精品解析：广东工业大学北附教育港澳台联考2025届高三上学期第二次模拟考试数学试卷

中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨､港澳地区､台湾省学生 广工大北附2025届第二次模拟考数学试卷 一､单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可. 【详解】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 2. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 3. 若，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用正弦函数的性质求解. 【详解】解：， 因为，所以，则， 所以，所以在上的最大值为0， 故选：D 4. 已知双曲线C： =1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. +l 【答案】D 【解析】 【分析】 假设已知直线的倾斜角为，根据直线的斜率为，可知，可得，然后根据，可得点坐标，最后代入双曲线方程化简并结合，可得结果. 【详解】设已知直线的倾斜角为 由题可知：， 所以 又，所以，即 所以 又，所以，又 所以 化简可得：， 所以 所以，又，所以 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率，关键在于得到点坐标，考验计算能力，属中档题. 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，求得的充要条件，结合集合之间的包含关系，判断即可. 【详解】根据题意，等价于，解得或； 又是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是定义在上的奇函数，且在时，单调递减，所以在上为减函数，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】易知函数在上为减函数． 不等式可化为， 所以，解得． 故选：A 7. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 8. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 9. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，然后利用三角函数的图像平移得到新的解析式，结合函数为偶函数即可求得的最小正值. 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位得， 由该函数为偶函数可知: ， 即， 当时， ， 所以的最小正值是为. 故选： 【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，三角函数的图象平移，三角函数奇偶性，是中档题. 10. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线的对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 11. 在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先在中利用余弦定理求出的长，进一步可判断为直角三角形，根据直角三角形和直棱柱的性质即可求出球心和半径，由体积公式即可求解. 【详解】 在中，，，， 由余弦定理可得：， 所以， 所以，可得为直角三角形， 所以的中点即为外接圆的圆心， 设的中点为，则的中点即为直三棱柱外接球的球心， 设外接球的半径为，，， 所以， 所以外接球的体积是， 故选：B. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据推出周期为4，再根据奇函数推出时的表达式，再根据周期性推出时的表达式，再用二次函数求最小值. 【详解】由题意知，即， 则， 所以函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，且是定义在上的奇函数， ∴时，， ∴当时，， 所以当时，函数的最小值为． 故选：B． 二､填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 从1，2，3，4，5，6中任取出两个奇数和两个偶数，则可以组成________个没有重复数字的四位偶数.（用数字作答） 【答案】108 【解析】 【分析】由题意可得取出两个偶数和两个奇数，从这两个偶数中取一个放个位，其余3个数全排列即可得答案 【详解】由题意得先从3个偶数中取出2个偶数，从3个奇数中取出2个奇数，然后从取出的2个偶数中取一个放在个位，其余3个数全排列， 所以可以组成个没有重复数字的四位偶数. 故答案为：108 14. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】 【分析】转化条件为，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 15. 不等式的解集是______． 【答案】或. 【解析】 【分析】化简不等式为，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 16. 函数在区间上的最大值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出最大值. 【详解】因为， 所以， 当时，所以在上单调递减， 又，所以在上的最大值为. 故答案为： 17. 已知函数在上具有单调性，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，中，令，求出，从而得到，从而求出答案. 【详解】令，则， 中，令得，故， 显然单调递增，且，故， 所以，. 故答案为：. 18. 已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过B作，且，则或其补角即为异面直线PB与AC所成角由此能求出异面直线PB与AC所成的角的余弦值． 【详解】过B作，且，则四边形为菱形，如图所示： 或其补角即为异面直线PB与AC所成角． 设. ，， 平面ABC， ， ． 异面直线PB与AC所成的角的余弦值为． 故答案为． 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 三､解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用条件将等式齐次化，再比较余弦定理即可得出结果； （2）使用正弦定理得到，再进一步确定，然后用余弦和公式即可. 【小问1详解】 由已知条件和有. 所以由余弦定理可得，因为， 从而. 【小问2详解】 若，则结合正弦定理得. 所以，从而，这得到或. 而，故. 所以 . 20. 已知函数，的图象在点处的切线为． （1）求a，b的值; （2）设，求最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用切线的斜率以及经过的点即可求解， （2）求导得单调性，即可求解最值. 【小问1详解】 ，， 由已知，得 ，解得， ∴函数的解析式为． 【小问2详解】 ，则， 令，则， 当时，，此时单调递减 当时，，此时单调递增， ∴． 21. 已知数列的前项和满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，若成等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1） 由题可知， 因为， 所以时，， 两式相减得， 化简可得，且满足条件， 综上可得，是公差为的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将替换得到新等式，然后分析原式与新等式作差的结果，结合等差数列的定义进行证明即可； （2）先根据条件求解出的通项公式，然后代入的通项，通过裂项先化简，然后用裂项相消法进行求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，解得， 所以， 所以， 所以 所以. 22. 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得求出，从而可求得椭圆的方程， （2）设，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系数的关系求出，由可得，代入进而可求出的值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为. 由题意得 解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由得. 由，解得. 设，，则， 所以， ， 因为，所以， 则，则， 则， 解得：或. 当时，直线过点，则不满足. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨､港澳地区､台湾省学生 广工大北附2025届第二次模拟考数学试卷 一､单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. 若，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 0 4. 已知双曲线C： =1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. +l 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 8. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 9. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 10. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 从1，2，3，4，5，6中任取出两个奇数和两个偶数，则可以组成________个没有重复数字的四位偶数.（用数字作答） 14. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 15. 不等式的解集是______． 16. 函数在区间上的最大值为____________. 17. 已知函数在上具有单调性，且，则_______. 18. 已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______． 三､解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，. （1）求； （2）若，求的值. 20. 已知函数，的图象在点处的切线为． （1）求a，b的值; （2）设，求最小值． 21. 已知数列的前项和满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，若成等比数列，求数列的前项和. 22. 已知椭圆的一个顶点为，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $