一年级数学下册，我们接着来讲第二个课时，两直线垂直。我们一起来看一下。其实在垂直我们小学的时候也是学过的，以及我们七年级上册几何我们也有接触到，对不对？什么是垂直？就是两条直线所成角度是90度的话，就是垂直，也就是一个直角，对不对？垂我们可以是垂线，只组个词，不就是直角吗？从小学就在接触直角以及我们的直角三角形、直角三角板，这些都是非常常见的。那么为什么到初中还要接着学垂直？肯定知识在不断的深入。我们的学习目标就是你必须得知道，不仅你要知道垂直的垂直，你还要知道垂直它是由什么组成的，是由垂线、垂足、垂线段等等它们的概念。并且要会画图，这个里面最重要的有五个字，垂线段最短。这五个字必须是会写，不能出错。因为有时候他会考到这五个字怎么写？我们一起来看一下，复习引入一下。上节课我们第一课时讲的是两直线相交。什么是相交来着？相交就会出现对顶角和邻补角。那么有什么性质？我们已经讲过了，对顶角相等，邻补角互补。特殊情况人家说了当角AOC这个角度等于90度时，那其他角是多少度？你想想AOC是个90度。当然如果你这个符号不知道，一会儿也会讲，一般情况下你是有接触的。这个是垂直在上学期讲过，其实就是这个符号。你的直角我这么画是不是都有可能？你的这个正方形不就是或者查看的四个直角吗？那么人家就是这样的一个折线，就称之为是直角的一个符号，就是你正方形或矩形的，这四个角都可以是，只要是两条直线垂直的都叫垂直符号。那么OK我们一起来看一下，这个是90度角，AOC是90度。那么我们根据我们条件，因为AB与CD相交，相交的话，对顶角相等，所以角这是ABCD所以角AOC是不是就等于角BOD对顶角相等等于90度。当然这儿有一个角，还有一个角AOC等于90度，对顶角这个也是90度了，顶角是互补的。那么角AOC的邻补角是谁？不就角BOC和角AOD吗？不就等于180度，减角AOC不就等于90度吗？所以说只要有一个角是90度，那么另外三个角也是90度的吗？OK, 那么这两条直线在位置上有什么关系？刚才是数量上它们都是90度，那位置上有什么关系？不就是垂直吗？这两条直线是垂直的关系，垂直是用来描述关系的。我们一起来看一下说垂直定义，这是我们第一个知识点。垂直的定义刚才已经说了，其实说白就是两条直线所成，角是90度，它就是垂直。当然我们一起来看一下这个模型，两个木棍还是两个木棍固定在一起，我们进行一个旋转的变化。你看笔不断的转转转到这个位置，对不对？小F你看到刚才还记得它的变化，不是从这个方向逆时针旋转，也就是它所成的角会有什么变化？你看一开始的时候是锐角，对不对？最开始是这样的。好，接着转转转到这个特殊角的时候，我们知道三角形分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。这是我们在小学的时候就学过这样这个三角形的符号，我就直接画成三角形了不写字了。然后还有钝角三角形对吧？那么这个角度不就是从锐角到钝直角又到钝角了吗？那么它的关系是不是就出来了？这节课我们讲的就是直角，因为锐角和钝角上一节课两直线相交其实就包含了，对不对？我们一起来看一下说当F是90度的时候，它有什么样的位置关系来着。刚才已经说了是垂直转到这个位置，这叫垂直关系。垂直关系说当F是90度时，A与B是垂直的。OK垂直是什么？垂直其实说白了是一个特殊的相交情况，因为垂直的话也是相交，对不对？只不过是转到一个特殊角度而已。那么我们一起来归纳总结一下垂直的定义。你看如图我们可以画是不是AB和CD垂直，它随意画。你不用说我非得是这种田字格的，中间的那个必须是这种方方正正的。不是，你随便移，对不对？它都是垂直的。那么垂线的定义就是什么？就是当两条直线相交所成的四个角有一个角是直角时，那么这两条直线就垂直。为什么一个角是直角，那么另外三个角都是直角？所以只要有一个角是90度，那么这两条直线就垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，也就是说AB是CD的垂线，CD是AB的垂线，无所谓，互为垂线，它们的交点就叫垂足。因为你停到这儿不动了吗？顿足足不就是脚吗？停止停到这儿，垂到这儿OK。我们一起来看一下垂直怎么表示，这个就是我们刚才所讲的，我既可以直角画到这儿，也可以画到这儿，对不对？所以说垂直的符号只要是直角的形式就行，无论方向是怎么样的，然后文字的话就是它与它互相垂直这两个字就可以了。垂直我们也可以用这个符号来表示，比如说写因为AB垂直于CD这个就念作AB垂直于CD你写文字很麻烦，对不对？我们数学就是为了干嘛？就是为了简略。数学很多都是，你会发现以后你会经常发现他会对几何语言进行一个简略。比如说因为每次要写文字多不多？多，所以你上学期学了倒三角，这三个点就叫。因为所有的几何经常需要用到符号，所以你一定要学会。你看AB垂直于CD那么垂直符号说若要强调A垂直，就是若要强调垂足，那么你就要写一下垂足为O一般情况下垂足用的，只要说明垂直关系就可以了。我们来看一下，什么是判定？就是让你判断一下AB和CD这两条直线是否去是否垂直，这叫判定。判断确定的意思组词，判判断定确定判断确定这两条直线是否垂直，你要去证明它们两个垂直。那怎么证明两条直线垂直？只要是90度，那么就证明垂直的性质是什么。已知垂直了，你就能得到4个角都是90度。你可以这么写，随意写一个角也行，写出来四个角也行，随意。当然用到哪个角写哪个角更简单一些。OK这就是我们的垂直的一个性质，一个判定。已知垂直则90度，已知90度则垂直，它们两个是互逆的这是第一个知识点。接着来看第二个知识点，垂线的画法。我们刚才已经知道什么是垂线了，就是两条直线互为对方的垂线。AB是CD的垂线，CD是AB的垂线，互为垂线吗？垂足为O这种，那么它怎么画？甲给了你一条直线，你能画它的垂线吗？这就是这节课的重点，那不是也不是这节课的重点，是这节课的一个组成部分。这不是什么重点，因为你到作图的时候，但是你也必须掌握作图技巧，因为好多需要做辅助线。你的几何，你现在初中几何这才刚开始。你上一学期学了一部分，这学期学一部分，每个学期都要学一点点的。深入说第一个画已知直线L的垂线，你能画多少条？你给你一个直线L你能画多少条？与它垂直是不是很多条？无数条说过直线L上的一点A你看看清楚了，是过直线L上的一点A重点是上它在直线上一点A你能画几条垂线？第三个问题，在直线外一点B你能画几条垂线？过这点就也就意味着让你画必须得经过。你比如说我在这儿画了一条垂线，这就不满足题，因为它既没过A点也没过B点。那我到底有几条？我们带着这个问题一起来实际操作一下。首先第一个说过直线上一点A做垂线。怎么来做图，你说你要怎么做？其实就拿你的三角尺的，就你买的那一套尺子里面都能用。首先第一个可以拿你的这个止血去往上走，顶到这个直线的位置。当然其实在你真正做图中，也没有必要去非得拿直尺去比到那儿拿你的三角板去沿着，让这条边和你的已知直线L重合就可以。所以第一点落线就把三角板的一直角边，你看移到直线上，这也是一种方法，明白吗？更简单一些，就是你只需要一个工具就可以。刚才瑞哥说的这个拿三角拿直尺去顶住也可以。这样是不是更直接更垂直，是不是绝对不会有一点点误差？第一是把三角板的一边靠在已知的直线L上，就靠在已知的直线往上，这是第二。该怎么样了？移动？因为只要你移动的过程中，所有的都是它的垂线。比如说刚才移到这儿，然后移到这儿，移到这儿是不是无数条垂线？好，接着移到A点的这个位置，不就是过点A了吗？所以三角板的另一直角边，这不是刚才重合的一条直角边，是它吗？另一条直角边是不是这一条吗？它就怎么样了，过已知点，过已知点就可以画了吗？这个就是你的垂线吗？然后用线画出来，沿着三角板的另一边用。一定是用的什么？用的是铅笔。一般情况下，当然你到考试的时候用的是碳素笔，然后画出它的垂线就可以了。这是我们的三步骤，AB这就是它的垂线。看清楚了，是垂线，这是一条直线，AB直线。这样的垂线能画几条？肯定是一条呗，因为你过点A了，你再往那再往左走，它就不能过点A了吗？你看你想想这个问题，你要再接着三角板再往这儿走，不过点A不满足题意，所以说过直线外1.1样的道理，一落到它的线上，第二步然后移动过点B音一画还是唯一一条，对不对？过直线外一点也只能画一条垂线，那么这个结论我们就知道了，无论是直线外还是直线上一点，它都有且只有一条直一直线一条垂线。前提是一定是过点，不管是哪个点，所有人说同一平面内过一点，这一点可以是直线上，也可以是直线外，有且只有一条直线与已知直线垂直。注意一点是有且只有一条，别说了这一点对不对？记住这两个就可以了。接着来看第三个知识点，垂线段最短说灌溉时要把河中的水引到你的这个农田处。因为我们过去都是农业社会，对不对？我们尤其是古代是农耕社会交，如果没有水地怎么长？所以说你需要把水给引到你的地里面，那你就要去挖渠，怎么挖？更就是你更快速的流到你的水里，你的地里面，是不是？那怎么挖？你想想肯定是最近的距离挖呗，是不是？比如说就跟你从家到学校加到学校，我们上学期就讲过，两点之间是线段最短的，对不对？直接连线最短，你要绕个弯，绕一个弯肯定远了。那同样道理，那怎么样就会找到这条最短的距离呢？我们一起来看一下前面CD对不对？过P点向这做，其实垂线段是最短的。当然我们一起来验证一下，是不是生活中的常识就是垂线段最短。但是我们验证一下说如图过A点像已知直线L是不是画一条垂直的线段，有几条？有且只有一条和几条不垂直的线段，那么我们就可以画很多个，对不对？你看有垂直的有不垂直的那哪个最短？很明显最短的是AD吗？是不是很明显的是线段是最短ID其他的都比它长，肉眼可见。因为直角三角形中谁最长，肯定是斜边最长。他们每一个都组成了一个直角三角形，直角三角形斜边最长不？对，斜边最长，然后直角边最短，所以ad最短。OK人问AD最短，你能用一句话说结论吗？其实就说白了就是过直线外一点，是不是所有线段中只有垂线段是最短的？只有这个垂线段。我们上一节课有人说这个为什么叫线段？什么是线段？线段是有端点的，而我们刚才讲的是画垂线，过A点向L上画垂线，这是一条直线而。你现在我只到这个河这儿就可以了，你接着往再往外挖。那你说这个河你挖到你地就行了，你还用管别人吗？是不是不用管？所以只有这一段叫你的工作量，也就是你的垂线段。垂线段是最短简称。我们一起来看一下相应的例题知识点主要就是那三个。第一个你得知道什么是垂线概念，第二个你要会画垂线，第三你要知道垂线段是最短的。如果让你求长度，其实说白了是谁？假如说你和你这个农田到河的距离是什么？是垂线段的长度，长度才是距离。你不能说从家到学校5000米，你说从家到学校AP距离可以吗？不可以，距离就是一个长度，是有你可以测量的。我们来看一下相应的例题，说如图角一是30度，AB垂直于CD如图。那么我画出来一旦遇到题目垂直符号了，你就找到这两个直线，然后用这个符号描述出来。解做题一边做一边标角一这是30度。首先因为直接写角度没有什么，所以但是垂直有啊垂直就能得到什么90度，所以角AOC等于90度，或者角BOC等等。那四个角我随意先写一个90度1会儿不够了可以加。如果你不知道，你就先想着，然后接着往后读。垂足为O没什么用。EFVOEF经过点O这个你都是看图能看出来。问你角0.23元的度数，你看角一和角二是什么？角对顶角是角3，所以说你有角2，你求角三的话，那我怎么办？我是不是知道角AOD就可以，角AOD等于90度，又因为角一等于30度，所以角二就等于角一等于30度，理由就是什么？对，定价相当OK，那所以角三就出来了。角三就等于什么？是不是就等于角AOD去减去角2，不就是90度，减30度是60度吗？余角为余角的概念，OK这是我们的知识以及例题就讲完了。我们来看一个相应的练习题，这是书上的一道题，说如图直线ABCD相交于点OEO垂直于AB人已经给你画好了，垂足为O那我直接就可以写了。这些都废话，这些EO垂直于AB减垂直的就能得到90度吗？所以随意写角BOE是不是就等于90度这个位置角EOC等于35度，让你求的是AOD。AOD问题是这个是不是我们可以看到AOD它的对顶角是角COB，对不对？那我求出来COB不就可以了吗？所以缪一等于90度，又因为角EOC等于35度，两个角之和不就出来了吗？角COB不就等于角OC加上角BOE等于90度，加上35度、125度。所以AOD就是等于角COB就等于125度。理由就是对顶角相等，当然不用写理由，这就写完了。这节课我们主要讲了是不是垂线的概念以及垂线段的概念。并且你要知道垂足，那你要知道垂线段最短，垂线段最短它的概念就是点到直线的距离垂线段。OK以及你。