02 专题逐一通关一 专题2 基本初等函数、函数与方程-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习课件

专题2　 基本初等函数、函数与方程 专题逐一通关一　函数与导数 【例1】　(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝的图象一定经过(　　) A．第一、二象限　 B．第一、三象限 C．第二、四象限　 D．第三、四象限 基本初等函数的图象与性质 √ 专题2　基本初等函数、函数与方程 √ (2)若函数 f (x)＝在区间(－1，2)内单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[0，6]　 B．[－2，0] C．[6，＋∞)　 D．(－∞，0] 专题2　基本初等函数、函数与方程 (1)D　(2)C　[(1)当x＝0时，y＝loga＝－1， 则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限； 当a>1时，函数图象过第一、三、四象限， 所以函数y＝loga的图象一定经过第三、四象限． 专题2　基本初等函数、函数与方程 (2)令g(x)＝(x－a)(x＋2)＝x2＋(2－a)x－2a， 因为y＝在定义域R上单调递减，要使函数f (x)＝在区间(－1，2)内单调递增， 则g(x)＝x2＋(2－a)x－2a在区间(－1，2)内单调递减， 所以≥2，解得a≥6，所以a的取值范围为[6，＋∞)．] 专题2　基本初等函数、函数与方程 【解题技巧】 (1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，要注意底数a的范围． (2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f (x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，不应只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，还要注意t>0这一限制条件． 专题2　基本初等函数、函数与方程 【学完就练1】 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f (x)＝ax与g(x)＝的图象可能是(　　) (2)已知a>1且＝－，则a＝______． A　　　　　　　B C　　　　　　　D √ 64 专题2　基本初等函数、函数与方程 (1)B　(2)64　[(1)因为lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)， 所以ab＝1，所以a＝，所以g(x)＝＝logax， 所以函数f (x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数， 所以函数f (x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性． (2)＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1， 所以log2a＝6，故a＝26＝64．] 专题2　基本初等函数、函数与方程 考向1　函数零点个数的判断 【例2】　若函数f (x)＝x－，则方程[ f (x)]2－f (x)－6＝0的实根个数为(　　) A．3　 B．4 C．5　 D．6 函数的零点 √ 专题2　基本初等函数、函数与方程 A　[由f (x)＝x－＝ 则作出函数f (x)＝x－的图象如图． 由方程[ f (x)]2－f (x)－6＝0，得f (x)＝3或 f (x)＝－2，所以方程 [ f (x)]2－f (x)－6＝0的实根个数为3．] 专题2　基本初等函数、函数与方程 【解题技巧】　函数零点个数的判断方法 (1)直接法：解方程f (x)＝0，确定f (x)零点的个数． (2)利用函数零点存在定理：由f (a)·f (b)<0，再结合函数的性质确定函数f (x)零点的个数． (3)数形结合法：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． (4)换元法：形如f (g(x))的函数，可采用换元法，先令g(x)＝t，求得当f (t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时x的值的个数，确定f (g(x))的零点的个数． 专题2　基本初等函数、函数与方程 考向2　根据函数的零点求参数的值或取值范围 【例3】　若函数f (x)＝|2x－3|－1－m有2个零点，则m的取值范围是________． (－1，2)　[由f (x)＝|2x－3|－1－m＝0，得|2x－3|－1＝m． 设函数g(x)＝|2x－3|－1＝ 作出g(x)的大致图象，如图所示． 函数f (x)＝|2x－3|－1－m有2个零点，即函数g(x)与函数y＝m的图象有两个交点，由图可知，m的取值范围是(－1，2)．] (－1，2) 专题2　基本初等函数、函数与方程 【解题技巧】　利用函数零点的情况求参数的方法 专题2　基本初等函数、函数与方程 √ 考向3　零点的代数式问题 【例4】已知函数 f (x)＝若关于x的方程 f (x)＝m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则的取值范围为(　　) A．　 B．(16，32) C．　 D．(32，48) 专题2　基本初等函数、函数与方程 A　[作出函数y＝f (x)和函数y＝m的图象可知， 假设两个函数的图象共有4个交点A，B，C，D，且横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x1<x2<x3<x4，0<x1<1<x2<2， 由f (x1)＝f (x2)，得|log2x1|＝|log2x2|，则有－log2x1＝log2x2， 所以log2x1＋log2x2＝0，所以x1x2＝1． 由于二次函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4， 则C，D两点关于直线x＝4对称，所以x3＋x4＝8，则＝8x3． 令x2－8x＋13＝0，解得x＝4－或x＝4＋，所以x3∈， 所以＝8x3∈．] 专题2　基本初等函数、函数与方程 【解题技巧】　求零点的代数式取值范围的一般思路 (1)作出函数图象，画出符合题意的等高线． (2)根据函数图象的对称性、函数的性质等求出某些零点的和为定值或积为定值． (3)结合函数图象找出剩余零点xi的取值范围． (4)将代数式转化为关于零点xi的单一变量函数，求出相应函数的值域． 专题2　基本初等函数、函数与方程 【学完就练2】 (1) f (x)＝tan x sin x－sin x－tan x＋1在[0，2π]上的零点个数是(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 (2)已知函数 f (x)＝恰有3个零点，则m的取值范围是________________________． √ (－1，0)∪(0，3)∪(3，4) 专题2　基本初等函数、函数与方程 (3)已知函数 f (x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1<x2<x3<x4，且f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，则x1x2(x3－3)(x4－3)的取值范围是________． (0，27) 专题2　基本初等函数、函数与方程 (1)B　(2)(－1，0)∪(0，3)∪(3，4)　(3)(0，27)　[(1)依题意，f (x)＝tan x sin x－sin x－tan x＋1＝(tan x－1)(sin x－1)， 而x∈[0，2π]，显然x≠且x≠，因此sin x≠1， 由f (x)＝0，得tan x＝1，解得x＝或x＝π，所以f (x)在[0，2π]上的零点个数是2． 专题2　基本初等函数、函数与方程 (2)令f (x)＝＝0，得m＝－x2＋4x或m＝－1． 令g(x)＝－x2＋4x，h(x)＝－1，作出两函数的大致图象，如图所示， 这两个函数图象的交点为(0，0)，(3，3)，因为g(x)max＝4，h(x)>－1， 所以由图可知m的取值范围是(－1，0)∪(0，3)∪(3，4)． 专题2　基本初等函数、函数与方程 (3)作出函数f (x)＝的图象，如图， 因为f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，x1<x2<x3<x4，x1x2＝1， 所以由图可知＝9，x3∈(3，6)， 所以(x3－3)(x4－3)＝(x3－3)(18－x3－3)＝－＋18x3－45， y＝－＋18x3－45在(3，6)内单调递增，所以－＋18x3－45∈(0，27)， 即x1x2(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27)．] 专题2　基本初等函数、函数与方程 【例5】　(多选)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·，其中N0表示氚原有的质量，则下列说法正确的是(　　) (参考数据：lg 2≈0.301) A．t＝12.43log2 B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中氚元素的质量变为原来的 D．若x年后，样本中氚元素的质量为0.4N0，则x>16 函数模型及其应用 √ √ 专题2　基本初等函数、函数与方程 CD　[由题意得N＝，故有＝，左右同时取对数得log2＝－，故得t＝－12.43log2，故A错误； 当t＝24.86时，N＝＝2-2·N0＝N0，故B错误； 当t＝62.15时，N＝＝2-5·N0＝N0，即经过62.15年后，样本中氚元素的质量变为原来的，故C正确； 专题2　基本初等函数、函数与方程 由题意得0.4N0＝，化简得x＝－12.43log2＝ －12.43log2＝－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝ －12.43＝－12.43，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43≈16.44>16，故D正确．] 专题2　基本初等函数、函数与方程 【解题技巧】　已知函数模型解决实际问题，给出的函数解析式中往往含有参数，需要将题中的数据代入函数解析式，求出函数解析式中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值． 专题2　基本初等函数、函数与方程 √ 【学完就练3】 (1)物理学家本·福特提出以下定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb．应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的(　　) (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．5.5倍　 B．6倍 C．6.5倍　 D．7倍 专题2　基本初等函数、函数与方程 √ (2)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n+t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．12　　B．13　　C．14 　　D．15 专题2　基本初等函数、函数与方程 (1)C　(2)D　[(1)由题意，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb，可得P10(1)＝lg 2，P10(9)＝lg ＝lg 10－lg 9＝1－2lg 3， 所以＝≈6.5． 专题2　基本初等函数、函数与方程 (2)由题意知r0＝2.25 g/m3，r1＝2.21 g/m3，当n＝1时，r1＝r0＋(r1－r0) ×30.25+t，故30.25+t＝1，解得t＝－0.25， 所以rn＝2.25－0.04×30.25(n-1)． 由rn≤0.65，得30.25(n-1)≥40，即0.25(n－1)≥，得n≥＋1≈14.33，又n∈N*，所以n≥15， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．] 专题2　基本初等函数、函数与方程 $