专题01 二元一次方程组76道计算题专训（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题01 二元一次方程组76道计算题专训 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程的解 1 题型二、代入法解二元一次方程组 2 题型三、加减法解二元一次方程组 3 题型四、二元一次方程组的特殊解法 5 题型五、整体代入法解二元一次方程组 6 题型六、构造二元一次方程组求解 8 题型七、二元一次方程组的错解复原 9 题型八、二元一次方程组的同解问题 9 题型九、已知二元一次方程组解的情况求参数 9 题型十、三元一次方程组的解法 9 题型十一、二元一次方程组的新定义运算 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程的解 1．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 2．已知是方程的解，求的值． 3．求方程的正整数解． 4．已知是二元一次方程的一个解． (1)求m的值； (2)用含x的代数式表示y． 5．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 6．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 题型二、代入法解二元一次方程组 7．用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 8．解下列方程组：． 9．用代入法解下列方程组： (1) (2) 10．用代入法解下列方程组： (1) (2) 11．解二元一次方程组： ． 12．用代入消元法解二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 题型三、加减法解二元一次方程组 13．解方程组： 14．解下列方程组 (1) (2) 15．解下列二元一次方程组： (1) (2) 16．解方程组： 17．解方程（组）： (1)； (2)． 18．解二元一次方程组： 题型四、二元一次方程组的特殊解法 19．解方程组：． 20．对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 21．仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 22．阅读下列材料： 解方程组： 解：令则原方程组化为 解得所以解得 请你参考上述做法解下列方程组： (1) (2) 23．小明同学在解方程组时，发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，聪明的他想到通过换元可以简化运算．以下是他的解题过程： 解：令，则原方程组可化为解得 所以解得 所以原方程组的解为 请你参考小明同学的方法，解方程组： (1) (2) 24．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即 ，得 ，得． 将代入，得． 故原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 题型五、整体代入法解二元一次方程组 25．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 26．（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 27．观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 28．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 29．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 30．阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 题型六、构造二元一次方程组求解 31．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 32．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 33．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 34．在等式中，当，；当，；则当时，的值为 ． 35．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 36．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 题型七、二元一次方程组的错解复原 37．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 38．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 39．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 40．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 41．甲、乙二人同解一个方程组：甲解得乙解得经检查，甲仅看错了方程①中的系数，乙仅看错了方程②中的系数．求方程组正确的解． 42．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 题型八、二元一次方程组的同解问题 43．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 44．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 45．已知方程组的解也是方程的解，求的值． 46．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 47．已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 48．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 题型九、已知二元一次方程组解的情况求参数 49．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 50．若方程组的解满足，求的值． 51．已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 52．对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 53．已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 54．已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 题型十、三元一次方程组的解法 55．解方程组： 56．解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 57．解方程组 58．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 59．解下列方程组： (1)； (2)． 60．解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一、二元一次方程组的新定义运算 61．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 62．（1）我们定义一个关于非零常数m， n的新运算，规．例如：．若，，求x，y的值． （2）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如．若，，求x＋y的值． 63．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 64．阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 65．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 66．对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 1．（2024·江西南昌·一模）解方程组，下面是两同学的解答过程： 甲同学： 解：把方程变形为，再将代入方程①得，… 乙同学： 解：将方程的两边乘以3得，再将①+②，得到，… (1)甲同学运用的方法是________，乙同学运用的方法是________；(填序号) ①代入消元法；②加减消元法． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 2．（2025·河北保定·一模）对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． (1)小明将系数□看成的数是多少？ (2)化简整式A． 3．（2024·河北邢台·一模）李宁准备完成题目：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解二元一次方程组； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，是一对相反数”通计算说明原题中“”是几？ 4．（2025·河北沧州·二模）已知是二元一次方程的一个解．    (1)求m的值； (2)若x的取值范围如图所示，求y的正整数值． 5．（2023·河北沧州·一模）已知方程组的解是一对正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 6．（2025·辽宁·一模）解方程组：． 7．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），若该方程组的解x，y满足，则称这个方程组为“和美方程组”． (1)下列方程组是“和美方程组”的是_____________；（只填写序号） ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“和美方程组”，求的值； (3)若对于任意实数，关于x，y的方程组都是“和美方程组”，求的值． 8．（2024·浙江·模拟预测）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 9．（2025·广东揭阳·一模）已知关于x、y的方程组．根据要求，解答下列问题： (1)当时，解这个方程组； (2)若此方程组的解也是方程的一个解，则___________． 10．已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组76道计算题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程的解 1 题型二、代入法解二元一次方程组 2 题型三、加减法解二元一次方程组 3 题型四、二元一次方程组的特殊解法 5 题型五、整体代入法解二元一次方程组 6 题型六、构造二元一次方程组求解 8 题型七、二元一次方程组的错解复原 9 题型八、二元一次方程组的同解问题 9 题型九、已知二元一次方程组解的情况求参数 9 题型十、三元一次方程组的解法 9 题型十一、二元一次方程组的新定义运算 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程的解 1．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 2．已知是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解满足方程得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：把代入方程， 得， ． 3．求方程的正整数解． 【答案】或或 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，正确变形是解答本题的关键．对于求关于x，y的方程的正整数解，方程可化为，结合x，y是整数求解即可． 【详解】解：由原方程，得． 因为x，y为正整数， 所以原方程的正整数解是或或． 4．已知是二元一次方程的一个解． (1)求m的值； (2)用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的解以及解方程 （1）根据二元一次方程组的定义代入计算，即可得出答案； （2）根据解方程的方法用含x的代数式即可表示y． 【详解】（1）由题意得，， 解得，． （2）由得，． 5．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，将把代入，得， 进而可得方程组的解为，即可求解． 【详解】解：把代入，得，         解得                                                   ∴方程组的解为                                       ∵是方程的解                                 ∴这个二元一次方程可以是 6．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． （1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可； （2）由题意得，得到，求出． 【详解】（1）解：将代入得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， 均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 将代入得， ， ， 方程的正整数解是， 当时，方程有正整数解． 题型二、代入法解二元一次方程组 7．用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法的步骤（变形、代入、求解、回代、写解）是解题的关键． （1）直接将方程组中已用含的式子表示的代入另一个方程，消去求出，再回代求出． （2）先将方程组中其中一个方程变形，用含的式子表示，再代入另一个方程消元，依次求出和的值． （3）先将方程组中系数较简单的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消去求出，再回代求出． （4）先将方程组中的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消元求解，再回代得到另一个未知数的值． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为 （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （3）解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （4）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 8．解下列方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据代入法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：由①得：③， 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得 ， ∴原方程组的解是． 9．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）该方程组可以通过第一个方程，将用含的式子表示，再代入第二个方程消元求解； （2）该方程组中两个方程都含有，可以先将用含的式子表示，再代入另一个方程消元求解． 【详解】（1）解： 由①，得③． 把③代入②，得，解得：． 把代入③，得， 这个方程组的解为 （2）解： 由①，得③． 把③代入②，得．解得． 把代入③，得， ， 原方程组的解为 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，解题关键是通过变形，将一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程实现消元，进而求解． 10．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键． （1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用表示，代入化简后的方程，消元求解． （2）从第一个方程中用表示，代入第二个方程，消去，解出后再求． 【详解】（1）解： 化简方程②： 由方程①得：， 代入方程③： 将代入，得： 方程组的解为 ． （2）解： 由方程①得：， 代入方程②： 通分计算： 将代入，得： 方程组的解为 ． 11．解二元一次方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握好代入消元法和加减消元法是解题关键． 使用代入消元法，将①式变形后代入②式，即可求得x的值，进一步求出y的值． 【详解】解：由①得，， 把③代入②，得， 解得，， 把代入③，得， ∴方程组的解是． 12．用代入消元法解二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）（2）将代入②先求出，然后将求出的代入①即可解答； （3）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （4）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （5）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （6）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （7）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （8）将②变形为，将③代入①先求出，然后将求出的代入③即可解答； （9）将②变形为，将③代入①先求出，然后将求出的代入③即可解答； （10）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （11）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （12）将两式化简后，利用代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为： （2）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为： （3）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （4）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （5）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （6）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （7）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （8）解： 由②得：， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （9）解： 由②得：， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （10）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：，即， ∴原方程组的解为： （11）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （12）解： 将两式化为 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： 题型三、加减法解二元一次方程组 13．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 整理②得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 14．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】（1）解：， 由①得 将③代入②得， 解得：， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得 ， 解得：， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； 15．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法解答，即可求解； （2）利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， 由②得③， 将③代入①，得， 解得， 将代入③，得， 则方程组的解为； （2）解：， ②①得， 解得， 将代入①，得， 则方程组的解为． 16．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键．先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】解：方程组整理得， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以方程组的解为：． 17．解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程及解二元一次方程（组）． （1）去分母，去括号，移项合并同类项，即可求解． （2）利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解： ，得：， 解得， 将代入②，得， 解得， 因此该方程组的解为． 18．解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．将方程整理后根据加减消元法求解即可． 【详解】解： 整理得 得， 解得：； 将代入①得， 解得：； ∴． 题型四、二元一次方程组的特殊解法 19．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得，即③， 得，即④， 得， 解得， 把代入③得， 解得， 所以，方程组的解为． 20．对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 【答案】，． 【分析】此题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解本题的关键．根据设出的与，将方程组变形，求出解确定出与的值，进而求出与的值． 【详解】解：∵设，， ∴整理成， 将各个式子去分母化简为：， 由由得： ， ， ， ， 将代入①中得：，即， ∴综上． ∵将代入，中， 整理得， 由③④得： ， ， ， 将代入③中得：，即， ∴综上． 21．仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握消元法是关键． 先把两式相加得出的值，再把两式相减得出的值，再用加减消元法求出的值即可； 【详解】解：①+②，得，即．③ ①-②，得， 即．④ ，得．，得， 所以原方程组的解为 22．阅读下列材料： 解方程组： 解：令则原方程组化为 解得所以解得 请你参考上述做法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，，可以解得和的值，再把、的值代入原方程可得、的值； （2）令，，可以解得和的值，再把、的值代入原方程可得、的值． 【详解】（1）解：令， 则原方程组可化为 解得 即 解得 （2）解：令， 则原方程组可化为． 解得 即 解得 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体代换是解题的关键． 23．小明同学在解方程组时，发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，聪明的他想到通过换元可以简化运算．以下是他的解题过程： 解：令，则原方程组可化为解得 所以解得 所以原方程组的解为 请你参考小明同学的方法，解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了换元法在解二元一次方程中的应用，理解题目中给出的换元法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． （1）（2）设，分别代入原方程组，求出，再代入得到关于的方程组，求出答案即可. 【详解】（1）解：令． 原方程可化为 解得 ∴解得 ∴原方程组的解为 （2）解：原方程组可化为 解得 ∴ 解得 ∴原方程组的解为 24．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即 ，得 ，得． 将代入，得． 故原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练计算是解题的关键. 利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案． 【详解】解：得， 即， ，得， ，得， 解得． 将代入， 得． 故原方程组的解是 题型五、整体代入法解二元一次方程组 25．阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 26．（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可． （2）将和看作一个整体，得出关于，的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】解：（1）， ①②得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为． （2）由题知，将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 27．观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 28．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 29．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组： （1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． 【详解】（1）解： ， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）解： 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得， ． 答：的值是4． 30．阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 题型六、构造二元一次方程组求解 31．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 32．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 33．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 34．在等式中，当，；当，；则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值．根据当，；当，，列出方程组，求出k，b的值，得到等式，再把代入即可求值． 【详解】解：∵当，；当，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，． 故答案为： 35．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 36．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 题型七、二元一次方程组的错解复原 37．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 38．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 39．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将解代入没有抄错的方程，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行求解即可． 【详解】解：将代入方程， 将代入方程，   可得， 解得． 40．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【详解】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 41．甲、乙二人同解一个方程组：甲解得乙解得经检查，甲仅看错了方程①中的系数，乙仅看错了方程②中的系数．求方程组正确的解． 【答案】 【分析】利用“甲仅看错方程①中的系数，乙仅看错方程②中的系数”这一条件，可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①．通过这两个解分别求出方程①中的系数和方程②中的系数，再解出正确的方程组． 【详解】解：设原方程组为， 甲仅看错了方程①中的系数，∴他的解满足方程②： 解得：． 乙仅看错了方程②中的系数，∴他的解 满足方程①： 解得：． 将，代入，得到正确的方程组： ： ： ： 解得：． 将代入① 解得：． ∴方程组正确的解为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与加减消元法，解题关键是抓住“看错一个方程的系数，解仍满足另一个方程”这一关键信息，先确定方程中未知的系数，再求解完整的方程组． 42．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)二 (3) 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）观察小乐同学解二元一次方程组的过程，即可解答； （2）等式③减去②得到左边为即可解答； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：观察小乐同学解二元一次方程组的过程，可知是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质； （2）解：第二步开始出现错误，应为； （3）解： ①，得③， ③-②，得， 将代入①，得 ， 所以，原方程组的解为． 题型八、二元一次方程组的同解问题 43．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 解得： 把代入得：， ∴相同的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， ∴． 44．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 45．已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组同解问题，解一元一次方程，解方程组得，将代入求解即可． 【详解】解：解方程组得， ， 解得． 46．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键． 由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含的方程，解出公共解；再将公共解代入含的方程，得到关于的方程组并求解；最后把的值代入，计算出结果． 【详解】解：两个方程组的解相同，根据题意得 解得 解得 ． 47．已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 根据题意可得和，解得，则，解得，代入计算即可． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组与的解相同， ∴方程组可重新分配为和， 解得， 将代入得， 解得， ∴． 48．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 题型九、已知二元一次方程组解的情况求参数 49．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【答案】6 【分析】本题考查了加减消元法． 两方程相加得到，把代入得到，即． 【详解】解：， 得，， 即 把代入，得， ∴． 50．若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握通过消元法用参数表示方程组的解，再代入条件建立关于参数的方程是解题的关键． 先通过加减消元法解出方程组的解，再将解代入的条件，得到关于的一元一次方程，最后求解的值． 【详解】解： ，得，解得． 把代入②，得，解得． ∴方程组的解为 ， ， 解得． 51．已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 设由①﹣②得，代入②，可求得，x，y代入方程，计算求解即可． 【详解】解：， ①﹣②得， 代入②，得， 解得， 代入方程， 得， 解得． 52．对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 【答案】(1)34 (2) (3)或或或． 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算问题，解一元一次方程，二元一次方程． （1）根据题目中的法则即可运算； （2）根据法则表达出，再解方程即可； （3）根据法则得出，再根据x和y都是正整数，求出正整数的值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：34； （2）解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：； （3）解：由， 得， 整理得，即， 和y都是正整数， 或或或． 53．已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) ① ② (2) 的值为． 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，即可得的值． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 54．已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，不等式组的整数解和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解题的关键．先求出方程组的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】（1）在方程组中， 得：， 解得：， 把代入②可得，， 解得：， 方程组的解为； （2）x为负数，y为非正数， ，即， 解得， a为整数， a的值为或时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 题型十、三元一次方程组的解法 55．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 56．解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握消元思想是解题的关键． （1）观察方程结构，通过消去，得到含的二元方程，与①联立消元求解，再回代求； （2）由①得，代入消去，转化为关于的二元方程组，求解后回代求； （3）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求； （4）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求． 【详解】（1）解： ： ： 代入①： 代入③： 故原方程组的解为 （2）解： 由①得，代入②： 代入③： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （3）解： ： ： ： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （4）解： 由得， 由得 得 代入④： 再将代入① 解得 故原方程组的解为 57．解方程组 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可，正确求解是解答的关键． 【详解】解：得：， 得：，解得：， 将代入④得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 58．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握“消元”的基本思路和求解方法是解答的关键． （1）利用加减消元法和代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解： ，得， 则 将①代入④，得，解得 将②代入④，得，解得 将代入①，得：，解得 ∴原方程组的解为； （2）解： ，得，解得 ，得，解得 ，得，解得 ∴原方程组的解为； （3）解： ，得，解得 ，得 将代入④，得，解得 将，代入①，得，解得 ∴原方程组的解为； （4）解： ，得 ，得 ，得，解得 将代入④，得，解得 将，代入③，得，解得 ∴原方程组的解为． 59．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键． （1）用代入消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 把④代入①得：，即， 把④、⑤分别代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 把代入⑤得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 60．解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可； （3）用加减消元法解三元一次方程组即可； （4）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 把代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 即， 得：， 把④代入⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 得：， 解得：， 得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 题型十一、二元一次方程组的新定义运算 61．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 62．（1）我们定义一个关于非零常数m， n的新运算，规．例如：．若，，求x，y的值． （2）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如．若，，求x＋y的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意，得，加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据题中的新定义得：，两式相加得：，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 （2）解：根据题中的新定义得： 两式相加得： 则 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组解题的关键． 63．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 64．阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，解一元一次方程，解二元一次方程组； （1）根据，进行计算即可求解； （2）根据，得出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据，列出方程组，求出方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 解得： （3）解：根据题中的新定义得： ①+②得：， 解得， 将代入①得 ∴ 65．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 66．对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 【答案】(1)1 (2)，； (3) 【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）把代入方程求出y的值，再根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况求解. 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1． （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为 1．（2024·江西南昌·一模）解方程组，下面是两同学的解答过程： 甲同学： 解：把方程变形为，再将代入方程①得，… 乙同学： 解：将方程的两边乘以3得，再将①+②，得到，… (1)甲同学运用的方法是________，乙同学运用的方法是________；(填序号) ①代入消元法；②加减消元法． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了代入消元法和加减消元法解二元一次方程组． （1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程； （2）用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：甲同学运用的方法是①，乙同学运用的方法是②；(填序号) ①代入消元法；②加减消元法 故答案为：①，②； （2）解：选择甲同学的方法， 把方程变形为， 再将代入方程①得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为； 选择乙同学的方法， 将方程的两边乘以3得③， 再将①+③，得到， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 2．（2025·河北保定·一模）对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． (1)小明将系数□看成的数是多少？ (2)化简整式A． 【答案】(1)小明将系数□看成的数是 (2) 【分析】（1）先求出，设小明将系数□看成了m，则，根据小明求的A的值，得到关于m的方程，解方程即可得到； （2）设正确的□为n，则，根据小宇求的A的值为6得到，解得：，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程组的解为 ∴，解得． 设小明将系数□看成了m，则， ∵小明求的A的值为0， ∴， 解得：，即小明将系数□看成的数是； （2）设正确的□为n， 则， ∵小宇求的A的值为6 ∴，解得：， ∴． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，熟练掌握一元一次方程的解法和整式的加减法则是解题的关键 3．（2024·河北邢台·一模）李宁准备完成题目：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解二元一次方程组； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，是一对相反数”通计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】得出，求出，把代入求出即可； 把代入求出，再求出，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以方程组的解是：； （2）设“”为， 、是一对相反数， 把代入得：， 解得：， 即， 所以方程组的解是， 代入得：， 解得：， 即原题中“”是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解的关键． 4．（2025·河北沧州·二模）已知是二元一次方程的一个解．    (1)求m的值； (2)若x的取值范围如图所示，求y的正整数值． 【答案】(1) (2)1，2 【分析】（1）根据二元一次方程组解的定义代入计算，即可求出m的值； （2）用含有y的代数式表示x，再根据数轴上所表示的x的取值范围，进而求出y的取值范围，再求正整数解即可． 【详解】（1）由题意得， 解得： （2）由得 由数轴所表示的x的取值范围为 即 解得 ∴y的正整数值为1，2 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解的意义，掌握二元一次不等式的解法是正确解答的前提． 5．（2023·河北沧州·一模）已知方程组的解是一对正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由加减消元法求出方程组的解，即可求出的取值范围； （2）由绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴原方程组可得：， ∵因为方程组的解为一对正数， ∴， ∴； ∴的取值范围为：； （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∴ ； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，绝对值的化简，解题的关键是掌握加减消元法解方程组． 6．（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 7．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），若该方程组的解x，y满足，则称这个方程组为“和美方程组”． (1)下列方程组是“和美方程组”的是_____________；（只填写序号） ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“和美方程组”，求的值； (3)若对于任意实数，关于x，y的方程组都是“和美方程组”，求的值． 【答案】(1)①②④ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“和美方程组”的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得由得或．再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：由定义可知①④的解x，y满足，①④是“和美方程组”； 由②解得满足 ∴②是“和美方程组”； 由③解得不满足 ∴③不是“和美方程组”． 故答案为：①②④； （2）解方程组 关于x，y的方程组是“和美方程组”， ， 解得； （3）是“和美方程组”， ． 由得或． ①当时，代入， 得， ． 为任意实数， ； ②当时，代入，得， ． 为任意实数， ． 综上所述，的值为或． 8．（2024·浙江·模拟预测）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式，解二元一次方程组求出x，y的值，再代入中得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：， 整理得 得：， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故a的取值范围为． 9．（2025·广东揭阳·一模）已知关于x、y的方程组．根据要求，解答下列问题： (1)当时，解这个方程组； (2)若此方程组的解也是方程的一个解，则___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程组，解方程组即可； （2）把和组成方程组解出和，再代入原方程可得的值． 【详解】（1）解：当时，原方程组为， ②①得，， 把代入①得，， 方程组的解为； （2）由已知得，方程组， 解得：， 代入， 得， 解得：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 10．已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或2 【分析】（1）对x、y分别赋值讨论即可； （2）用代入法求二元一次方程组的解即可； （3）用加减消元法求出方程组的解，由题意可得或或，再将满足条件的m的值进行验证即可． 【详解】（1）解：方程 的所有正整数解为：或； （2）解：， ，即， 将③代入①得，，， 将，代入②得，； （3）解；， 由得：，得， 将代入①得，， ∵方程组有正整数解，则或或， 或或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，m的值为或2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过讨论求二元一次方程组的正整数解是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $