40 专题逐一通关六 专题21 范围、最值问题-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线范围与最值核心考点，涵盖椭圆、双曲线等内容，按构造不等式和构造函数两大解题路径组织知识，通过例题精讲、解题技巧总结、分层练习（学完就练）等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如例1结合判别式和基本不等式求三角形周长最小值，例2通过构造函数转化面积最值问题，训练推理能力与模型观念。设置即时反馈的分层练习，助力学生高效掌握方法，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题21　范围、最值问题 构造不等式求最值、范围 【例1】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为的直线l不过椭圆中心和顶点，与椭圆C交于A，B两点，且与x轴交于点M，点A关于y轴的对称点为D，直线BD与y轴交于点N，求△OMN周长的最小值． [解]　(1)由题意得e＝＝，又点在椭圆C上，所以＋＝1， 所以a2＝4，b2＝1，c2＝3，则椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l为y＝x＋m，则D(－x1，y1)，M(－2m，0)， 由得x2＋2mx＋2m2－2＝0，且Δ＝4m2－4(2m2－2)>0， 所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2， 0<m2<2，m≠±1， 则直线BD的方程为y＝(x＋x1)＋y1， 令x＝0，得y＝－x1＋y1＝＝ ＝＝＝，即N， 则|OM|＝|2m|，|ON|＝，|MN|＝， 则△OMN周长为|2m|＋＋≥2＋＝2＋2， 当且仅当|2m|＝，即m＝±时等号成立，则△OMN周长的最小值为2＋2． 【解题技巧】　圆锥曲线中构造不等式求最值、范围的方法 (1)利用判别式构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式研究最值、范围． 【学完就练1】 已知椭圆C：＋y2＝1． (1)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的上顶点，求△PF1F2的周长； (2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围． [解]　(1)由题意得a2＝4，b2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝＝， 所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2． (2)显然当直线l的斜率k不存在时，直线x＝0不满足题意，设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0， 由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4， 因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，所以cos∠AOB>0， 所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0， 所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝－＋4＝>0，解得0<k2<4， 因为k2>，解得－2<k<－或<k<2， 所以实数k的取值范围为∪． 构造函数求最值、范围 【例2】已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2．点M在E的右支上，当MF2⊥x轴时，|MF2|＝3． (1)求E的方程； (2)若直线MF2与E的右支的另一个交点为N，求△MF1N的面积的最小值． [解]　(1)由题知 ⇒ 又MF2⊥x轴时，|MF2|＝3，得M(2a，±3)，代入方程－＝1，解得a2＝1，b2＝3， 则双曲线E的方程为x2－＝1． (2)设直线MN的方程为x＝my＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 消去x得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0， 则Δ＝(12m)2－36(3m2－1)＝36m2＋36>0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， ＝|F1F2||y1－y2| ＝2 ＝2＝12， 因为y1y2＝<0，所以3m2－1<0， 令t＝，1≤t<，则m2＝t2－1， 得＝＝， 设f (t)＝－3t，则该函数在上单调递减，则f (t)max＝－3＝1， 故≥12，即△MF1N面积的最小值为12． 【解题技巧】　目标函数法求解圆锥曲线有关最值(取值范围)问题的解题模型 【学完就练2】 已知点F(0，)，直线l：y＝，动点P到F的距离与到直线l的距离之比为． (1)求动点P的轨迹Γ的方程； (2)设点M是轨迹Γ上一点，在直线y＝2x，y＝－2x上分别取点A，B，当A，B分别位于第一、二象限时，若＝λ，λ∈，求△AOB面积的取值范围． 附：在△ABC中，若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则△ABC的面积为|x1y2－x2y1|． [解]　(1)设P(x，y)，点P到直线l的距离为d． 由已知可得，＝，即＝， 两边平方得x2＋(y－)2＝， 整理得－x2＝1． 故动点P的轨迹Γ的方程为－x2＝1． (2)设M(x0，y0)，A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)，＝(x0－x1，y0－2x1)，＝(x2－x0，－2x2－y0)， 因为＝λ，所以 即 将点M(x0，y0)代入双曲线方程， 得－＝1，化简得x1x2＝－． 所以△AOB的面积为S＝|x1(－2x2)－x2·2x1|＝2|x1x2|＝＝， 因为λ∈，所以2≤λ＋≤， S＝∈． 故△AOB面积的取值范围为． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $