专题02 二元一次方程组的实际应用14大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题02 二元一次方程组的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1 题型二、方案问题 2 题型三、行程问题 3 题型四、工程问题 5 题型五、数字问题 6 题型六、年龄问题 8 题型七、分配问题 9 题型八、销售利润问题 9 题型九、和差倍分问题 9 题型十、几何问题 9 题型十一、图表信息题 9 题型十二、古代问题 9 题型十三、开放型问题 9 题型十四、其他问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1．九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．习近平总书记说“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二、方案问题 4．2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 5．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 6．某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 题型三、行程问题 7．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 8．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 9．如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路，另一条是外环公路，这两条公路围成四边形，其中且外环公路比市区公路长．在上班高峰时，甲、乙两人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是；乙沿外环公路行驶，汽车平均速度是，结果乙比甲早到．求市区公路和外环公路的长． 小红看到题目后，想到用方程组解决问题： 第一步：设市区公路长为，外环公路的长． 第二步：利用列表法进行分析： 公路 速度 时间 路程 市区公路 40 a x 外环公路 80 b y 第三步：列方程组； 第四步：解方程组； 第五步：检验并作答． 问题解决： (1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则________，________； (2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长． (3)小红调查了市区公路的限速及非上班高峰的平均车速为，如果外环公路平均车速保持不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计算进行说理． 题型四、工程问题 10．为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 11．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 12．甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是 ，未知数表示的是 ； (2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题． 题型五、数字问题 13．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数. 14．某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 15．（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 题型六、年龄问题 16．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 17．妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 18．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型七、分配问题 19．某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 20．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 21．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 题型八、销售利润问题 22．某中学为奖励在“科技创意展览”活动中表现优秀的同学，计划购买A、B两种奖品共100件．已知A种奖品标价每件10元，B种奖品标价每件6元，购买这批奖品一共花费780元． (1)请问学校购买两种奖品各多少件？ (2)若学校计划用700元采购这两种奖品共100件，该方案是否可行？请说明理由． 23．某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 24．每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 题型九、和差倍分问题 25．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 26．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？ 27．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 题型十、几何问题 28．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 29．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 30． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 题型十一、图表信息题 31．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 32．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 33．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 题型十二、古代问题 34．问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 35．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 36．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 题型十三、开放型问题 37．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 38．从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商记为G（m），例如m＝123，G（123）＝＝6． （1）直接写出G（234）＝　 　；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数； （2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值． 39．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻泡件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2025年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 元 元 元 元 德邦 元 元 元 元 轻泡件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻泡件实际重，体积为，其体积重，由于，则按收费，共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/ 体积/ 重量/ 体积 乒乓球 乒乓球拍 / (1)若该商家月与顺丰合作，请计算月的快递费用共需多少钱？ (2)若商家打算月的省外快递选一个公司合作，请判断选顺丰还是德邦更加优惠？并说明理由． (3)因乒乓球热销，该商家计划于月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少？ 题型十四、其他问题 40．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队           2 0      永州队      3      岳阳队      4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 41．根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 42．小明在某景区参加志愿者服务时，了解到该景区的观光车辆单日包车收费标准如下： 观光大巴（最多可容纳30人，适配旅行社、团建等团队）：单日包车费为1000元/辆； 观光小车（最多可容纳5人，适配家庭游、小群体结伴游客）：单日包车费为300元/辆． 某天该景区共接到20笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），当日这些订单的总费用为13000元． (1)求当日被租用的观光大巴、观光小车各有多少辆？ (2)当天晚些时候，景区管理员李叔叔和小明核对订单时提到：“今天上午时段，景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费．”小明听完后，感觉李叔叔的说法有误，请说明小明做出这一判断的原因． 1．（2024·海南·三模）某茶叶店以相同的单价分两次购进五指山红茶和白沙绿茶，两次购进情况如表：求每盒五指山红茶和每盒白沙绿茶进价各为多少元？ 五指山红茶（盒） 白沙绿茶（盒） 总进价（元） 第一次 30 20 6000 第二次 20 15 4250 2．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 3．（2025·安徽淮南·一模）某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 4．（2023·山西·模拟预测）2023年2月，我省各地市中小学生陆续正常开学，新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 市场调研： 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利 问题解决： （1）每个A款书包的进价为______元，每个B款书包的进价为_______元； 信息应用： （2）利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打折数． 5．（2025·广东肇庆·一模）2025年正值中国传统农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室，已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元． (1)求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格； (2)该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量． 6．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 7．（2025·陕西西安·模拟预测）为美化校园环境，学校计划分两次购买杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购买60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购买100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购买的单价相同． (1)求学校购买的每盆杜鹃花、四季海棠的价格分别是多少元？ (2)若小晨同学帮班级购买这两种花卉（与学校购买的单价相同），恰好用去80元，且两种花卉都至少采购一盆．请问有哪些采购方案？ 8．（2025·湖北·一模）某文具店销售A，B两种款式的文件夹，下表为其中两次的销售情况． 销售记录 销售数量(个) 销售总额(元) A款式 B款式 第一次 10 15 510 第二次 15 20 720 (1)求A，B两款文件夹的销售单价； (2)若该文具店进货时，A款式文件夹的成本为每个20元，B款式文件夹成本为每个15元，求该文具店两次销售后的总利润． 9．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里．请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少千公里？可见当行了9千公里后轮轮胎报废时，前轮轮胎还可使用，这样势必造成一定的浪费，如果前后轮互换一次，使前后轮轮胎同时报废，则自行车行驶的路程会更长．应在行驶了多少千米时把前后轮互换？ 10．（2025·安徽滁州·三模）安徽黄山脚下某村落，在乡村旅游发展热潮下，一些返乡大学生开发了两种特色旅游体验项目：黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验．参与这两种项目每小时所需工作人员数量和成本投入如下表： 体验项目 每小时所需工作人员数量 每小时所需成本投入（元） 黄山茶手工炒制体验 5 200 徽派建筑模型制作体验 4 250 已知某一天参与项目的工作人员共34位，且每人只参与一个项目的工作，当天成本投入共1900元，问黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验这两个项目当天各开展了多少小时? 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组的实际应用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1 题型二、方案问题 2 题型三、行程问题 3 题型四、工程问题 5 题型五、数字问题 6 题型六、年龄问题 8 题型七、分配问题 9 题型八、销售利润问题 9 题型九、和差倍分问题 9 题型十、几何问题 9 题型十一、图表信息题 9 题型十二、古代问题 9 题型十三、开放型问题 9 题型十四、其他问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1．九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据题意，甲得到乙钱的一半后甲有50钱，即甲原钱加乙钱一半等于50；乙得到甲钱的三分之二后乙有50钱，即乙原钱加甲钱三分之二等于50． 【详解】解：设甲带了钱，乙带了钱， ∵甲得到乙所有钱的一半后共有50钱， ∴， ∵乙得到甲所有钱的后共有50钱， ∴， ∴方程组为． 故选：A． 2．习近平总书记说“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据题干中的两个等量关系列方程组，一是甲、乙两种书的单价差，二是购买两种书的总花费． 【详解】解：∵每本甲种书比每本乙种书少5元，设每本甲种书元，每本乙种书元 ∴， 又∵购买3本甲种书和4本乙种书共花费230元 ∴ 因此可列方程组为． 故选：A． 3．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 题型二、方案问题 4．2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 【答案】(1)购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． (2)共有三种购买方案，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题： （1）题目中的等量关系为：蜀绣纪念品数量熊猫文创纪念品数量件，蜀绣纪念品总价熊猫文创纪念品总价元，据此列二元一次方程组即可； （2）根据题意可知，共有三种购买方案：购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件． 【详解】（1）解：设购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． 根据题意，得 解得 所以，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． （2）根据题意可知，共有三种购买方案： （Ⅰ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅱ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅲ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） 综上所述，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 5．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元． (2)共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 6．某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人 (2)方案1：小客车11辆，大客车4辆；方案2：小客车2辆，大客车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每辆小客车满员乘坐人，每辆大客车满员乘坐人，根据表格中信息，列出方程组，解方程组即可； （2）根据每辆小客车满员乘坐20人，每辆大客车满员乘坐45人，师生共400人，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车满员能坐人，每辆大客车满员能坐人， 由题意得：， 解得： 答：每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． （2）解：由题意得：， 整理可得：， 又因为均为正整数，于是b应该是4的正整数倍． 可得，， 方案1：小客车11辆，大客车4辆； 方案2：小客车2辆，大客车8辆． 题型三、行程问题 7．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 【答案】(1)甲的赛跑速度为 (2)乙获胜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由甲的速度是乙的1.2倍，即可求解； （2）设甲用时为x秒，乙用时为y秒，由题意：甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）依题意得：甲的赛跑速度为； （2）设甲用时为秒，乙用时为秒， 依题意得：， 解得：； ， 此次赛跑中乙获胜． 8．甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 9．如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路，另一条是外环公路，这两条公路围成四边形，其中且外环公路比市区公路长．在上班高峰时，甲、乙两人驾车从A地出发去B地，甲沿市区公路行驶，汽车平均速度是；乙沿外环公路行驶，汽车平均速度是，结果乙比甲早到．求市区公路和外环公路的长． 小红看到题目后，想到用方程组解决问题： 第一步：设市区公路长为，外环公路的长． 第二步：利用列表法进行分析： 公路 速度 时间 路程 市区公路 40 a x 外环公路 80 b y 第三步：列方程组； 第四步：解方程组； 第五步：检验并作答． 问题解决： (1)请用含x，y的代数式分别表示a、b．则________，________； (2)请按小红的思路求市区公路和外环公路的长． (3)小红调查了市区公路的限速及非上班高峰的平均车速为，如果外环公路平均车速保持不变，所以她说无论哪个时段走外环公路用时都比走市区公路用时短，你同意她的说法吗，通过计算进行说理． 【答案】(1)， (2)市区公路的长为，外环公路的长为 (3)同意，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“路程=速度乘以时间”，即可解答． （2）根据题意，列出二元一次方程组，解出方程组，即可解答． （3）分别求出各时间段的所需的时间，再比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：依题意，得， 解得， 答：市区公路的长为，外环公路的长为． （3）解：同意，理由如下： 在早高峰时由（2）可知走外环公路用时少， 在非高峰时，走市区路公路用时：， 走外环公路用时：， ， 无论哪个时段走外环公路都是用时都比走市区公路用时短． 题型四、工程问题 10．为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【答案】见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案． 【详解】解：选择的方程组为甲， 设为工程队工作的天数； 为工程队工作的天数． 根据提意得， 解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 选择的方程组为乙， 设为工程队整治河边道路长度； 为工程队整治河边道路长度． 根据提意得， 解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 11．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 12．甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是 ，未知数表示的是 ； (2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了天，乙队修建了天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． 题型五、数字问题 13．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数. 【答案】这个两位数是为34． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解． 【详解】解：设个位数为x，十位数为y，由题意得： ， 解得：． 所以，原来的两位数是为34． 答：原来的两位数是为34． 14．某旅游爱好者骑着摩托车在公路上匀速行驶，他每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，十位与个位上的数字之和为6 十位与个位数字与9：00看到的正好颠倒了 比9：00看到的两位数中间多了一个0 求他10：00看到的两位数． 【答案】 【分析】设十位数字为，个位数字为，通过看到的里程碑上的数字关系列方程，再用含与的代数式表示与看到的数，利用等量关系列方程 即可． 【详解】解：设他看到的数的十位数字为，个位数字为，则这个两位数可以表示为． 由题意，得 解得 故他看到的两位数是． 答：他看到的两位数是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组的应用：里程碑上的数的问题，掌握两位数与数字关系是解题的关键． 15．（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 【答案】(1)， (2)k的最大值为 【分析】本题考查了新定义运算和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列式计算和列出关于未知数的方程． （1）根据“相异数”的定义列式计算即可； （2）由，，结合，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合 的定义式，即可求出、的值，将其代入，即可得出k值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵s，t都是“相异数”，其中， ， ， ， ， ， ，都是正整数， ∴或或或或或或， 是“相异数”，，， 是“相异数”，，， 所以满足条件的有或或或， 所以或或或． 因为，所以的最大值为． 故答案为：． 题型六、年龄问题 16．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 17．妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 【详解】解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 18．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型七、分配问题 19．某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 20．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套； 【任务二】每副镜架的出厂价应定为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式． 任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解； 任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价． 【详解】任务一： 解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． ∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿， ∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍， 可得方程， 解得， 则生产镜腿的工人数量为(名)． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套． 任务二： 解：设每副镜架的出厂价应定为元． 由题意，得，解得． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 21．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 【答案】(1)第一层最少有个图案， (2)不可以，理由见解析． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键． （1）先求出与的最小公倍数为，进而得出答案； （2）设图案的层数为，图案的层数为，列出方程组，进而得出答案． 【详解】（1）解：与的最小公倍数为， （个）， 答：以上述方式贴成的长方形，第一层最少有个图案． （2）不可以，理由如下： ∵的形状分别为公分公分的长方形，的形状分别为公分公分的长方形， ∴， ∵第一层的图案数量与（1）求出之值相同， ∴第二层的图案最少有个， 设图案的层数为，图案的层数为， ， 解得：， ∵为整数， ∴不可以． 题型八、销售利润问题 22．某中学为奖励在“科技创意展览”活动中表现优秀的同学，计划购买A、B两种奖品共100件．已知A种奖品标价每件10元，B种奖品标价每件6元，购买这批奖品一共花费780元． (1)请问学校购买两种奖品各多少件？ (2)若学校计划用700元采购这两种奖品共100件，该方案是否可行？请说明理由． 【答案】(1)购买A种奖品45件，B种奖品55件 (2)可行，购买A种奖品25件，则购买B种奖品75件，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组和方程是解题的关键． （1）设A种奖品件，B种奖品件，根据题意得，然后解方程组即可； （2）设A种奖品件，则B种奖品件，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设A种奖品件，B种奖品件， 根据题意得， 解得， 答：A种奖品件，B种奖品件； （2）解：设购买A种奖品件，则购买B种奖品件， 根据题意得， 解得， ∴购买B种奖品件， 答：该方案可行，购买A种奖品25件，则购买B种奖品75件， 23．某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (2)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． (1)设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 24．每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【答案】(1)每本《骆驼祥子》元，每本《傅雷家书》元 (2)团购群1更划算 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意分别求出团购群1和团购群2的费用，比较之后即可得到答案． 【详解】（1）解：设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元， 由题可得： 解得： 答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元． （2）解：由题可得：小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本， ∴团购群1的费用为：， 团购群2的费用为：， ∵， ∴团购群1购买更合算． 题型九、和差倍分问题 25．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （2）设A配件要买m个，B配件要买n个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 26．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？ 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图1可知3个长等于5个宽，根据图2可知两个宽减去1个长等于2，据此建立方程组求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据3个纸杯，8个纸杯建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得， ． 每个小长方形的面积为60； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 由题意得， 解得， ． 小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 27．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 【答案】(1)本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆 (2)租用1辆型客车，7辆型客车，更划算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程， （1）设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，根据原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．结合两种客车的载客量，列出二元一次方程组，解方程组即可； (2) 设租用型客车辆，型客车辆，根据同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，列出二元一次方程，解方程， 再根据两种客车的租金计算比较即可． 【详解】（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得： ，解得：； 答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆； （2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得： ， 解得：， ∵均为正整数， ∴或或； 共3种租车方案： 方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）； 方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）； 方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）； ∵， ∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算． 题型十、几何问题 28．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 29．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 30． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共个；任务三：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 任务一：根据长方体的六个面的特点求解即可； 任务二：根据制作的两种灯笼恰好用了长方形宣纸张，正方形宣纸张，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务三：根据两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务一：填写表格如下： 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 故答案为：，； 任务二：根据题意得 ， 解得， 答：两种灯笼一共个； 任务三：根据题意可列方程组 解得， 答：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个． 题型十一、图表信息题 31．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 32．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【答案】(1)该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克 (2)九五折 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克． （2）解： 设剩余孟津梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余孟津梨打了九五折． 33．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【答案】(1)这两个旅游团共有112人 (2)甲旅游团有41人，乙旅游团有71人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和方程组，注意分情况讨论． （1）设这两个旅游团共有m人，分和两种情况，列出关于m的一元一次方程，解之取其正整数即可得出结论； （2）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分和两种情况，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 题型十二、古代问题 34．问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 【答案】（1）5，2，；42；（2） 【分析】本题主要考查了用代数式表示，求代数式的值． （1）根据题意填写各空，再根据一定能被5整除，可得的个位数是2和7，然后讨论得出答案； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面；根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面；则，再对从小到大讨论分析即可． 【详解】解：（1）五五数时剩下两盏，则所求的灯笼的数量除以5，余数是2； 设灯笼的数量为x，（x为正整数），需要满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）；②（m为非负整数）；③（n为正整数）， 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数），可得（m为非负整数）， ∴一定能被5整除， ∴的个位数是2和7， 当时，不符合题意； 当时，能被5整除，此时， 则最少有42盏灯笼； 故答案为：5，2，；42； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面； 根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面； ，即， ， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，且， ，符合题意； 故八（1）班至少准备了面红旗． 35．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人 (2)应选择一次性订客房间更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 36．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元；②数据如图 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 题型十三、开放型问题 37．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【答案】(1)甲的速度是，乙的速度是；甲的速度是，乙的速度是 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一个条件再解二元一次方程组． (1)设甲的速度是，乙的速度是，可列二元一次方程，求出两组满足二元一次方程的条件的解； (2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的倍，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ， 根据题意可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：增加条件：已知乙的速度是甲的速度的倍， 根据题意可得：， 解得：， 答：甲的速度是，乙的速度是． 38．从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商记为G（m），例如m＝123，G（123）＝＝6． （1）直接写出G（234）＝　 　；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数； （2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值． 【答案】（1）6，见解析；（2）k的最大值为 【分析】（1）根据题目所给的例子，不难求出G（234）的结果；可设这个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，据题意列出式子进行求解即可； （2）由题意可得G（p）＝a+4+b，G（q）＝1+3+c＝c+4，再结合G（p）•G（q）＝56可得：c＝3，a+b＝4，再分析即可得解． 【详解】解：（1） 故答案为9； 证明：设这个三位数n百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，依题意得： 故对于任何的三位数n，G（n）为整数； （2）根据（1）可得：G（p）＝a+4+b，G（q）＝1+3+c＝c+4， ∵G（p）•G（q）＝56， ∴（a+4+b）（c+4）＝56， ∵a，b，c均为整数，1≤a≤9，1≤b≤9，且a≠b，1≤c≤3， ∴c+4＝7，a+b+4＝8， ∴c＝3，a+b＝4， ∴p＝143或341，q＝133， ∵， ∴k的最大值为． 【点睛】本题考查的是新定义问题，同时考查了列代数式，二元一次方程组的正整数解问题，准确的理解新定义的含义是解题的关键. 39．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻泡件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2025年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 元 元 元 元 德邦 元 元 元 元 轻泡件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻泡件实际重，体积为，其体积重，由于，则按收费，共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/ 体积/ 重量/ 体积 乒乓球 乒乓球拍 / (1)若该商家月与顺丰合作，请计算月的快递费用共需多少钱？ (2)若商家打算月的省外快递选一个公司合作，请判断选顺丰还是德邦更加优惠？并说明理由． (3)因乒乓球热销，该商家计划于月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少？ 【答案】(1)月的快递费用共需元 (2)选德邦更加优惠，理由见解析 (3)该商家省内体积重是，省外的体积重是 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、二元一次方程组的应用． （1）分别计算出乒乓球和球拍所需费用，即可得出月的快递费用； （2）分别计算出顺丰和德邦的费用，通过比较选择省钱的快递公司； （3）设省内体积重为，省外体积重为，根据全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜元，列方程组求解． 【详解】（1）解：计算乒乓球省内费用： 体积重，费用元； 计算乒乓球省外费用： 体积重，费用元； 计算乒乓球拍省内费用：费用元， 计算乒乓球拍省外费用：费用元； 总费用元， 答：月的快递费用共需元； （2）解：计算顺丰省外总费用： 乒乓球费用元，球拍费用元，合计元； 计算德邦省外总费用： 乒乓球费用 元，球拍费用 元，合计元， ， 选德邦更加优惠； （3）解：设省内体积重为，省外体积重为， 顺丰总费用， 德邦总费用， 根据题意得：， 解得：， 该商家省内体积重是，省外的体积重是． 题型十四、其他问题 40．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队           2 0      永州队      3      岳阳队      4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)6 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），每个球队比赛场，故共场，但是每次比赛数2遍，所以总场数为场； （2）设永州队胜场，平场，根据永州队比赛了场，得分分，列方程组求解即可； （3）设岳阳队胜场，平场，根据岳阳队比赛了场，得分分，列方程组求解得不是整数，故可求解题目． 【详解】（1）解：湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场）， 共比赛：（场）， 答：这一次湘超常规赛中一共比了场比赛； （2）解：设永州队胜场，平场，根据题意得： 解得， 答：永州队一共胜了6场； （3）解：设岳阳队胜场，平场，根据题意得： 解得， ∵不是整数，故不可能． 41．根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；任务二：抽调熟练工4名，招聘新工人2名，此方案应付工资较低 【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组解答即可求解； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意可得，即得，进而求出的值，再算出每种方案每月应付工资，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得，， 解得， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得，， 整理得，， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种方案： ①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ∵， ∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低． 42．小明在某景区参加志愿者服务时，了解到该景区的观光车辆单日包车收费标准如下： 观光大巴（最多可容纳30人，适配旅行社、团建等团队）：单日包车费为1000元/辆； 观光小车（最多可容纳5人，适配家庭游、小群体结伴游客）：单日包车费为300元/辆． 某天该景区共接到20笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），当日这些订单的总费用为13000元． (1)求当日被租用的观光大巴、观光小车各有多少辆？ (2)当天晚些时候，景区管理员李叔叔和小明核对订单时提到：“今天上午时段，景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费．”小明听完后，感觉李叔叔的说法有误，请说明小明做出这一判断的原因． 【答案】(1)观光大巴10辆，观光小车10辆 (2)因为车辆数量必须为整数，但根据李叔叔的说法计算出的车辆数量不是整数，所以说法有误 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设观光大巴有x辆，观光小车有y辆，根据题意列出x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）设上午观光大巴有a辆，观光小车有b辆， 根据题意列出a，b的二元一次方程组，求解得出a，b不是整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设观光大巴有x辆，观光小车有y辆， 根据题意，有， 解得：， 所以观光大巴10辆，观光小车10辆. （2）解：设上午观光大巴有a辆，观光小车有b辆， 根据李叔叔的说法则， 解得： ∵a，b不是整数，但车辆数量必须为整数，矛盾，所以李叔叔的说法有误． 1．（2024·海南·三模）某茶叶店以相同的单价分两次购进五指山红茶和白沙绿茶，两次购进情况如表：求每盒五指山红茶和每盒白沙绿茶进价各为多少元？ 五指山红茶（盒） 白沙绿茶（盒） 总进价（元） 第一次 30 20 6000 第二次 20 15 4250 【答案】每盒五指山红茶的进价为100元，每盒白沙绿茶的进价为150元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据题意列二元一次方程组，并进行求解即可． 【详解】解：设每盒五指山红茶的进价为x元，每盒白沙绿茶的进价为y元， 根据题意，得 解这个方程组，得 答：每盒五指山红茶的进价为100元，每盒白沙绿茶的进价为150元． 2．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【答案】需准备的预算金额为1950元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可． 【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 3．（2025·安徽淮南·一模）某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的应用． （1）根据题意列出代数式． （2）根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司前年收入为x元，支出为y元， ∵去年收入比前年增加，支出比前年减少 ∴去年收入为：，去年支出为：． （2）解：由题意得 解得． 4．（2023·山西·模拟预测）2023年2月，我省各地市中小学生陆续正常开学，新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 市场调研： 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利 问题解决： （1）每个A款书包的进价为______元，每个B款书包的进价为_______元； 信息应用： （2）利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打折数． 【答案】（1）60；100；（2）九折 【分析】本题考查列方程解应用题，需要设未知数，并找到等量关系列出方程并解出方程． （1）通过设A、B款书包进价为未知数，根据题意列二元一次方程组即可求解； （2）设打折出售，根据利润列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）设每个款书包的进价为元，每个款书包的进价为元， 由题意，得， 解得， 故答案为：60；100； （2）设款书包实际销售时打折出售， 由题意得：， 解得， 故款书包打九折． 5．（2025·广东肇庆·一模）2025年正值中国传统农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室，已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元． (1)求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格； (2)该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量． 【答案】(1)每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元 (2)购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解. （1）设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元，根据“购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元”列方程组求解即可； （2）设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件，根据“用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件”得到，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元， 根据题意得 解得 答：每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元． （2）解：设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件， 根据题意得， ∴． ∵a，b是正整数， ∴， 答：购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件． 6．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）为美化校园环境，学校计划分两次购买杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购买60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购买100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购买的单价相同． (1)求学校购买的每盆杜鹃花、四季海棠的价格分别是多少元？ (2)若小晨同学帮班级购买这两种花卉（与学校购买的单价相同），恰好用去80元，且两种花卉都至少采购一盆．请问有哪些采购方案？ 【答案】(1)每盆杜鹃花的价格是15元，每盆四季海棠的价格是10元 (2)共有2种采购方案，方案1：购买2盆杜鹃花，5盆四季海棠；方案2：购买4盆杜鹃花，2盆四季海棠． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设每盆杜鹃花的价格是x元，每盆四季海棠的价格是y元，根据“第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）设购买m盆杜鹃花，n盆四季海棠，利用总价、单价、数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数且大于等于1，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：设每盆杜鹃花的价格是x元，每盆四季海棠的价格是y元， 根据题意得：，解得：． 答：每盆杜鹃花的价格是15元，每盆四季海棠的价格是10元． （2）解：设购买m盆杜鹃花，n盆四季海棠， 根据题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数且大于等于1， ∴或， ∴共有2种采购方案， 方案1：购买2盆杜鹃花，5盆四季海棠； 方案2：购买4盆杜鹃花，2盆四季海棠． 8．（2025·湖北·一模）某文具店销售A，B两种款式的文件夹，下表为其中两次的销售情况． 销售记录 销售数量(个) 销售总额(元) A款式 B款式 第一次 10 15 510 第二次 15 20 720 (1)求A，B两款文件夹的销售单价； (2)若该文具店进货时，A款式文件夹的成本为每个20元，B款式文件夹成本为每个15元，求该文具店两次销售后的总利润． 【答案】(1)A，B两款文件夹的销售单价分别为24元和18元 (2)该文具店两次销售后的总利润为205元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用．根据题意找到相等关系，并能正确建立方程组是解题的关键． （1）设A，B两款文件夹的销售单价分别为x元和y元，根据表格内容列方程组，解方程组即可； （2）根据利润的计算方法列式计算即可． 【详解】（1）解：设A，B两款文件夹的销售单价分别为x元和y元，则 解得 ， 答：A，B两款文件夹的销售单价分别为24元和18元． （2）由题意，得 (元) ∴该文具店两次销售后的总利润为205元． 9．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里．请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少千公里？可见当行了9千公里后轮轮胎报废时，前轮轮胎还可使用，这样势必造成一定的浪费，如果前后轮互换一次，使前后轮轮胎同时报废，则自行车行驶的路程会更长．应在行驶了多少千米时把前后轮互换？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)一对新轮胎最多可行9900千米；应在行了4950千米后，前、后轮互换一次 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，理解题意正确列方程即可． （1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据“1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车”列二元一次方程组求解即可； （2）设一对新轮胎最多可行m千米，根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里”列一元一次方程，求出一对新轮胎最多行驶路程，再设在行了n千米时互换前后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行了n千米，装在后轮上就行了千米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 根据题意得：，解得：． 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车． （2）解：设一对新轮胎最多可行m千米，由题意得： 解得（千米）， 即一对新轮胎最多可行9900千米． 设在行了n千米时互换前后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行了n千米，装在后轮上就行了千米， 由题意得：， 解得， 答：应在行了4950千米后，前、后轮互换一次． 10．（2025·安徽滁州·三模）安徽黄山脚下某村落，在乡村旅游发展热潮下，一些返乡大学生开发了两种特色旅游体验项目：黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验．参与这两种项目每小时所需工作人员数量和成本投入如下表： 体验项目 每小时所需工作人员数量 每小时所需成本投入（元） 黄山茶手工炒制体验 5 200 徽派建筑模型制作体验 4 250 已知某一天参与项目的工作人员共34位，且每人只参与一个项目的工作，当天成本投入共1900元，问黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验这两个项目当天各开展了多少小时? 【答案】黄山茶手工炒制体验项目开展了2小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了6小时． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，根据题意设出未知数，找出相等关系列出方程组，即可解答． 【详解】解：设黄山茶手工炒制体验项目开展了x小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了y小时， 则， 解得， 答：黄山茶手工炒制体验项目开展了2小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了6小时． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $