19 专题逐一通关三 专题12 数列求和及其综合应用-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

专题12　数列求和及其综合应用 数列求和 考向1　分组转化法 【例1】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． [解]　(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝ 所以b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5． 因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3， 所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*． (2)因为an＋1＝ 所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1， 即a2k＝a2k－1＋1，① a2k＋1＝a2k＋2，② a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③ 所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3， 又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＝300． 考向2　裂项相消法 【例2】已知等差数列{an}满足a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若等差数列{an}的公差不为零，且数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<． [解]　(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋3d成等比数列， 所以(2＋d)2＝2(2＋3d)，解得d＝0或d＝2． 当d＝0时，an＝2，当d＝2时，an＝2＋(n－1)×2＝2n， 所以数列{an}的通项公式为an＝2或an＝2n． (2)证明：因为等差数列{an}的公差不为零，由(1)知an＝2n(n∈N*)， 则bn＝＝＝， 所以Tn＝＝，故Tn＝<， 而Tn＝随n的增大而增大，则Tn≥T1＝，故≤Tn<成立． 考向3　错位相减法 【例3】已知数列{an}满足an＋1＝3an－2n－＋4，且a2＝．设bn＝an－2n－． (1)求a1； (2)证明数列{bn＋2}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式； (3)求数列{n(an－3n)}的前n项和Sn． [解]　(1)由an＋1＝3an－2n－＋4，a2＝， 取n＝1，则有a2＝3a1－2－＋4，解得a1＝4． (2)由bn＝an－2n－，an＋1＝3an－2n－＋4， 则bn＋1＝an＋1－2n+1－ ＝3an－2n－ ＝3an－3·2n－＋4， 所以bn＋1－4＝3＝3bn，则得bn＋1＋2＝3(bn＋2)， 又b1＋2＝a1－2－1＋2＝3， 故数列{bn＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列， 则有bn＋2＝3·3n-1＝3n，则bn＝3n－2． (3)由(2)知，bn＝3n－2， 则an＝bn＋2n＋＝3n＋2n＋－2， 所以n(an－3n)＝n·2n－(2n－1)， 设Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 则2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n+1， 则－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2， 则Tn＝(n－1)·2n+1＋2， 所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2－＝(n－1)·2n+1－n2＋2． 【解题技巧】　 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差． (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项． (3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确地写出“Sn－qSn”的表达式． 【学完就练1】 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，且－2Sn＋an＝0． ①求数列{an}的通项公式； ②若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<． (2)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，nan＋1＝2Sn＋3n． ①证明：数列{an}为等差数列； ②求数列的前n项和Tn． [解]　(1)①当n＝1时－2S1＋a1＝0，a1＝1， 因为－2Sn＋an＝0，当n≥2时－2Sn－1＋an－1＝0， 两式作差得＝0， 即－an－an－1＝0，故(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 又因为an>0，所以an－an－1＝1(n≥2)，且a1＝1， 所以an＝n． ②证明：由①可知，bn＝， 故Tn＝， Tn＝， 两式作差得Tn＝＝＝． 所以Tn＝，因为>0，所以Tn<． (2)①证明：由nan＋1＝2Sn＋3n， 当n≥2时，(n－1)an＝2Sn－1＋3(n－1)， 两式相减得nan＋1－(n－1)an＝2an＋3，即nan＋1－(n＋1)an＝3，(ⅰ) 则(n＋1)an＋2－(n＋2)an＋1＝3，(ⅱ) 由(ⅰ)－(ⅱ)整理得，(n＋1)an＋2＋(n＋1)an＝(2n＋2)an＋1， 所以an＋2＋an＝2an＋1(n≥2)． 又a1＝3，则当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9， 当n＝2时，2a3＝2S2＋6＝2(a1＋a2)＋6＝24＋6＝30，则a3＝15， 所以a1＋a3＝2a2，满足an＋2＋an＝2an＋1， 所以an＋2＋an＝2an＋1，故数列{an}是首项为3，公差为6的等差数列． ②由①可知数列{an}是首项为3，公差为6的等差数列， 所以Sn＝3n＋×6＝3n2， 则＝＝， 所以Tn＝ ＝＝． 数列的综合问题 【例4】　(1)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB长为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD长为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”(不含△ABC)恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为________． (2)给定数列{an}，对于任意的n∈N*，若满足an+1－an＝qn，则称{an}为“D(h)型数列”．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，当n≥2时，an+1－3an＋2an-1＝0． ①判断数列{an－an-1}是不是“D(h)型数列”，并证明； ②求数列{an}的通项公式； ③若bn＝log2(an＋1)，∃n∈N*，使不等式n(1＋bn)－λbn(n＋2)－3<0成立，求实数λ的取值范围． (1)80π　[由题意可知每段圆弧的圆心角为， 设第n段圆弧的半径为rn，则可得rn＋1＝rn＋1，r1＝1， 故数列{rn}是首项r1＝1，公差d＝1的等差数列， 则rn＝1＋n－1＝n， 则“蚊香”的长度为 r15＝(r1＋r2＋…＋r15) ＝＝80π．] (2)[解]　①数列{an－an－1}不是“D(h)型数列”，证明如下： 由an＋1－3an＋2an－1＝0，得an＋1－an＝2(an－an－1)， 因为a2－a1＝2，则＝2， 所以数列{an－an－1}是首项为2，公比为2的等比数列， 则an＋1－an＝2n，an－an－1＝2n-1，an＋1－an－(an－an－1)＝2n－2n-1＝2n-1≠qn， 所以数列{an－an－1}不满足“D(h)型数列”的定义， 即数列{an－an－1}不是“D(h)型数列”． ②由①知an－an－1＝2n-1，an－1－an－2＝2n-2，…，a2－a1＝2， 累加得an－a1＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＝2n-1＋2n-2＋…＋2＝＝2n－2， 又a1＝1，所以an＝2n－1． ③由②可知，bn＝log22n＝n，不等式n(1＋bn)－λbn(n＋2)－3<0有解， 整理为λ>，n∈N*有解， 即λ>＝1－， 设n＋3＝t≥4，t∈N*，则λ>1－＝1－， 设f (t)＝t＋－4，t≥4，f ′(t)＝1－>0(t≥4)， 所以f (t)在[4，＋∞)上单调递增， f (4)＝4＋－4＝，所以函数f (t)的值域为，则1－＝1－＝－， 当t→＋∞时，1－→1， 所以1－∈， 所以λ的取值范围是． 【解题技巧】　数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，解题的关键是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，考查的本质仍为数列的基础知识． 【学完就练2】 (1)若数列{an}相邻两项的和依次构成等差数列，则称{an}是“邻和等差数列”．例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”．已知数列{an}是“邻和等差数列”，Sn是其前n项和，且a1＝0，a2＝1，a3＝4，则S200等于(　　) A．39 700　 B．39 800 C．39 900　 D．40 000 (2)如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项． 记S＝，则下列结论正确的为(　　) A．S> B．S＝ C．S< D．S与的大小关系不能确定 (1)A　(2)C　[(1)设bn＝an＋an＋1，由a1＝0，a2＝1，a3＝4，得b1＝1，b2＝5，则bn＝4n－3＝an＋an＋1， 故S200＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a199＋a200) ＝b1＋b3＋…＋b199＝1＋9＋…＋793 ＝＝39 700． (2)由题图分析可知a1＝1，a2＝8a1＋1＝8＋1， a3＝8a2＋1＝8(8＋1)＋1＝82＋8＋1， a4＝8a3＋1＝8(82＋8＋1)＋1＝83＋82＋8＋1， 依此类推，a100＝899＋898＋897＋…＋8＋1， 所以S＝＝1＋<1＋＝＝<．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $