6.3用导数解决实际问题（题型专练）高二数学人教B版选择性必修第三册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.3用导数解决实际问题 一题型一利润最大问题 基础达标题 一题型二面积、体积最大问题 题型三成本最小问题 用导数解决实际问题 能力提升题 题型一建立拟合函数解决最值问题 拓展培优题 题型一 导数与立体几何结合 基础达标题 题型 利润最大问题 1.(24-25高二下·陕西·月考)某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是πr4分， 其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的 瓶子的最大半径为9cm, 则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为() A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.(24-25高二下·广西·期中)随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户 提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为xX≥2万条时，推 荐系统的准确率约为P=X +1 ,平台软件收入为40000p元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本 100元，当收集的数据量为()万条时，该软件能获得最高收益. A.17 B.18 C.19 D.20 3.(23-24高二下·内蒙古包头·月考)近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行 可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方 成正比，比例系数为kk>0,贷款的利率为7.05%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为 x,x∈0,7.05%，为使银行获得最大利益，则存款利率为一 4.（23-24高二下四川成都期中)某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种 植1万斤莲藕，成本增加0.5万元.用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额fx(单位：万元)为 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 fX=。x+x2+号x,则每年种植莲藕万斤时，利润最大 8 8 2 题型二 面积、体积最大问题 1.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨期末)用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥 形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角α为() A. 3 86 3 n 2V3 C. 26m 3 0. 3 2.(24-25高二下四川眉山期末)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形， 做成一个无盖方盒，要使方盒容积V最大，则x的取值为() A. a D. 3.(24-25高二下·云南昭通·期中)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略 不计)，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m.则长方体容积的最大值为() A.1.8m3 B.2m3 c.1.4m3 D.2.2m3 4.(24-25高二下·江苏南通·月考)已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体 积的最大值为2V3,则其外接球的体积为 题型三 成本最小问题 1.(24-25高二下江苏镇江·期中)如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km,B、C间的距离 为100km.从A到C,先乘船到海岸公路D处，再乘汽车从D处到C处，已知船速为25km/h,车速为 50km/h,则从A到C所需的最少时间为h. B 2.(22-23高二下·吉林长春·月考)第14届全运会于2021年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体 中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2，其容积为 2500m，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x,且据估计较短的池壁维 修费用与池壁长度成正比，且比例系数为4kk>0,较长的池壁总维修费用满足代数式 2500k 则当泳 25 215 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 池的维修费用最低时x值为一 3.(21-22高二上江苏南通·期末)已知A,B两地相距200km,某船从A地逆水到B地，水速为8km/h, 船在静水中的速度为vkm/h(v>8).若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为 k,当v=12km/h,每小时的燃料费为720元. (1)求比例系数k: (2)当8<V≤20时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ (3)设t>8,当8<V≤t时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ B 能力提升题 题型一 建立拟合函数解决最值问题 1.(24-25高二下·安徽月考)某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日 箭售量)（单位：kg与销俗价格x《单位：百元g病足y= +e一，其中3x<5,该商品 x-1)2x-1 3 的成本为1百元/kg: (1)将该商场每日销售该商品所获利润f(x)表示为销售价格x的函数： (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据： 3 5 e2≈7.389，e2≈4.482，e2≈12.182 2.(24-25高二下·江苏无锡期中)某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）·每座帐篷 的体积为54πm3,且分上下两层，其中上层是半径为r(r≥1)（单位：m)的半球体，下层是半径为r m,高为hm的圆柱体（如图2），经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧 面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元.（提示： 球体积公式：V=4πr3) 3 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (图1) (图2) (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域： (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值. 3.(23-24高二下.四I川南充期中)请你设计一个包装盒.如图1所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬 纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于 图2中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点.设AE=BF=X(单位：cm), D 60 长xE FxB 图1 图2 (1)某厂商要求包装盒的容积Vx(单位：cm)最大，试问x应取何值？ 2)设gx=1nx-Vx+62x2 me,(其中V'x是Vx的导数)，已知gx在0,2上单调递增，求 602 实数m的取值范围. 4.(23-24高二下·广东清远期中)已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入 2.7万元，若该企业一年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为fx万元，且 f x=i (1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式： (2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？最大利润是多少？ (注：年利润就年销售收入年总成本) 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展培优题 题型一 导数与立体几何结合 1.(24-25高二下河北保定·月考)把一个球形的原材料切割成体积为2的正四棱锥，则球形原材料的半 径至少为() A.6 8.36 c.6 D.36 2 4 3 2.（23-24高二下·广东茂名·月考)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积 为36π，且3≤1≤42，则该正四棱锥体积的最大值是() A.18 8.81 4 c.64 D.27 3 3.(22-23高二下河北石家庄·期中)如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.己知正 四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为() A.15 B.16 c.62 3 D.64 3 4.(24-25高二下广东揭阳·期末)（多选）用半径为R的圆形铁皮剪出圆心角为0的扇形（以圆形铁皮的 半径为半径的扇形)，制成一个圆锥形容器SO,底面圆O的半径为.则下列说法正确的是() A.当r=号，且圆锥S0的侧面积为3T时，圆锥的体积V=37n 2 6 ,且圆锥SO的侧面积为3π时，过圆锥SO的顶点S所作的截面中，截面面积的最大值为 37 4 C.当R=3,且圆锥SO的侧面积为3π时，圆锥SO能在棱长为4的正四面体内任意转动 0.当0=26时，圆锥S0的体积最大 5/5 6.3用导数解决实际问题 题型一   利润最大问题 1．（24-25高二下·陕西·月考）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】根据题意可列出每瓶液体材料的利润关于r的函数解析式，再利用导数求出函数单调性，即可得出利润最大时. 【详解】由题意可知，每瓶液体材料的利润， 所以，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故每瓶液体材料的利润最大时，. 故选：B. 2．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【详解】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C 3．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 【答案】0.047 【分析】根据题意求得收益，利用导数法求解最值，即可得解. 【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 4．（23-24高二下·四川成都·期中）某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元．用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额（单位：万元）为，则每年种植莲藕 万斤时，利润最大. 【答案】 【分析】设销售利润为，则，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极大值点，即可得解. 【详解】设销售利润为， 则，， 所以， 所以当时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减． 时，函数取得极大值即最大值， 所以每年种植莲藕万斤时，利润最大. 故答案为： 题型二   面积、体积最大问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此，，所以， 令得，当时，；当时，. 所以函数在时单调递增，在时单调递减， 故当时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． 把代入，得， 由，得，即圆心角为弧度时，圆锥形容积最大. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【详解】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为， 则，可得， 令，解得，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值. 故选：B． 3．（24-25高二下·云南昭通·期中）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（    ） A．1.8 B．2 C．1.4 D．2.2 【答案】A 【分析】设底面短边长为，求出容器的容积的表达式，再利用导数求出最大值即可. 【详解】设该容器底面矩形的短边长为，则另一边长为， 此容器的高为 ， 于是，此容器的容积为：，其中， 即，得，（舍去）， 因为在内只有一个极值点，且时，，函数递增；时，，函数递减； 所以，当时，函数有最大值， 故选：A． 4．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，即可求出，进而得到，利用导数即可求解，再结合球体体积公式可得结果. 【详解】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大， 设底面正六边形的边长为，所以底面外接圆的半径为， 六棱锥的底面积，设六棱锥的高为， 因为，即，所以，． 设外接球的半径为，可得，，得． 所以， 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，解得， 故球的体积为． 故答案为：. 题型三   成本最小问题 1．（24-25高二下·江苏镇江·期中）如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为 h. 【答案】/ 【分析】设，则，求出、的长，设从到所需时间为，求出的解析式，利用导数法可求出的最小值. 【详解】设，其中，根据题意，，，， 则，， 设从到所需时间为， 则，其中， 则， 由可得， 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 故答案为：. 2．（22-23高二下·吉林长春·月考）第14届全运会于2021年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时x值为 ． 【答案】 【分析】由题可知泳池的维修费用由池壁维修费用决定后，可得池壁维修费用表达式，利用导数知识可得答案. 【详解】由题可知池底面积为为定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修费用由池壁维修费用决定. 又表示较短池壁长，则，则池壁维修费用表达式为：. 设，，则 ， 令，则，， 得在上单调递减，上单调递增，即. 故答案为：. 3．（21-22高二上·江苏南通·期末）已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元． (1)求比例系数； (2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ (3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？ 【答案】(1)5 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意设每小时的燃料费为，则，然后根据当，每小时的燃料费为720元，可求出比例系数， （2）设全程燃料费为y，根据题意可得，然后利用导数可求出其最小值， （2）分和两种情况分析计算即可 【详解】（1）设每小时的燃料费为，则， 当，每小时的燃料费为720元， 代入得． （2）由（1）得． 设全程燃料费为y，则， 所以， 令，解得（舍去）或， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以当时，y取得最小值， 故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为． （3）由（2）得当时，则y在区间上单调递减， 所以当时，y取得最小值； 若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增， 则当时，y取得最小值． 综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省； 当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省． 题型一   建立拟合函数解决最值问题 1．（24-25高二下·安徽·月考）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 【答案】(1) ，（） (2)当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 【分析】（1）根据“利润销售量单位利润”可列出函数关系. （2）求导，分析函数的单调性，进而可得函数的最大、最小值. 【详解】（1）由题意： ，（）. （2）因为，（）. 设，（）. 则，因为，所以. 所以函数在上单调递增. 又 ，， 又 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又， ， . 所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 2．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】(1)，定义域为 (2)，最小值为 【分析】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. （2）设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 3．（23-24高二下·四川南充·期中）请你设计一个包装盒.如图1所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、、、四个点重合于图2中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点、在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设（单位：）. (1)某厂商要求包装盒的容积（单位：）最大，试问应取何值？ (2)设，（其中是的导数），已知在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数取得最大值 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知：，求导，利用导数分析最值即可； （2）由（1）分析可得在内恒成立，整理可得，构建，利用导数分析其最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则，，其中， 根据题意可知：， 则， 当时，；当时，； 可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值. （2）由（1）可知：， 则， 由题意可知：在内恒成立，整理可得， 构建，原题意等价于在内恒成立， 则， 且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 4．（23-24高二下·广东清远·期中）已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）分、两段分别求出函数解析式，即可得解； （2）结合（1）中函数解析式，利用导数求出函数在上的最大值，利用基本不等式求出函数在上的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意当时，， 当时，， 综上可得. （2）①当时，， 则， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 所以当时，取最大值，且. ②当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元. 题型一   导数与立体几何结合 1．（24-25高二下·河北保定·月考）把一个球形的原材料切割成体积为2的正四棱锥，则球形原材料的半径至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥外接球半径与其棱长、高等的关系式，构造函数并求导利用函数单调性即可得出当时，半径最小为. 【详解】易知当体积为2的正四棱锥的所有顶点均在球体的表面时，球形原材料的半径最小． 设正四棱锥的底面边长为，球心为，底面中心为，高为，如下图所示： 易知底面的外接圆的半径为， 由球的性质可知，即， 整理得， 又正四棱锥的体积为2，所以，所以，所以． 设，则， 由得，，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正四棱锥体积与其外接球半径的关系，通过构造函数并利用导数判断得出单调性即可求解. 2．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（    ） A．18 B． C． D．27 【答案】C 【分析】 设正四棱锥的底面边长为，高为，求出的关系式，即可表示出四棱锥的体积，利用导数求得其最大值，即得答案. 【详解】球的表面积为，所以球的半径， 设正四棱锥的底面边长为，高为，则，， 所以， 故正四棱锥的体积为， ， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为. 故选：C. 3．（22-23高二下·河北石家庄·期中）如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为（   ） A．15 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】连接与交于点，连接，证得，设正四棱柱的底面边长为，求得，得到几何体的体积为，令，得到，求得，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】如图所示，连接与交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面， 又因为平面，所以， 由题意知，正四棱锥的侧棱长为，且正四棱柱的侧棱长为， 设正四棱柱的底面边长为， 在正方形中，可得，所以， 则几何体的体积为， 令，可得且， 可得， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以几何体的体积的最大值为. 故选：D. 4．（24-25高二下·广东揭阳·期末）（多选）用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为．则下列说法正确的是（   ） A．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积 B．当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为 C．当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动 D．当时，圆锥的体积最大 【答案】AD 【分析】求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式可判断A选项；当时，，求出圆锥的轴截面顶角，进一步即可验算，可判断B选项；分别算出圆锥外接球半径以及正四面体内切球半径，比较大小即可判断C选项；求得，，进而得出，令，利用导数求出使得取最大值时的值，即可得出对应的值，可判断D选项. 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 对于A选项，该圆锥的侧面积为，解得， 所以该圆锥的高为， 故该圆锥的体积为，A对； 对于B选项，当时，，此时圆锥的轴截面如图所示，   ，所以为钝角， 令、是圆锥的底面圆周上任意的不同两点，则， 所以， 当且仅当时，取等号，B错； 对于C选项，当时，即当时，该圆锥的侧面积为，可得， 高， 设圆锥的外接球球心为，圆锥的外接球半径为， 所以， 棱长为的正四面体可以补成正方体，如图所示，    则正方体的棱长， 正四面体的体积为， 正四面体的表面积为， 设正四面体的内切球半径为， 则由等体积法可知， 注意到， 所以圆锥不能在棱长为的正四面体内任意转动，C错； 对于D选项，由题意可知，圆锥底面周长为，故， 该圆锥的高为， 所以，圆锥的体积为，故， 令，其中， 则，由，可得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，即当时，取最大值，此时取最大值，D对. 故选：AD. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3用导数解决实际问题 题型一   利润最大问题 1．B 2．C 3．0.047 4． 题型二   面积、体积最大问题 1．D 2．B 3．A 4． 题型三   成本最小问题 1．/ 2． 3．【答案】(1)5 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意设每小时的燃料费为，则，然后根据当，每小时的燃料费为720元，可求出比例系数， （2）设全程燃料费为y，根据题意可得，然后利用导数可求出其最小值， （2）分和两种情况分析计算即可 【详解】（1）设每小时的燃料费为，则， 当，每小时的燃料费为720元， 代入得． （2）由（1）得． 设全程燃料费为y，则， 所以， 令，解得（舍去）或， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以当时，y取得最小值， 故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为． （3）由（2）得当时，则y在区间上单调递减， 所以当时，y取得最小值； 若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增， 则当时，y取得最小值． 综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省； 当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省． 题型一   建立拟合函数解决最值问题 1．【答案】(1) ，（） (2)当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 【分析】（1）根据“利润销售量单位利润”可列出函数关系. （2）求导，分析函数的单调性，进而可得函数的最大、最小值. 【详解】（1）由题意： ，（）. （2）因为，（）. 设，（）. 则，因为，所以. 所以函数在上单调递增. 又 ，， 又 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又， ， . 所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 2．【答案】(1)，定义域为 (2)，最小值为 【分析】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. （2）设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 3．【答案】(1)当时，函数取得最大值 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知：，求导，利用导数分析最值即可； （2）由（1）分析可得在内恒成立，整理可得，构建，利用导数分析其最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则，，其中， 根据题意可知：， 则， 当时，；当时，； 可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值. （2）由（1）可知：， 则， 由题意可知：在内恒成立，整理可得， 构建，原题意等价于在内恒成立， 则， 且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 4．【答案】(1) (2)当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）分、两段分别求出函数解析式，即可得解； （2）结合（1）中函数解析式，利用导数求出函数在上的最大值，利用基本不等式求出函数在上的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意当时，， 当时，， 综上可得. （2）①当时，， 则， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 所以当时，取最大值，且. ②当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元. 题型一   导数与立体几何结合 1．B 2．C 3．D 4．AD 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $