38 专题六 课时22 定点(定线)、定值问题（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时22　定点(定线)、定值问题 [备考指南]　以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查定点、定线与定值问题，运算量较大，难度较大． 能力考点1　定点(定线)问题 【典例1】　(2023·全国乙卷改编)已知椭圆C：＝1，点A(－2，0)．过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． [证明]　由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k＞0，则k<0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝． 直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝， 同理得yN＝， 则yM＋yN＝2× ＝2× ＝2× ＝2× ＝2×＝6， 所以线段MN的中点为定点(0，3)． 反思领悟：动直线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线过定点问题：设动直线方程为y＝kx＋t(斜率存在)，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． (2)动曲线过定点问题：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． (2025·四川模拟节选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(t，2)是C上的一点，且|MF|＝2． (1)求抛物线C的方程； (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)是C上异于M的两点，∠AMB的平分线与x轴垂直，N为线段AB的中点．求证：点N在定直线上． [解]　(1)因为|MF|＝2， 由抛物线的定义得t＋＝2， 又2pt＝4，所以t＝， 因此＝2，即p2－4p＋4＝0，解得p＝2， 从而抛物线C的方程为y2＝4x． (2)证明：由(1)知点M的坐标为M(1，2)， 因为∠AMB的平分线与x轴垂直， 所以直线MA，MB的倾斜角互补， 即直线MA，MB的斜率互为相反数， kMA＝＝＝， 同理kMB＝， 则kMA＋kMB＝＝0， 化简得y1＋y2＝－4， 则yN＝＝－2， 所以点N在定直线y＝－2上． 【教用·备选题】 1．若抛物线Γ的方程为y2＝4x，焦点为F，设P，Q是抛物线Γ上两个不同的动点． (1)若|PF|＝3，求直线PF的斜率； (2)设PQ的中点为R，若直线PQ的斜率为，证明：R在定直线上． [解]　(1)F(1，0)，|PF|＝xP＋1＝3， ∴xP＝2，将x＝2代入y2＝4x，得y＝±2， ∴P(2，±2)，∴kPF＝＝±2． (2)证明：法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， PQ：y＝x＋t， 代入y2＝4x，得y2－4y＋4t＝0，Δ＝(－4)2－4×4t>0，即t<． 由根与系数的关系得y1＋y2＝4， 则yR＝＝2， 故R在定直线y＝2上． 法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意，＝＝＝， 故y1＋y2＝4，则yR＝＝2， 故R在定直线y＝2上． 2．(2025·榆林模拟节选)已知椭圆C：＋y2＝1的上顶点为A，过点的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N． 证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点． [证明]　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 得(4k2＋2)x2＋4kx－3＝0，Δ>0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 直线AP的方程为y＝x＋1， 直线AQ的方程为y＝x＋1， 可得M，N， 以MN为直径的圆的方程为＋y2＝0， 即x2＋y2＋x＋ ＝0，① 因为＝ ＝ ＝＝－6， 所以在①中，令x＝0，得y2＝6， 即以MN为直径的圆过y轴上的定点(0，±)． 能力考点2　定值问题 【典例2】　(2020·新高考Ⅰ卷改编)已知点M，N，A在椭圆C：＝1上，A(2，1)，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． [证明]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 若直线MN与x轴不垂直， 设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＝1， 消去y整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，Δ＝>0， 于是x1＋x2＝－，x1x2＝．① 由AM⊥AN，得·＝0， 故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0． 将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0， 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0． 所以m＝1－2k或m＝－， 当m＝1－2k时，y＝k(x－2)＋1， 过定点A(2，1)，不符合题意，舍去， 当m＝－时，y＝k，过定点P． 因为AD⊥MN，所以点D在以AP为直径的圆上，故当点Q为AP的中点，即Q时，|DQ|＝为定值． 若直线MN与x轴垂直， 可得N(x1，－y1)．由·＝0， 得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0． 又＝1，所以－8x1＋4＝0． 解得x1＝2(舍去)或x1＝． 所以D，此时|DQ|＝＝，为定值． 综上，存在点Q，使得|DQ|为定值． 反思领悟：求解定值问题的两大途径 (1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值，将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关． (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值． (2025·枣庄模拟改编)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，且点A(4，3)在双曲线C上． (1)求C的方程； (2)若直线l交C于P，Q两点，∠PAQ的平分线与x轴垂直，求证：直线l的倾斜角为定值． [解]　(1)因为点A(4，3)在双曲线C上且离心率为， 所以 解得a2＝4，b2＝3， 则双曲线C的方程为＝1． (2)证明：易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y并整理得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，Δ＝64k2m2＋4(3－4k2)(4m2＋12)>0，即m2－4k2＋3>0． 得x1＋x2＝，x1x2＝，① 因为∠PAQ的平分线与x轴垂直， 所以kAP＋kAQ＝＝0， 即(x2－4)(y1－3)＋(x1－4)(y2－3)＝0， 可得(x2－4)(kx1＋m－3)＋(x1－4)(kx2＋m－3)＝0， 整理得2kx1x2＋(m－4k－3)(x1＋x2)－8(m－3)＝0，③ 将①代入③得2k×＋(m－4k－3)×－8(m－3)＝0， 整理得(k＋1)(4k＋m－3)＝0， 因为直线l不过点A(4，3)，所以4k＋m－3≠0， 解得k＝－1． 则直线l的倾斜角为定值，定值为． 【教用·备选题】 1．(2025·沈阳三模)已知圆N：(x－3)2＋y2＝25，抛物线G：y2＝2px(p＞0)的准线与圆N相切，过抛物线焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． (1)求抛物线G的方程； (2)当MN⊥x轴时，求直线l的斜率； (3)求证：|AB|－2|MN|为定值，并求出该定值． [解]　(1)由题意得，圆N的圆心坐标为(3，0)，半径为5，且抛物线的准线x＝－与圆N相切，p>0，则＝5，解得p＝4， 故抛物线G的方程为y2＝8x． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 显然直线l的斜率不为0，F(2，0)， 设其方程为x＝ty＋2，与抛物线y2＝8x联立， 消去x得y2－8ty－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝8t，y1y2＝－16， 则y0＝＝4t，x0＝ty0＋2＝4t2＋2， 因为MN⊥x轴，所以x0＝4t2＋2＝3，解得t＝±， 因为直线l的斜率为， 所以直线l的斜率为±2． (3)证明：|AB|＝x1＋x2＋4＝t(y1＋y2)＋8＝8(t2＋1)， 由(2)得M(4t2＋2，4t)， 则|MN|＝ ＝＝＝4t2＋1， 所以|AB|－2|MN|＝8(t2＋1)－2(4t2＋1)＝6． 2．(2025·邯郸模拟)已知M为平面上一个动点，M到定直线x＝1的距离与到定点F(2，0)的距离的比等于，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得·为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)设点M的坐标为(x，y)， 则＝， 即2(x－1)2＝(x－2)2＋y2， 化简得x2－y2＝2， 所以曲线C的标准方程为＝1． (2)当直线l的斜率不为0时，设其方程为x＝my＋2(m≠±1)． 代入＝1，整理得(m2－1)y2＋4my＋2＝0， Δ＝8(m2＋1)>0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(t，0)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝， 所以·＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝(my1＋2－t)(my2＋2－t)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2＋m(2－t)(y1＋y2)＋(2－t)2 ＝(m2＋1)×－m(2－t)×＋(2－t)2＝＋(2－t)2． 若要上式为定值，则必须有4t－6＝－2，即t＝1， 所以＋(2－t)2＝－2＋1＝－1， 故存在点P(1，0)满足·＝－1． 当直线l的斜率为0时，不妨设A(－，0)，B(，0)，此时点P(1，0)亦满足·＝－1，故存在点P(1，0)满足·＝－1． 综上所得，在x轴上存在点P(1，0)，使得·为定值，定值为－1． (2022·新高考Ⅰ卷节选)已知点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线l的斜率． [解]　因为点A(2，1)在双曲线C：＝1(a＞1)上，所以＝1，解得a2＝2，即双曲线C：－y2＝1， 易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立可得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0， 所以1－2k2≠0，Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0， 即m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以由kAP＋kAQ＝0可得，＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以2k×＋(m－1－2k)×－4(m－1)＝0， 化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0， 所以k＝－1或m＝1－2k， 当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1， 过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1． 即直线l的斜率为－1． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $