03 专题逐一通关一 专题3 导数的几何意义及函数的单调性-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习课件

专题3　 导数的几何意义及函数的单调性 专题逐一通关一　函数与导数 【例1】　(1)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．　 B． C．　 D． 导数的几何意义 √ 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 √ (2)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln (－x)的切线，则(　　) A．k＝，b＝0 　 B．k＝1，b＝0 C．k＝，b＝－1 　 D．k＝1，b＝－1 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 (1)A　(2)A　[(1) f ′(x)＝，所以f ′(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为＝，故选A． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 (2)法一(设点法)：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切于点(x1，y1)，直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln (－x)相切于点(x2，y2)，对y＝ln x求导得y′＝，对y＝－ln (－x)求导得y′＝(－1)＝－， 所以有 即解得 所以k＝＝． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 法二(代入法)：对于A，对y＝ln x求导得y′＝，令＝k＝，得x＝e，又ln e＝1，所以曲线y＝ln x在点(e，1)处的切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x，同理得曲线y＝－ln (－x)在点(－e，－1)处的切线方程也为y＝x，故A正确． 法三(数形结合法)：由题意得y＝ln x与y＝－ln (－x)的图象关于原点对称，作出两个函数的图象如图所示，由图象得，只有A选项满足题意．] 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 【解题技巧】 1．导数的几何意义 函数f (x)在x＝x0处的导数就是曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率． 2．切点的注意事项 ①曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． ②切点既在切线上，又在曲线上． 3．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 √ 【学完就练1】 (1)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　 B．y＝x C．y＝　 D．y＝ (2)过坐标原点作曲线f (x)＝ex(x2－2x＋2)的切线，则切线共有(　　) A．1条　 B．2条 C．3条　 D．4条 √ 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 (1)C　(2)A　[(1)由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝，故选C． (2)设切点为， 由f (x)＝ex(x2－2x＋2)，可得f ′(x)＝x2ex， 则切线的斜率k＝， 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 所以切线方程为＝(x－x0)， 代入原点(0，0)，得＋2x0－2＝0， 故(x0－1)＋2(x0－1)＝0， 即＝0， 解得x0＝1，故过坐标原点的切线共有1条．] 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 【例2】　已知函数 f (x)＝(x－2)ex＋x2－ax．讨论函数f (x)的单调性． 利用导数研究函数的单调性 [解]　f (x)＝(x－2)ex＋x2－ax，函数f (x)的定义域为R， f ′(x)＝(x－1)ex＋a(x－1)＝(x－1)(ex＋a)． ①当a≥0时， 若x∈(－∞，1)，则f ′(x)<0，所以f (x)在(－∞，1)上单调递减； 若x∈(1，＋∞)，则f ′(x)>0，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递增． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 ②当－e<a<0时，ln (－a)<1， 若x∈(－∞，ln (－a))∪(1，＋∞)，则f ′(x)>0， 所以f (x)在(－∞，ln (－a))，(1，＋∞)上单调递增； 若x∈(ln (－a)，1)，则f ′(x)<0，所以f (x)在(ln (－a)，1)内单调递减． ③当a＝－e时，ln (－a)＝1， ∀x∈R，f ′(x)≥0，所以f (x)在R上单调递增． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 ④当a<－e时，ln (－a)>1， 若x∈(－∞，1)∪(ln (－a)，＋∞)，则f ′(x)>0，所以f (x)在(－∞，1)，(ln (－a)，＋∞)上单调递增； 若x∈(1，ln (－a))，则f ′(x)<0，所以f (x)在(1，ln (－a))内单调递减． 综上所述，当a≥0时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 当－e<a<0时，f (x)在(－∞，ln (－a))，(1，＋∞)上单调递增， 在(ln (－a)，1)内单调递减； 当a＝－e时，f (x)在R上单调递增； 当a<－e时，f (x)在(－∞，1)，(ln (－a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln (－a))内单调递减． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 【解题技巧】 (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视定义域的限制． (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论． (3)在不能通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据不等式对应方程的根的情况进行分类讨论． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 【学完就练2】 已知函数 f (x)＝ln x＋ax＋1，a∈R，讨论f (x)的单调性． [解]　函数f (x)＝ln x＋ax＋1，a∈R的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝＋a． 当a≥0时，∀x∈(0，＋∞)，f ′(x)＝＋a>0恒成立，所以f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 当a<0时，令f ′(x)＝＋a＝＝0，解得x＝－， 当x∈时，f ′(x)>0，f (x)在区间内单调递增， 当x∈时，f ′(x)<0，f (x)在区间上单调递减． 综上所述，当a≥0时，f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，f (x)在区间内单调递增，在区间上单调递减． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 由函数的单调性求参数的值或取值范围 【例3】　若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围为______________________． ∪(0，＋∞)　[因为h(x)在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时， h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥恒成立． ∪(0，＋∞)　 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 设G(x)＝，所以a≥G(x)max， 而G(x)＝－1， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此时x＝4)， 所以a≥－，又因为a≠0， 所以a的取值范围是．] 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 【变式训练】 1．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上单调递增”，则a的取值范围为_____________． (－∞，－1]　[因为h(x)在[1，4]上单调递增，所以当x∈[1，4]时，h′(x)≥0恒成立，即a≤恒成立，又因为当x∈[1，4]时， －1(此时x＝1)，所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．] (－∞，－1]　 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 2．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上存在单调递减区间”，则a的取值范围为___________________． (－1，0)∪(0，＋∞)　[因为h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，所以h′(x)＜0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a＞有解， 而当x∈[1，4]时，－1(此时x＝1)，所以a＞－1，又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．] (－1，0)∪(0，＋∞)　 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 3．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上不单调”，则a的取值范围为____________． 　[因为h(x)在[1，4]上不单调， 所以h′(x)＝0在(1，4)内有解， 即a＝＝－1在(1，4)内有解， 令m(x)＝，x∈(1，4)，则－1＜m(x)＜－． 所以实数a的取值范围是．] 　 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 【解题技巧】　 (1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法，但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别，前者是恒成立问题，后者是不等式有解问题． (2)解决这类问题主要与参数处理相关，因此尽量采取措施合理地规避分类讨论，简化求解过程，否则就要运用分类讨论的思想解决问题． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 √ 【学完就练3】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数 f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2　 B．e C．e-1　 D．e-2 (2)已知函数f (x)＝x－cos x，若f (x1)＋f (x2)＝π，则f (x1＋x2)等于(　　) A．π－1　 B．π＋1 C．π　 D．0 √ 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 (1)C　(2)B　[(1)因为函数f (x)＝aex－ln x，所以f ′(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，所以f ′(x)≥0在区间 (1，2)恒成立，即aex－≥0在区间(1，2)恒成立，易知a>0，则0<≤xex在区间(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在区间(1，2)内，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1，故选C． 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 (2)因为f (x)＝x－cos x， 所以f ′(x)＝1＋sin x≥0． 所以f (x)在R上单调递增． 因为f (x1)＋f (x2)＝π， 所以f (x1)＝π－f (x2)＝π－x2＋cos x2 ＝π－x2－cos (π－x2)＝f (π－x2)， 结合f (x)在R上单调递增，知x1＝π－x2， 即x1＋x2＝π． 所以f (x1＋x2)＝f (π)＝π－cos π＝π＋1．] 专题3　导数的几何意义及函数的单调性 $