11 专题逐一通关二 专题8 三角函数的图象与性质-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习教师用书

专题逐一通关二 三角函数与解三角形、平面向量 专题8　三角函数的图象与性质 三角恒等变换 【例1】　(1)已知cos α－sin α＝1，则cos＝(　　) A．－　 B．－　 C．　 D． (2)已知α，β∈，＝2，则tan αtan 2β＝(　　) A．2　 B．1　 C．　 D． (3)在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后，其终边经过点P(1，2)，则sin＝(　　) A．－　 B．　 C．－　 D． (1)B　(2)B　(3)B　[(1)由cos α－sin α＝1得2cos＝1⇒cos＝， 又因为cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－． (2)由＝2得，－sin α＝1－2cos2β⇒sin α＝cos 2β， 因为α，β∈，所以2β∈(0，π)，sin α>0，cos 2β>0，所以2β∈． 等号两边同时平方得，sin2α＝cos22β⇒1－cos2α＝1－sin22β⇒cos2α＝sin22β， 所以cos α＝sin 2β， 则tan αtan 2β＝＝＝1． (3)由题意知，角的终边过点P(1，2)， 所以sin＝＝，cos＝＝， 所以sin＝sin＝sin＝2sincos＝2××＝．] 【解题技巧】　三角恒等变换的四大策略 (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的变换：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 【学完就练1】 (1)已知α，β∈， cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． (2)(多选)古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示．下列式子的计算结果等于黄金分割率的值的是(　　) A．sin 102°＋cos 102° B．2cos 78°＋2cos 42° C． D． (1)A　(2)AD　[(1)因为cos(α－β)＝，tan α·tan β＝， 所以 解得 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝． (2)由sin 102°＋cos 102°＝2sin(102°＋60°)＝2sin 162°＝2sin(180°－162°)＝2sin 18°，所以A正确； 由2cos 78°＋2cos 42°＝2cos(60°＋18°)＋2cos(60°－18°)＝4cos 60°cos 18°＝4×cos 18°＝2cos 18°，所以B不正确； 由＝tan 18°cos 18°＝sin 18°，所以C不正确； 由＝＝＝2sin 18°，所以D正确．] 三角函数的图象与解析式 【例2】　(1)(多选)为了得到函数y＝2cos 2x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)．如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)图象的两个交点，若|AB|＝，且f (x)在上单调递减，则ω＝________，φ＝__________． (1)AD　(2)2　－　[(1)把函数y＝2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象，A正确； 把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y＝2sin＝2sin＝－2cos的图象，B错误； 把函数y＝2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y＝2sin＝2sin＝－2cos的图象，C错误； 把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象，D正确． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由f (x)＝， 得(k∈Z)，所以ω(x2－x1)＝， 又|AB|＝x2－x1＝，所以ω＝，解得ω＝2，则T＝＝π，因为－＝＝，f (x)在上单调递减，所以x＝和x＝分别为f (x)单调递减区间的起点和终点，当x∈时，2x＋φ∈， 所以(k∈Z)， 所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<， 所以φ＝－．综上，ω＝2，φ＝－．] [难点]　根据区间长度为周期的一半且在该区间单调递减可知区间端点为f (x)的最值点，从而得到关于φ的方程． 【解题技巧】 1．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 2．由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝． (2)T定ω：由周期公式T＝，可得ω＝． (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 【学完就练2】 (1)已知函数f (x)＝4cos2，要得到一个偶函数的图象，可以将f (x)的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 (2)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，最高点为P(1，A)，且满足NM⊥NP．若将f (x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，则g(－2)＝(　　) A．　 B．0 C．　 D．－ (1)C　(2)D　[(1)依题意，f (x)＝4·＝2cos＋2， 对于A，f ＝2cos＋2，所得函数不是偶函数，A错误； 对于B，f ＝2cos＋2，所得函数不是偶函数，B错误； 对于C，f ＝2cos＋2＝－2cos 2x＋2，所得函数是偶函数，C正确； 对于D，f ＝2cos＋2，所得函数不是偶函数，D错误． (2)由题知，函数f (x)的最小正周期T满足＝xM－xP＝－1＝，解得T＝6， 所以ω＝＝，则f (x)＝Asin， 由图象与x轴的交点为M得，×＋φ＝kπ(k∈Z)，则φ＝－＋kπ(k∈Z)， 因为|φ|<，所以φ＝， 即f (x)＝Asin， 则f (0)＝Asin＝， 所以f (x)图象与y轴的交点为N， 则＝，＝， 因为NM⊥NP，所以·＝－＝0， 解得A＝(负舍)，所以A＝， 所以f (x)＝sin， 所以若将f (x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)， 则g(x)＝sin＝cosx， 所以g(－2)＝cos＝－cos＝－．] 三角函数的性质 【例3】　(1)若函数y＝cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到一个奇函数的图象，则ω的最小值为(　　) A．　 B．1　 C．　 D．3 (2)(多选)如图是函数f (x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)＝2cos B．f (x)的图象关于点中心对称 C．f (x)在(－1，2)上单调递增 D．f (x)的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为奇函数 (1)A　(2)AC　[(1)函数y＝cos的图象向左平移个单位长度后得f (x)＝cos＝cos的图象，由题意知f (x)为奇函数，所以ω＋＝kπ＋，k∈Z⇒ω＝＋，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为． (2)对于A，由f (0)＝1得cos φ＝，由－<φ<0得φ＝－， 由f ＝0得cos＝0，故－(ω＋1)＝＋kπ(k∈Z)， 化简得ω＝－－3k(k∈Z)， 由题图可知该函数的周期T＝>×4，故0<ω<，解得ω＝， 所以f (x)＝2cos，故A正确； 对于B，由f ＝2cos≠0， 得不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，由－1<x<2， 可得－－<x－<1－， 由－<－－<1－<，得函数f (x)在(－1，2)上单调递增，故C正确； 对于D，f (x)的图象向左平移个单位长度后得到函数f ＝2cos的图象，此时f 为偶函数，故D错误．] 【解题技巧】　研究三角函数的性质，首先将函数化为f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f (x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f (x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或取值范围求得t＝ωx＋φ的取值范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． 【学完就练3】 (1)已知函数f (x)＝4sin xcos x－4sinsin，x∈R，则下列描述正确的是(　　) A．f (x)的最小正周期是 B．f (x)在上单调递增 C．直线x＝是y＝f (x)图象的一条对称轴 D．f (x)的最大值是4 (2)已知直线x＝－为函数f (x)＝cos(ω>0)图象的一条对称轴，则满足条件的一个ω的取值为________；若f (x)在区间上有零点，则ω的最小值为________． (1)B　(2)1(答案不唯一)　4　[(1) f (x)＝4sin xcos x－4sinsin ＝2sin 2x－4×(sin x＋cos x)(sin x－cos x) ＝2sin 2x－2(sin2x－cos2x) ＝2sin 2x＋2cos 2x＝4sin， 对于A，f (x)的最小正周期是＝π，故A错误； 对于B，当x∈时， 2x＋∈， 故f (x)在上单调递增，故B正确； 对于C，f ＝4sin＝0，故C错误； 对于D，f (x)的最大值是4，故D错误． (2)因为直线x＝－为函数f (x)＝cos(ω>0)图象的一条对称轴， 所以－ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝1－3k，k∈Z， 又ω>0，所以取ω＝1(答案不唯一)； 若f (x)在区间上有零点， 令ωx＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z， 由－<＋<0， 故k≤－1且ω>－－3k，k∈Z， 又ω>0，ω＝1－3k，且要求ω的最小值，故k＝－1，所以ω的最小值为4．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $