12 专题逐一通关二 专题9 解三角形-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

专题9　解三角形 正弦定理、余弦定理 【例1】　(1)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若＝，则C＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． (2)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，cos B＝．若△ABC的角平分线AD交边BC于点D，则AD＝(　　) A．　 B．　 C．　 D．3 (1)C　(2)D　[(1)根据已知条件＝，得＝，即a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝＝，C＝． (2)在△ABC中，根据余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 已知AB＝4，AC＝6，cos B＝，设BC＝x，则62＝42＋x2－2×4×x×， 解得x＝5或x＝－4(边长不能为负舍去)， 所以BC＝5． 因为AD是角平分线，根据角平分线定理，可得＝＝＝． 又因为BD＋DC＝BC＝5，所以BD＝×5＝2． 在△ABD中，再根据余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B， 将AB＝4，BD＝2，cos B＝，代入可得AD2＝42＋22－2×4×2×＝16＋4－2＝18，所以AD＝3．] 【解题技巧】　三角形中边角互化的基本原则 (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”． (2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”． (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”． (4)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理． 【学完就练1】 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＋c＝a，cos B＝，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形　 B．钝角三角形 C．直角三角形　 D．不确定的 (2)(多选)(2025·甘肃嘉峪关三模)在锐角三角形ABC中，设a＝6，c＝5，sin B＝，则下列说法正确的是(　　) A．b＝4 B．AC边上的高是 C．△ABC的面积是 D．△ABC内切圆的面积是 (3)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝bsin A，sin2A－sin Asin B＋sin2B＝sin2C，则A＝(　　) A．　 B．或 C．　 D． (1)A　(2)ABC　(3)C　[(1)由余弦定理的推论可得cos B＝＝＝，则a＋c＝b． 因为b＋c＝a，所以a＝b＝3c，所以△ABC是等腰三角形． (2)在锐角三角形ABC中，sin B＝，所以cos B＝， 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝16，所以b＝4； 由a＝6，c＝5，sin B＝，可得S＝acsin B＝． 设AC边上的高为h，由S＝bh＝，可得h＝； 设△ABC内切圆的半径为r，由S＝(a＋b＋c)r，可得r＝， 所以△ABC内切圆的面积为，D错误． (3)因为a＝bsin A， 由正弦定理可得sin A＝sin Bsin A， 又sin A>0，所以sin B＝， 又sin2A－sin Asin B＋sin2B＝sin2C，由正弦定理可得a2－ab＋b2＝c2， 即a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理的推论得cos C＝＝， 所以sin C＝＝>sin B， 所以B为锐角， 所以cos B＝＝， 所以cos A＝－cos(B＋C) ＝－cos Bcos C＋sin Bsin C ＝×－×＝－， 又A∈(0，π)，所以A＝．] 正弦定理、余弦定理的综合应用 【例2】　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b2＋c2－a2＝bc，O为△ABC的外心． (1)求△BOC的面积； (2)求△ABC周长的取值范围． [解]　(1)在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝， 又A∈(0，π)，所以A＝， 又O为△ABC的外心， 则由正弦定理得＝2OB＝2OC＝，所以OB＝OC＝， 又∠BOC＝2A＝， 所以S△BOC＝OB·OC·sin∠BOC＝． (2)法一：由(1)及正弦定理得＝＝＝， 则b＝sin B，c＝sin C， 记△ABC的周长为l，则l＝2＋b＋c＝2＋(sin B＋sin C)． 又A＝，则C＝－B， 则sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝sin， 因为0<B<，所以<B＋<， 所以sin B＋sin C∈，所以l∈． 法二：由b2＋c2－a2＝bc，a＝2，得(b＋c)2－4＝3bc， 因为bc≤，所以(b＋c)2－4≤3×， 即(b＋c)2≤16，所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立． 因为b＋c>a＝2，所以2<b＋c≤4，所以4<a＋b＋c≤6， 即△ABC周长的取值范围为(4，6]． 【解题技巧】　求解三角形中最值、范围问题的策略 (1)基本不等式法：利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值或取值范围． (2)函数法：利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换化简为含有一角的三角函数，并利用三角函数的性质求最值或取值范围． 【学完就练2】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin B＝sin A＋cos Atan C． (1)求C； (2)若2(a＋b)＝c2，求c的最大值． [解]　(1)由2sin B＝sin A＋cos Atan C，得2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C， 即2sin Bcos C＝sin(A＋C)，又A＋B＋C＝π，则sin(A＋C)＝sin B≠0， 于是cos C＝，又0<C<π，所以C＝． (2)由(1)知C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， 而2(a＋b)＝c2，则2(a＋b)＝(a＋b)2－3ab， 因此(a＋b)2－2(a＋b)＝3ab≤(a＋b)2，解得a＋b≤8， 当且仅当a＝b＝4时取等号，则c＝≤4， 所以△ABC的边c的最大值为4． 解三角形的实际应用 【例3】　(1)如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面所成角就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°，夏至正午太阳高度角为θ，表高42 cm，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50 cm，则sin(θ－36.9°)的值为(　　) A．　 B．　 C．　 D． (2)如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知∠ABM＝30°，∠BAN＝45°，∠MAN＝60°，∠MBN＝90°，AB＝2，则MN＝(　　) 　 A．5(－1)　 B．5 C．5(＋1)　 D．10 (1)C　(2)C　[(1)如图，tan∠ABC＝tan 36.9°＝，AC＝42，所以BC＝56． 又BD＝50，所以CD＝6，根据勾股定理得AD＝30． 在△ABD中，根据正弦定理可知＝， 即＝，解得sin(θ－36.9°)＝． (2)由题设，∠BAM＝105°，∠ABM＝30°，则∠AMB＝45°，而AB＝2， 所以＝， 则AM＝＝＝， 由∠ABN＝120°，∠BAN＝45°，则∠ANB＝15°，而AB＝2， 又sin 15°＝＝＝， 所以＝， 则AN＝＝＝3＋， 所以MN＝ ＝ ＝＝5(＋1)．] 【解题技巧】　解三角形实际应用问题的步骤 【学完就练3】 (1)图1是某长方体建筑，图2中长方体ABCD⁃A1B1C1D1是该建筑的直观图，点N在AB的延长线上，MN是垂直于地面的测量标杆，高为h m．现测得BC长为a m，在M处测得点B1的仰角为α，点C1的仰角为β，则建筑物的高BB1为(单位：m) (　　) 　 A．h＋ B．h＋ C．h＋a D．h＋ (2)“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹．李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家．他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”．为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示．某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的A，B，C三点，分别测得雕像顶的仰角为60°，45°，30°，且AB＝BC＝ m，则雕像高为________m． (1)B　(2)20.1　[(1)设建筑物高为H， 在线段BB1上截取BS＝MN，则四边形BSMN为矩形， 在线段CC1上截取CT＝MN，则四边形TCNM为矩形且四边形SBCT为矩形． 在直角三角形C1TM中，C1T＝H－h，故TM＝，同理SM＝， 在直角三角形TSM中，ST＝BC＝a， 故a2＋SM2＝TM2， 故a2＋＝， 故H＝＋h ＝＋h ＝＋h． (2)如图所示，设雕像的高为PO＝h， 因为地面上选取共线的三点A，B，C，分别测得雕像顶的仰角为60°，45°，30°， 则OA＝h，OB＝h，OC＝h，其中OB为AC的中线， 在△OAB中，由余弦定理得OA2＝OB2＋AB2－2OB·ABcos∠OBA， 在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2＋BC2－2OB·BCcos(π－∠OBA)， 两式相加，可得OA2＋OC2＝2OB2＋AB2＋BC2， 即＋(h)2＝2h2＋2AB2，解得h＝AB＝×＝20.1(m)．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $