18 专题逐一通关三 专题11 等差数列、等比数列-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

专题逐一通关三 数列 专题11　等差数列、等比数列 等差、等比数列的基本运算 【例1】　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A．　 B． C．－　 D．－ (2)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． (1)B　(2)2　[(1)由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0， 则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝．故选B． (2)法一(基本量法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1．由S4＝4得＝4，① 由S8＝68得＝68，② 得＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q＞0，所以q＝2． 法二(等比数列前n项和性质法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q>0，所以q＝2．] 【解题技巧】　等差数列、等比数列运算问题的求解策略 (1)抓住基本量，即首项a1、公差d或公比q． (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn-1(p≠0，q≠0)形式的数列为等比数列． (3)因为等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常采用两式相除的方式进行相关计算． 【学完就练1】 (1)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S6＝S3，则a1＝(　　) A．3　 B．2 C．－　 D．－ (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a8＋a13＝－120，5S7－7S5＝70，若Sk＝Sk＋1，则k＝(　　) A．27　 B．28 C．54　 D．55 (1)D　(2)A　[(1)设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S6＝2S3，故q≠1， 由S6＝S3，可得＝， 化简得q3＝－，解得q＝－， 则a1＝＝＝－． (2)设数列{an}的公差为d， 因为数列{an}是等差数列，所以a3＋a8＋a13＝3a8＝－120， 解得a8＝－40，即a1＋7d＝－40，① 因为5S7－7S5＝70，所以5＝70，解得d＝2， 代入①中得，a1＝－54， 因为Sk＝Sk＋1，所以Sk＝Sk＋ak＋1，即ak＋1＝0， 所以a1＋kd＝0，即－54＋2k＝0，解得k＝27．] 等差、等比数列的性质 【例2】　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝6，S11＝99，则S13＝(　　) A．124　 B．138 C．156　 D．162 (2)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝(　　) A．8　 B．9 C．16　 D．18 (3)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120　 B．85 C．－85　 D．－120 (1)C　(2)B　(3)C　[(1)因为S11＝＝11a6＝99，所以a6＝9． 又因为a7＝a6＋a6－a5＝12，所以S13＝＝13a7＝13×12＝156． (2)因为a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则a1a9＝4， 由等比数列的性质可得，a1a9＝a8a2＝…＝a5a5＝4，所以a5＝2， 所以log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝log2(a1·a2·a3·…·a9) ＝log2[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5] ＝log2(44×2)＝log229＝9． (3)法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则化简整理得所以S8＝＝×(1－44)＝－85．故选C． 法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85．故选C．] 【解题技巧】　等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些关系入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题． 【学完就练2】 (1)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，则＝(　　) A．　 B． C．　 D． (2)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A．若{an}是等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4成等差数列 B．若{an}是等比数列，则S2，S4－S2，S6－S4成等比数列 C．若|an＋1－an|＝1，且a1＝1，则存在数列{an}，使得S102＝1 D．若|an＋1－an|＝1，且a1＝1，则存在k∈N*，使得S4k＋1＝100 (1)B　(2)AC　[(1)因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，所以＝＝＝＝＝．故选B． (2)对于选项A，{an}是等差数列，设其公差为d， 因为S2＝a1＋a2，S4－S2＝a3＋a4＝a1＋a2＋4d，S6－S4＝a5＋a6＝a1＋a2＋8d， 则2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)， 所以S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，故A正确； 对于选项B，例如an＝(－1)n，则S2＝a1＋a2＝－1＋1＝0， 可得S2，S4－S2，S6－S4不成等比数列，故B错误； 对于选项C，例如周期数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…，满足|an＋1－an|＝1，且a1＝1， 此时S102＝25×(1＋0－1＋0)＋1＋0＝1，故C正确； 对于选项D，因为|an＋1－an|＝1，且a1＝1，所以该数列的项奇偶交替，且为整数， 而前4k＋1项包含2k＋1个奇数，2k个偶数，这些项的和为奇数，而S4k＋1＝100为偶数，矛盾，故D错误．] 等差、等比数列的判断与证明 【例3】已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1． [证明]　选①③⇒②． 已知数列{an}是等差数列，a2＝3a1． 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1． 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n， 所以＝(n＋1)＝(常数)，所以数列{}是等差数列． 选①②⇒③． 已知数列{an}是等差数列，数列{}是等差数列． 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n． 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1． 选②③⇒①． 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1． 设数列{}的公差为d，d>0，则＝＝d， 得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，当n＝1时也满足，故an＝2d2n－d2，n∈N*是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列． 【解题技巧】　等差、等比数列的判断方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn-1 中项法 2an＝an－1＋an＋1 ＝an－1an＋1(n≥2，an≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0，1) 证明数列为等差(比)数列一般使用定义法． 【学完就练3】 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)． (1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若数列{bn}满足4b1－1·4b2－1·…·4bn－1＝(n∈N*)，证明：数列{bn}是等差数列． [解]　(1)证明：因为an＋2＝3an＋1－2an， 所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， 因为a1＝1，a2＝3， 所以{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n-1＋2n-2＋…＋2＋1 ＝2n－1(n≥2)， 又a1＝1符合上式，所以an＝2n－1(n∈N*)． (3)证明：因为4b1－1·4b2－1·…·4bn－1＝， 所以4(b1＋b2＋…＋bn)－n＝， 所以2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn，① 2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn＋1)－(n＋1)]＝(n＋1)bn＋1．② ②－①，得2(bn＋1－1)＝(n＋1)bn＋1－nbn， 即(n－1)bn＋1－nbn＋2＝0，③ 则nbn＋2－(n＋1)bn＋1＋2＝0．④ ④－③，得nbn＋2－2nbn＋1＋nbn＝0， 即bn＋2－2bn＋1＋bn＝0， 所以bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn(n∈N*)， 所以数列{bn}是等差数列． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $