01 专题逐一通关一 专题1 函数的图象与性质-【名师导航】2026年高考数学二轮总复习课件

专题1　 函数的图象与性质 专题逐一通关　函数与导数 【例1】　(1)已知函数 f (x)＝则 f (x)的值域为____________． (2)已知函数y＝f 的定义域是[2，4]，则函数g(x)＝的定义域为________． (3)已知函数 f (x)＝则 f ( f (x))<2的解集为_______________． 函数的概念与表示 (0，＋∞) (2，3) (－∞，1－ln 2) 专题1　函数的图象与性质 (1)(0，＋∞)　(2)(2，3)　(3)(－∞，1－ln 2)　[(1)因为f (x)＝ 当x≥1时，f (x)＝x2≥1， 当0<x<1时，函数f (x)＝x＋－5单调递减，故f (x)>f (1)＝0， 综上，函数f (x)的值域为(0，＋∞)． 专题1　函数的图象与性质 (2)因为函数y＝f 的定义域是[2，4]， 所以2≤x≤4，故2≤x＋1≤3， 因为g(x)＝有意义， 所以所以2<x<3， 所以函数g(x)＝的定义域为(2，3)． 专题1　函数的图象与性质 (3)因为当x≥1时，f (x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f (x)＝2ex-1<2， 所以f ( f (x))<2等价于f (x)<1，此时f (x)＝2ex-1，即2ex-1<1，解得x<1－ln 2， 所以f ( f (x))<2的解集为(－∞，1－ln 2)．] 专题1　函数的图象与性质 【解题技巧】 1．函数定义域的求解方法 (1)给出解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (3)已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 2．对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 专题1　函数的图象与性质 √ 【学完就练1】 (1)已知函数y＝f (2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　　) A．(－2，5]　 B．(－2，3] C．[－1，3]　 D．[0，2] (2)(2025·北京平谷一模)已知函数f (x)＝当a＝－1时，f (x)的值域是________，若f (x)有两个极值点，则a的取值范围是________． 　 (0，2) 专题1　函数的图象与性质 (1)A　(2)　(0，2)　[(1)因为函数y＝f (2x－1)的定义域是[－1，3]，所以x∈[－1，3]，2x－1∈[－3，5]， 所以y＝f (x)的定义域为[－3，5]，又因为x＋2>0，即x>－2，所以 －2<x≤5， 所以函数y＝的定义域为(－2，5]． 专题1　函数的图象与性质 (2)由a＝－1，则f (x)＝ 当x≤1时，f (x)＝－x2－x，易知函数f (x)在上单调递增，在内单调递减， 此时f (x)max＝f ＝； 当x>1时，f (x)＝－x－1，易知函数f (x)在(1，＋∞)上单调递减，则 f (x)<－2． 综上可得f (x)∈． 专题1　函数的图象与性质 由题意可设函数f (x)的两个极值点分别为x1，x2，且x1<x2， 由二次函数y＝－x2＋ax在上单调递增，在上单调递减， 一次函数y＝ax－1，当a<0时，在R上单调递减，当a>0时，在R上单调递增， 易知函数f (x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减， 且x1＝，x2＝1，可得0<<1，解得0<a<2．] 专题1　函数的图象与性质 考向1　函数图象的识别 【例2】　(1)函数y＝cos x＋ln x的部分图象大致为(　　) 函数的图象 A　　　　　　　B C　　　　　　　D √ 专题1　函数的图象与性质 √ (2)已知函数 f (x)的部分图象如图所示，则 f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝ B．f (x)＝ C．f (x)＝－ D．f (x)＝－ 专题1　函数的图象与性质 (1)C　(2)C　[(1)因为2<，由余弦函数性质可知cos 2>cos ＝－， 又2>，且函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，得ln 2>＝． 所以当x＝2时，cos 2＋ln 2>－＝0，B，D错误； 又x＝3时，ln 3>1，得cos 3＋ln 3>0，A错误．故选C． 专题1　函数的图象与性质 (2)由奇偶性判断可知， f (x)＝是偶函数，f (x)＝是奇函数，f (x)＝是偶函数，f (x)＝－是奇函数，而函数图象是关于y轴对称，必然是偶函数，所以BD错误； 再当x＝0.01时，可知f (0.01)＝>0，故A错误．故选C．] 专题1　函数的图象与性质 √ 考向2　函数图象的变换及应用 【例3】　(1)已知函数 f (x)＝ 则下列图象错误的是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 专题1　函数的图象与性质 √ (2)(多选)已知函数 f (x)＝ 若x1<x2<x3<x4，且f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)＝k，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1　 B．x3x4＝1 C．1<x4<2　 D．0<k<1 √ √ 专题1　函数的图象与性质 (1)D　(2)BCD　[(1)当－1≤x≤0时，f (x)＝－2x，表示一条线段，且线段经过(－1，2)和(0，0)两点；当0<x≤1时，f (x)＝，表示一段曲线．函数f (x)的图象如图所示． f (x－1)的图象可由f (x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；f (－x)的图象可由f (x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于 f (x)的值域为[0，2]，故f (x)＝| f (x)|，故| f (x)|的图象与f (x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f (|x|)的图象不正确． 专题1　函数的图象与性质 (2)由函数f (x)＝作出其函数图象如图所示， 由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1，故A错误； 当y＝1时，令|log2x|＝1，解得x＝或x＝2，所以<x3<1<x4<2，故C正确； 由f (x3)＝f (x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，故B正确； 由图可知0<k<1，故D正确．] 专题1　函数的图象与性质 【解题技巧】 1．确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． 2．函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． 专题1　函数的图象与性质 √ 【学完就练2】 (1)函数f (x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(　　) A　　　　　 　B C　　　　 　　D 专题1　函数的图象与性质 √ (2)(多选)已知定义在[1，＋∞)上的函数f (x)满足∀x∈[1，＋∞)，2f (x)＝f (2x)，且当x∈[1，2)时，f (x)＝－x2＋3x－2，则下列说法正确的是(　　) A．f (3)＝ B．f (x)在[4，7]上单调递增 C．函数F(x)＝f (x)－a的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，…，若x1＋x2＝6，则a的取值范围为 D．若函数F(x)＝f (x)－a在[3，16]上恰有4个零点，则a的取值范围为 √ 专题1　函数的图象与性质 (1)B　(2)AC　[(1) f (－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x) sin x＝f (x)， 又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C； 又f (1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝>>0，故可排除D． 故选B． 专题1　函数的图象与性质 (2)由题可知，f (3)＝2f ＝2＝，A正确； 由∀x∈[1，＋∞)，2f (x)＝f (2x)可作出f (x)的部分图象，可知f (x)在[4，6)内单调递增，在[6，7]上单调递减，B不正确； 由F(x)＝0，得f (x)＝a，根据函数的对称性可知，当x1＋x2＝6时，可知x1，x2是方程f (x)＝a的两个不同的根，且x1，x2∈(2，4)，根据f (x)的图象可知，a的取值范围为， C正确； 当函数F(x)＝f (x)－a在[3，16]上恰有4个零点时， 根据f (x)的图象可知，a的取值范围为，D不正确．] 专题1　函数的图象与性质 考向1　单调性与奇偶性 【例4】　(1) 若定义在R上的奇函数 f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] 函数的性质 √ 专题1　函数的图象与性质 √ (2)已知 f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，若实数a满足 f ，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 专题1　函数的图象与性质 (1)D　(2)D　[(1)法一：由题意知f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)＝f (0)＝0．当x＞0时，令f (x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x＜0时，令f (x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D． 法二：当x＝3时，f (3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时， f (4－1)＝f (3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D． 专题1　函数的图象与性质 (2)因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减， 所以f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因为2|a-1|>0，f ＝ f ，所以2|a-1|>＝，所以|a－1|>， 即a－1<－或a－1>，解得a<或a>， 所以a的取值范围是．] 专题1　函数的图象与性质 √ 考向2　奇偶性与周期性、对称性 【例5】已知定义域均为R的函数 f (x)，g(x)满足 f (2－x)＋f (x)＝2，g(4－x)＝g(x)，g(2)＝3，若f (x)＝g(2＋x)＋4，则下列说法错误的是(　　) A．f (x)的图象关于y轴对称 B．－8为f (x)的一个周期 C．f (2 023)＝－1 D．＝16 专题1　函数的图象与性质 C　[因为f (x)＝g(2＋x)＋4，所以f (－x)＝g(2－x)＋4，又因为g(4－x)＝g(x)，所以g(2＋x)＝g(2－x)，所以f (x)＝f (－x)，所以f (x)的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为f (2－x)＋f (x)＝2，所以f (－x)＋f (2＋x)＝2，所以f (x)＋f (2＋x)＝2，即f (2＋x)＝2－f (x)， 所以f (4＋x)＝f [2＋(2＋x)]＝2－f (2＋x)＝2－[2－f (x)]＝f (x)，所以T＝4，故B正确； 专题1　函数的图象与性质 在f (x)＋f (2－x)＝2中，令x＝1，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (3)＝ f (－1)＝f (1)＝1，故C错误； 因为g(2)＝3，所以f (0)＝g(2)＋4＝7，所以f (4)＝7，所以f (2)＝2－ f (0)＝－5，f (3)＝f (－1)＝f (1)＝1， 故＝[ f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×5＋f (1)＋f (2)＝(1－5＋1＋7)×5＋1－5＝16，故D正确．] 专题1　函数的图象与性质 【解题技巧】 1．判断具体函数奇偶性的方法 定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．判断抽象函数奇偶性的方法 根据已知条件，对抽象函数进行合理变形，找到f (－x)与f (x)的关系，从而判断抽象函数的奇偶性． 3．函数单调性的判断方法 定义法、图象法、导数法． 专题1　函数的图象与性质 [增值结论]　(1)若f (x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则2|a－b|为f (x)的周期． (2)若f (x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则2|a－b|为f (x)的周期． (3)若f (x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则4|a－b|为f (x)的周期． 专题1　函数的图象与性质 √ 【学完就练3】 (1)定义在R上的函数g(x)满足g(x)＝f (x)＋2x，g(x＋2)为偶函数，函数f (3x＋1)的图象关于点(0，2)对称，则f (27)＝(　　) A．－46　 B．4 C．－50　 D．－4 (2)已知定义在R上的偶函数 f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝2，则满足f (x)＋f (－x)>4的实数x的取值范围为________． (－1，1) 专题1　函数的图象与性质 (1)C　(2)(－1，1)　[(1)因为f (3x＋1)的图象关于点(0，2)对称，有 f (－3x＋1)＋f (3x＋1)＝4，令3x＋1＝t，则f (2－t)＋f (t)＝4，故 f (x)的图象关于点(1，2)对称． 由g(x＋2)为偶函数，得g(2＋x)＝g(2－x)， 则g(x)的图象关于x＝2对称， 因为f (2－t)＋f (t)＝4，所以f (2－t)＋2(2－t)＋f (t)＋2t＝8，即g(2－t)＋g(t)＝8，则g(x)的图象关于点(1，4)对称． 专题1　函数的图象与性质 所以g(x)＋g(2－x)＝8，又g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)＋g(2＋x)＝8，所以g(2＋x)＋g(4＋x)＝8，所以g(x＋4)＝g(x)，所以4为g(x)的一个周期， 因为g(x)的图象关于点(1，4)对称，所以g(1)＝4，故g(27)＝g(4×6＋3)＝g(3)＝g(1)＝4，所以由g(x)＝f (x)＋2x，得f (27)＝4－2×27＝－50． (2)由f (x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，故f (x)在(－∞，0)上单调递增， 又f (1)＝2，故当f (x)>2时，可得x∈(－1，1)．又f (－x)＝f (x)，故f (x)＋ f (－x)>4等价于f (x)>2，故x的取值范围为(－1，1)．] 专题1　函数的图象与性质 $