41 专题逐一通关六 专题22 定点(线)、定值问题-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何中的定点、定直线、定值问题，依据高考评价体系梳理了椭圆、抛物线等核心载体下的三大考查方向，通过典型例题分析明确定点证明、定线探究、定值计算等高频考点权重，归纳参数法、韦达定理应用等常考题型解法，体现高考备考的系统性与针对性。 课件亮点在于“真题情境+解题策略+素养提升”的融合，如以椭圆动线过定点问题为例，通过设方程联立、韦达定理消参推导，培养学生数学思维与推理能力，提炼“设而不求”“参数恒成立”等解题技巧，助力学生掌握得分关键，教师可据此开展精准复习，提升学生高考冲刺效率。

专题22　 定点(线)、定值问题 专题逐一通关六　解析几何 【例1】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为． (1)求C的方程． (2)若A1，A2分别是C的左、右顶点，不与x轴垂直的动直线l与C交于P，Q两点(不同于A1，A2)，且直线A1P的斜率等于直线A2Q的斜率的2倍，求证：直线l经过定点． 定点问题 专题22　定点(线)、定值问题 [解]　(1)由题意得2b＝2⇒b＝1⇒a2－c2＝1， ＝⇒c2＝a2，解得a2＝4，c2＝3， 故椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)证明：设直线l的方程为y＝kx＋m，与椭圆方程＋y2＝1联立，消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 其中Δ＝16(4k2＋1－m2)>0⇒4k2＋1>m2， 专题22　定点(线)、定值问题 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 由已知得＝⇒＝⇒＝， 再化简得(2k2＋1)x1x2＋(2km＋2)(x1＋x2)＋2m2＋4＝0， 代入得(2k2＋1)＋(2km＋2)＋2m2＋4＝0， 整理得(2k－3m)(2k－m)＝0， 因为直线l不经过点A1(－2，0)，所以2k－m≠0， 即2k－3m＝0⇒m＝k，所以直线l的方程为y＝kx＋k＝k， 因此直线l经过定点． 专题22　定点(线)、定值问题 【解题技巧】　动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题．设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，从而动直线过定点(－m，0)． (2)动曲线C过定点问题．引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，可得出定点． 专题22　定点(线)、定值问题 【学完就练1】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，点A(，)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程． (2)若直线l交椭圆C于M，N两点，且线段MN的中点P的横坐标为 －2，过P作直线l'⊥l．证明：直线l'恒过定点，并求出该定点的坐标． 专题22　定点(线)、定值问题 [解]　(1)由点A(，)在椭圆C上，得＋＝1，由椭圆C的焦距为4，得a2－b2＝8， 解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1． (2)证明：设P(－2，y0)，将x＝－2代入椭圆方程得y＝±，由题知－≤y0≤． 当y0≠0时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2， 专题22　定点(线)、定值问题 由 两式相减得＋＝0，即·＝－， 由P为线段MN的中点，得·＝－，直线l的斜率k＝＝， 由l'⊥l，得直线l'的方程为y－y0＝－(x＋2)， 专题22　定点(线)、定值问题 即y＝－， 因此直线l'过定点．当y0＝0时，直线l：x＝－2，此时l'为x轴，过点， 所以直线l'恒过定点． 专题22　定点(线)、定值问题 【例2】过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为－1的直线l与抛物线E交于A，B两点，|AB|＝8． (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l'交抛物线E于C，D两点，直线AC与BD的交点是否恒在一条直线上?若是，求出该直线的方程；否则，说明理由． 定直线问题 专题22　定点(线)、定值问题 [解]　(1)由题意知，F，则直线l：y＝－x＋． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立得 消去y并整理得x2－3px＋＝0， Δ1＝(－3p)2－4×1×＝8p2>0，所以x1＋x2＝3p，x1x2＝．由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x． 专题22　定点(线)、定值问题 (2)由(1)可得y1 y2＝－4，F(1，0)．由题意知，直线l'的斜率不为0，设直线l'：x＝my＋1，C(x3，y3)，D(x4，y4)，与抛物线方程联立得消去x并整理得y2－4my－4＝0，Δ2＝(－4m)2 －4×1×(－4)＝16(m2＋1)>0，所以y3 y4＝－4．直线AC：y－y3＝(x－x3)＝(x－x3)＝(x－x3)，即y＝．① 同理得直线BD：y＝．② 专题22　定点(线)、定值问题 由①②消去y得＝，即4(y1－y2＋y3－y4)x＝y1 y2(y3－y4)＋y3 y4(y1－y2)＝－4(y1－y2＋y3－y4)，解得x＝－1，所以直线AC与直线BD的交点恒在直线x＝－1上． 专题22　定点(线)、定值问题 【解题技巧】　定直线问题的求解策略 (1)联立方程消参． (2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标． (3)将横纵坐标分别用参数表示，再消参． (4)对方程变形解得定直线． 专题22　定点(线)、定值问题 【学完就练2】 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，左、右顶点分别为C，D，过右焦点F(1，0)的直线l交椭圆E于A，B两点(不与C，D重合)，直线AC与直线BD交于点T． (1)求椭圆E的方程； (2)求证：点T在定直线上． 专题22　定点(线)、定值问题 [解]　(1)依题意，b＝，半焦距c＝1，则a＝＝2， 所以椭圆E的方程为＋＝1． 专题22　定点(线)、定值问题 (2)证明：显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB：x＝ty＋1， 由消去x并整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0， Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144(t2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 且有ty1 y2＝(y1＋y2)， 直线AC：y＝(x＋2)，直线BD：y＝(x－2)， 专题22　定点(线)、定值问题 联立消去y得(x＋2)＝(x－2)，即x＝＋，整理得[y2(x1＋2)－y1(x2－2)]x＝2y1(x2－2)＋2y2(x1＋2)， 即[y2(ty1＋3)－y1(ty2－1)]x＝2y1(ty2－1)＋2y2(ty1＋3)， 于是(3y2＋y1)x＝4ty1y2－2y1＋6y2，而ty1y2＝(y1＋y2)， 则(3y2＋y1)x＝6(y1＋y2)－2y1＋6y2， 因此x＝＝＝4， 所以点T在定直线x＝4上． 专题22　定点(线)、定值问题 【例3】已知抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，2)在C上，且|MF|＝2|OF|，其中O为坐标原点，过点A(0，1)的直线l与C相交． (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值，并求出该定值． 定值问题 专题22　定点(线)、定值问题 [解]　(1)由抛物线的定义可知|MF|＝－x0＋， 又|MF|＝2|OF|，则|MF|＝p． 即－x0＝p，所以x0＝－． 又M在抛物线上， 所以4＝－2p·，且p>0， 解得p＝2．则C的方程为y2＝－4x． 专题22　定点(线)、定值问题 (2)设直线l的斜率为k，则l：y＝kx＋1． 联立 得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0， 当k＝0时，l：y＝1，符合题意； 当k≠0时，则Δ＝(2k＋4)2－4k2＝0，解得k＝－1． 综上，直线l的斜率为0或－1． 专题22　定点(线)、定值问题 (3)证明：由题得l的斜率存在且不为零． 设l的方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立可得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0， Δ＝(2k＋4)2－4k2＝16k＋16>0，即k>－1． 可得x1＋x2＝－，x1x2＝． 故k1＝＝，k2＝＝． 则k1＋k2＝＋＝2k＋＝－4，所以k1＋k2为定值－4． 专题22　定点(线)、定值问题 【解题技巧】　参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤 专题22　定点(线)、定值问题 【学完就练3】 已知动点M(x，y)与定点F(3，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y＝x，y＝－x分别交于A，B两点，证明：△AOB的面积是定值．(O为坐标原点) 专题22　定点(线)、定值问题 [解]　(1)根据题意得＝， 则可得＝， 将上式两边平方，得(x－3)2＋y2＝2， 整理得x2－6x＋18＋y2＝2x2－6x＋9，所以x2－y2＝9， 所以动点M的轨迹方程为－＝1． 专题22　定点(线)、定值问题 (2)证明：设点P的坐标为(x0，y0)，当切线的斜率不存在时，不妨取点P的坐标为(3，0)，切线方程为x＝3，与y＝x联立得点A的坐标为(3，3)，与y＝－x联立得点B的坐标为(3，－3)，由题意可知S△AOB＝×3×|3－(－3)|＝9； 当切线的斜率存在时，设曲线在点P处的切线方程为y－y0＝k(x－x0)， 与双曲线方程联立得 消去y，可得x2－[k(x－x0)＋y0]2＝9， 整理得(1－k2)x2＋(2k2x0－2ky0)x－k2＋2ky0x0－－9＝0， 专题22　定点(线)、定值问题 所以1－k2≠0且Δ＝(2k2x0－2ky0)2－4(1－k2)(－k2＋2ky0x0－－9)＝0，解得k＝，代入y－y0＝k(x－x0)，得y0y－＝x0x－， 所以切线方程为x0x－y0y＝9， 与y＝x联立得xA＝，与y＝－x联立得xB＝， 故S△AOB＝|xA·xB|＝＝＝9． 综上，△AOB的面积是定值9． 专题22　定点(线)、定值问题 $