30 专题逐一通关“滚动提升卷”(三) 专题逐一通关一至专题逐一通关四-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习课件

30　专题逐一通关“滚动提升卷”(三) 专题逐一通关一至专题逐一通关四立体几何 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·北京海淀三模)在复平面内，复数－i2 025对应的点位于 (　　) A．第一象限　 B．第二象限　 C．第三象限　 D．第四象限 √ 2 D　[原式＝·－i2 025＝－(i2)1 012·i＝1－i－i＝1－2i， 对应复平面的点为(1，－2)，在第四象限．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．(2025·云南丽江三模)已知函数 f (x)＝则f (2＋log23)的值为(　　) A．24　 B．4　 C．12　 D．8 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ A　[因为2＋log23<4，所以f (2＋log23)＝f (3＋log23)， 又3＋log23>4，所以f (3＋log23)＝＝23×＝8×3＝24．] 4 3．(2025·湖南邵阳一模)已知向量a＝(－1，)，b＝(2，－)，a与b的夹角为θ，则sin＝(　　) A．　 B．－　 C．－　 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 5 C　[因为a·b＝(－1)×2＋×(－)＝－2－3＝－5， |a|＝＝＝2，|b|＝＝＝， 所以cos θ＝＝＝－． 所以sin＝cos θ＝－．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．(2025·湖南长沙二模)已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n⊂β，则“m∥n”是“α⊥β”的(　　) A．充要条件　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　 D．既不充分也不必要条件 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 7 B　[因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n⊂β， 所以m∥n，m⊥α时，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，即充分性成立； 若α⊥β，m⊥α，n⊂β，则m∥β或m⊂β， 则m∥n或m与n相交或异面，即必要性不成立， 所以“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N*)，则＋＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 9 C　[因为{an}，{bn}是等差数列，所以＋＝＝＝＝，又＝(n∈N*)， 所以＋＝＝＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．(2025·河北石家庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(B－A)＝，＝b2－a2，则sin C的值为(　　) A．　 B．　 C．　 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 11 C　[因为＝b2－a2， 由余弦定理可得＝(a2＋c2－2accos B)－a2＝c2－2accos B， 所以c＝4acos B，由正弦定理可得4sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以cos Asin B＝3sin Acos B，① 所以sin(B－A)＝cos Asin B－sin Acos B＝，② 联立①②，可得sin Acos B＝，故sin C＝4sin Acos B＝4×＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．(2025·广东佛山二模)已知球O的表面积为12π，球面上有A，B，C，D四点，DA，DB，DC与平面ABC所成的角均为，若△ABC是正三角形，则AB＝(　　) A．　 B．　 C．2　 D．3 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 13 D　[由题意，三棱锥D-ABC为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为R， 因为球O的表面积为4πR2＝12π，所以R＝，设AB＝t，即正三角形ABC的边长为t， 如图，取AB的中点H，连接DH，CH，作DE⊥CH， 根据正三棱锥的性质可知球心O在DE上， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 根据线面角的定义知∠DCE＝，则DE＝CE，因为OD＝OC＝，CE＝CH＝×AB＝t，所以OE＝DE－DO＝CE－R＝t－，在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋EC2，所以3＝＋，解得t＝3或t＝0，即AB＝3． (若球心O在DE的延长线上时，3＝＋，求得t＝3，此时AB＝3)] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．(2025·四川巴中三模)已知函数 f (x)及其导函数 f '(x)的定义域均为R，记g(x)＝f '(x)，若 f (2x＋1)与g(x＋2)均为偶函数，则下列选项错误的是(　　) A．g(i)＝0 B．f (x)和g(x)是周期为4的周期函数 C．g(x＋1)为奇函数 D．f (x)的图象关于点(2，0)对称 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 16 D　[因为g(x＋2)为偶函数，所以g(－x＋2)＝g(x＋2)，即g(x)＝g(4－x)，所以函数g(x)的图象关于x＝2对称，则g(1)＝g(3)， 又f (2x＋1)为偶函数，所以f (－2x＋1)＝f (2x＋1)，即f (x)＝f (－x＋2)，两边求导得f '(x)＝－f '(－x＋2)， 即g(x)＝－g(2－x)，g(x)的图象关于(1，0)对称， 则g(x＋1)的图象关于原点对称，g(x＋1)为奇函数，故C正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 g(1)＝0，g(0)＝－g(2)， 由以上分析，得g(4－x)＝－g(2－x)， 即有g(x＋2)＝－g(x)， 即g(x＋4)＝－g(x＋2)＝g(x)，且g(x＋2)＋g(x)＝0， 所以g(x)是周期为4的函数，g(1)＋g(3)＝0， 故g(i)＝506[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＝g(1)＝0，故A正确； 对于B，由于g(－x＋2)＝g(x＋2)，则f (x＋2)＝－f (－x＋2)＋c， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由于f (x)＝f (－x＋2)， 故f (x＋2)＝－f (－x＋2)＋c＝－f (x)＋c， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＋c＝－[－f (x)＋c]＋c＝f (x)，因此f (x)是以4为周期的周期函数，B正确； 对于D，由于g(x)＝g(4－x)，则f (x)＝－f (4－x)＋d，故f (x)的图象关于对称，由于d不一定为0，故D错误．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·山西晋城二模)已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则(　　) A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为π C．该圆锥的侧面积为π D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为π 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 20 ABD　[设该圆锥的母线长为l，如图所示， 因为轴截面SAB是面积为1的直角三角形，即∠ASB为直角， 所以l2＝1，解得l＝，A正确； 设该圆锥的底面圆心为O，在△SAB中，SA＝SB＝，所以AB＝2， 则圆锥的高SO＝1，所以该圆锥的体积V＝π×12×1＝π， 侧面积为πrl＝π×1×＝π，B正确、C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则α＝2π×1， 所以α＝π，D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．(2025·海南海口模拟)已知函数 f (x)＝sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，g(x)＝sin，则(　　) A．f (x)的最小正周期为π B．f (x)的图象关于点对称 C．将g(x)的图象向左平移个单位长度可得到 f (x)的图象 D．f (x)与g(x)的图象关于y轴对称 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 22 AD　[对于A，因为相邻对称轴之间的距离为，故最小正周期为＝2×＝π，故A正确； 对于B，由A可得ω＝2，故f (x)＝sin， 而f ＝sin＝－≠0，故f (x)的图象不关于点对称，故B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C，将g(x)的图象向左平移个单位长度后， 所得图象对应的解析式为y＝sin＝sin＝ －sin≠f (x)，故g(x)的图象向左平移个单位长度得不到f (x)的图象，故C错误； 对于D，g(x)＝sin＝－sin， 而f (－x)＝sin＝－sin＝g(x)， 所以f (x)与g(x)的图象关于y轴对称，故D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．(2025·湖南长沙三模)已知函数 f (x)＝x2＋ax－bln x，则下列说法正确的有(　　) A．当a＝1，b＝1时，曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y＝2x B．当a＝0时，f (x)有极小值 C．若x>0时，f '(x)(x－1)≥0恒成立，则f (x)在(1，＋∞)上单调递增 D．若x>0时，f '(x)(x2－3x＋2)≥0恒成立，则f (x)的极小值为－8＋4ln 2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 25 ACD　[对于A，当a＝1，b＝1时，f (x)＝x2＋x－ln x， 则f (1)＝2，且f '(x)＝2x＋1－， 则k切＝f '(1)＝2，故曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x，故A正确； 对于B，当a＝0时，f '(x)＝2x－＝，当b≤0时，恒有f '(x)>0， 此时函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故没有极值，即B错误； 对于C，当x∈(1，＋∞)时，由题设易得f '(x)≥0，即函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，故C正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于D，f '(x)＝2x＋a－＝，因为x>0时，f '(x)(x2－3x＋2) ≥0恒成立， 故f '(x)＝0与方程x2－3x＋2＝0有相同的根，即2x2＋ax－b＝0的两个实数根为1，2， 由可得a＝－6，b＝－4，故f (x)＝x2－6x＋4ln x， 则f '(x)＝2x－6＋＝＝， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由f '(x)>0，得0<x<1或x>2，由f '(x)<0，可得1<x<2， 故f (x)在(0，1)和(2，＋∞)上单调递增；在(1，2)上单调递减， 故函数 f (x)在x＝1处取得极大值 f (1)＝－5<0，在x＝2处取得极小值 f (2)＝－8＋4ln 2，故D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．(2025·甘肃武威一模)命题“∃x∈[1，4]，使x2＋x－2>0成立”的否定是_______________________________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∀x∈[1，4]，x2＋x－2≤0　[命题“∃x∈[1，4]，使x2＋x－2>0成立”的否定是“∀x∈[1，4]，x2＋x－2≤0”．] ∀x∈[1，4]，λx2＋x－2≤0 29 13．(2025·湖南长沙模拟)等比数列{an}的前n项和记为Sn，若an>0，S3＝3，S12＝65S6，则S9＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 219　[设数列{an}的首项为a1，公比为q． 因为S12＝65S6，所以S12＝S6＋S6·q6＝(1＋q6)S6＝65S6， 因为an>0，所以q>0，所以S6≠0． 所以q6＋1＝65⇒q6＝64， 所以q3＝8． 于是S9＝S3·(1＋q3＋q6)＝3(1＋8＋64)＝219．] 219　 30 14．(2025·辽宁鞍山一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，4S＋3a2＝3b2＋3c2，则的取值范围为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1，10)　[由4S＋3a2＝3b2＋3c2，则3b2＋3c2－3a2＝2bcsin A， 故cos A＝＝sin A， 由A是△ABC的内角，则tan A＝3， 　 (1，10)　 31 所以sin A＝，cos A＝， 由正弦定理得，＝＝＝， 由△ABC是锐角三角形， 所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝>0且tan B>0， 解得tan B>， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令x＝tan B>，设g(x)＝＝10－， 当x>时，g(x)单调递增，故g(x)>g＝1， 而g(x)<10，故1<g(x)<10．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2025·河北石家庄一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5＝25． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝3nan，求数列{bn}的前n项和Tn． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 34 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1． (2)由(1)得bn＝3nan＝(2n－1)·3n， 所以Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－3)·3n-1＋(2n－1)·3n，① 3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－3)·3n＋(2n－1)·3n+1．② ①－②，得－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n+1＝3＋－(2n－1)·3n+1＝(2－2n)·3n+1－6． 所以Tn＝(n－1)·3n+1＋3． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)(2025·山西大同三模)已知f (x)＝sin x(sin x＋cos x)． (1)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间； (2)设a∈[0，π]，若函数y＝f (x)和y＝f (x＋a)在有相同的最大值，求a的取值范围． [解]　(1) f (x)＝sin x(sin x＋cos x)＝＋sin 2x＝sin＋，所以函数f (x)的最小正周期为T＝＝＝π． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f (x)的单调递增区间为，k∈Z． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当x∈，得－≤2x－≤， 所以y＝f (x)在上的最大值为， 则y＝f (x＋a)＝sin＋在上的最大值也是． 由2(x＋a)－＝2kπ＋，k∈Z，得a＝kπ＋－x，k∈Z， 因为x∈，所以kπ－≤a≤kπ＋，k∈Z， 又a∈[0，π]，所以0≤a≤或π≤a≤π． 综上，a的取值范围为∪． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)(2025·湖南益阳三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，且bcos A－cos B＝1． (1)若C＝，求A； (2)若△ABC是锐角三角形，求△ABC周长的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)由a＝1，可得bcos A－acos B＝a，即sin Bcos A－sin Acos B＝sin A， 所以sin(B－A)＝sin A，则B－A＝A或(B－A)＋A＝π(舍)， 所以B＝2A， 当C＝时，由A＋B＋C＝π，可得A＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由正弦定理可得＝＝， 所以b＝，c＝， b＋c＝＝＝ ＝ ＝2cos A＋cos 2A＋2cos2A ＝4cos2A＋2cos A－1＝4－． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 易知 可得<A<，因此cos A∈， 易知4－在上单调递增，所以b＋c∈(1＋，2＋)，可得周长范围为(2＋，3＋)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)(2025·天津和平区三模)如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝3，E，H分别是B1C1，BC延长线上的点，且CB＝CH，C1B1＝C1E． (1)求平面ABB1A1与平面BD1E的夹角的正弦值； (2)求直线B1H与平面BD1E所成角的正弦值； (3)求点A到平面BD1E的距离． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，所以AA1⊥底面ABCD，又因为AB⊥AD， 所以以A为坐标原点，AB，AD，AA1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)， D1(0，2，3)，H(2，4，0)，E(2，4，3)， 所以＝(－2，2，3)，＝(0，4，3)， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 易知平面ABB1A1的一个法向量为n1＝(0，1，0)， 设平面BD1E的法向量为n2＝(x，y，z)， 则 令z＝4，则y＝－3，x＝3， 所以平面BD1E的一个法向量为n2＝(3，－3，4)， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设平面ABB1A1与平面BD1E的夹角为θ， 则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝＝＝， 所以平面ABB1A1与平面BD1E的夹角的正弦值为sin θ＝＝＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)可得B1(2，0，3)，所以＝(0，4，－3)， 设直线B1H与平面BD1E所成的角为α， 所以sin α＝|cos<，n2>|＝＝＝， 所以直线B1H与平面BD1E所成角的正弦值为． (3)由(1)可得＝(2，0，0)，则A到平面BD1E的距离为＝＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)(2025·广东广州三模)已知函数f (x)＝ln(x＋1)－ax－a2． (1)当a＝4时，求曲线f (x)在(0，f (0))处的切线方程； (2)讨论函数f (x)的单调性； (3)若f (x)存在极大值，且极大值不大于－3－ln 2，求实数a的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)当a＝4时，f (x)＝ln(x＋1)－4x－16，f '(x)＝－4， 则f (0)＝ln 1－16＝－16，f '(0)＝－4＝－3，所以切线方程为y＋16＝－3(x－0)，化简得3x＋y＋16＝0． (2)由f (x)＝ln(x＋1)－ax－a2，可得f '(x)＝－a，则x＋1>0，即函数定义域为(－1，＋∞)， 当a≤0时，f '(x)＝－a>0恒成立， 所以f (x)在(－1，＋∞)上单调递增． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a>0时，令f '(x)>0，即－a>0，解得x<－1＋， 因为定义域为(－1，＋∞)， 所以－1<x<－1＋；令f '(x)<0，可得x>－1＋， 所以f (x)在上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当a≤0时，f (x)在(－1，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f (x)在上单调递增，在上单调递减． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)由(2)可知当a≤0时，函数无极值点，当a>0时，函数在x＝－1＋处有极大值， 可得f ≤－3－ln 2，代入得ln＋a－1－a2≤－3－ln 2，化简得a2－a＋ln a－2－ln 2≥0， 令g(a)＝a2－a＋ln a－2－ln 2(a>0)，则g'(a)＝2a－1＋＝， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为2a2－a＋1＝2＋>0，所以g'(a)>0，g(a)在(0，＋∞)上单调递增， 因为g(2)＝22－2＋ln 2－2－ln 2＝0，所以a2－a＋ln a－2－ln 2≥0，解得a≥2， 所以实数a的取值范围是[2，＋∞)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $