长方形，然后拼成一个边长为a的有空缺的大正方形，其中空缺部分是一个边长为b的小正方形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 3. （25-26八年级上·北京门头沟·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 4.（25-26八年级上·河南南阳·月考）用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 题型三    利用完全平方公式计算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（四川宜宾市2025年秋期学校义务教育阶段教学质量监测八年级数学）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）： ①与； ②与； ③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； 4.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）当，时，求代数式的值． 题型四    完全平方公式的应用 1. 如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形总面积（用含的代数式表示出来）． (2)如果图中的满足，，求的值． (3)已知，求的值． 2. （25-26八年级上·北京·期中）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的值． 3. （25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 4.（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ． 题型一    乘法公式的混合计算 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二    乘法公式中化简求值问题 1．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 2．（2026·陕西西安·一模）先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求值：，其中，． 4．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 题型三    乘法公式中的简便计算 1．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 2.（25-26八年级上·天津南开·月考）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 3.（24-25七年级下·山西太原·月考）用简便方法计算下列各题： (1) (2) 4. （24-25八年级上·河南周口·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． 题型四    利用乘法公式求待定系数 1. （25-26八年级上·山西临汾·期末）若是完全平方式，则的值是 ． 2. （24-25八年级上·四川宜宾·期中）将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是 ．（写出有可能的结果） 3. 明明将展开后得到；东东将展开后得到，若两人计算结果无误，则的值为（   ）． A． B． C． D． 4. 请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 题型五    乘法公式的综合运用 1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 3. （25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 4. 如图，我校一块边长为米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1班的卫生区是一块边长为米的正方形，其中． （1）分别用的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积； （2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？ 1．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)设为整数，且，请用含的式子表示上述等式蕴含的一般规律_____； (2)请证明（1）中得到的规律； (3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：，，，……． 请你用发现的规律计算．（写出计算过程） 2.（25-26八年级上·河北衡水·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3. （24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．． 4. （25-26八年级上·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 5. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 6. 【问题呈现】 （）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：______； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：______； 因此，可以得出等式______．（填序号） ①；② 【数学应用】 （）根据图所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （）如图，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 7. （25-26八年级上·吉林长春·期末）观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 8. （25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $