微专题03 实数综合题型专项突破（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

微专题03 实数综合题型专项突破 题型一 无理数的大小估算 解题核心为 “夹逼法”，先找到与无理数被开方数相邻的两个完全平方数（或合适的整数），确定无理数所在的整数区间，若需更精确估算，可进一步缩小区间至小数范围，从而得出无理数的近似取值范围。 1．（2024秋•九龙坡区校级期末）估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（2024秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与接近的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024春•铁东区校级月考）若将−，，2，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A．− B．2 C． D． 4．（2024秋•苏州期末）下列整数中，与最接近的是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2 5．（2024秋•南海区期末）估算的值在（　　） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 6．（2024秋•南关区校级期末）估计的值（　　） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 7．（2024春•新罗区校级月考）在与之间的整数之和是 　 　． 8．（2024秋•灌云县月考）已知：，，则a、b的大小关系为：a　 　b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 题型二 无理数整数部分的有关计算 先通过夹逼法确定该无理数介于两个连续整数之间，较小的这个整数就是其整数部分；若需求小数部分，用该无理数减去它的整数部分即可。后续结合题目要求，将整数部分（或小数部分）代入计算，解决相关求值、化简问题。 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 4．已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 5．根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 6．（23-24七年级下·陕西延安·期末）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 题型三 实数与数轴的综合应用 紧扣 “数轴上的点与实数一一对应” 的性质，先根据数轴上点的位置确定实数的正负、大小关系，或根据实数的特征确定其在数轴上的对应点；涉及数轴上两点间距离时，用右边点表示的数减去左边点表示的数，再结合绝对值、二次根式的性质化简计算。 1．（25-26七年级下·全国·周测）如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知A，B，C，D四点在一条没有标明原点和单位长度的数轴上，且． （1）若点A和点C表示的两数互为相反数，则原点为 ． （2）若点B和点D表示的两数的绝对值相等，则原点为 ． （3）若B为原点，点A表示的数为，则点D表示的数为 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 7．（25-26八年级上·重庆万州·月考）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 8．（25-26七年级上·浙江·月考）如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 题型四 实数运算与程序图设计问题 先根据程序图的运算流程，明确实数的输入、运算步骤和输出规则，列出对应的实数运算式子；再按照实数的运算法则（先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）依次计算，若程序图有循环或多次运算要求，按流程逐步代入计算直至得出结果。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京·期中）如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 3．（25-26八年级上·四川乐山·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 8．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 题型五 实数运算与新定义问题 先认真解读题目中的新定义规则，明确新运算的符号、运算方法和适用范围；再将新定义转化为常规的实数运算（加、减、乘、除、乘方、开方），严格按照新规则和实数运算法则进行计算，注意运算顺序和符号的处理。 1．（25-26八年级上·河南开封·期中）现对实数，定义一种运算：．则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）定义关于有理数a，b的新运算：，其中a，b为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A．1 B． C．3 D． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·月考）对实数、定义新运算：例如：，计算：（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南郑州·月考）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，如，则是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记 ，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 7．（25-26七年级下·全国·月考）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 8．（25-26八年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”为，的“最近整数区”为． 材料二：有趣的；，年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)的“最近整数区”是 ；的“最近整数区”是 ； (2)若无理数为正整数）的“最近整数区”为，的“最近整数区”为，求的值； (3)实数，，满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 题型六 与实数运算有关的规律问题 遵循 “特殊到一般” 的思想，先根据题目给出的前几组实数运算实例，准确计算出每组的结果；再分析结果与序号（或运算数）之间的变化规律，用含字母的代数式概括出通用规律；最后验证规律的正确性，再利用规律解决后续的求值、计算问题。． 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 2．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 3．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 8．观察：．．．通过观察，当时，求：的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 实数综合题型专项突破 题型一 无理数的大小估算 解题核心为 “夹逼法”，先找到与无理数被开方数相邻的两个完全平方数（或合适的整数），确定无理数所在的整数区间，若需更精确估算，可进一步缩小区间至小数范围，从而得出无理数的近似取值范围。 1．（2024秋•九龙坡区校级期末）估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C． 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根． 【详解】解：∵25＜27＜36， ∴56， ∴估计的值在5和6之间， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 2．（2024秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与接近的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B． 【分析】直接利用已知得出接近的有理数即可． 【详解】解：∵， ∴与接近的是6． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键． 3．（2024春•铁东区校级月考）若将−，，2，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A．− B．2 C． D． 【答案】C． 【分析】先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论． 【详解】解：是负数，在原点的左侧，不符合题意； 23，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意； ，即23，符合题意；， ，即3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的大小比较；熟练掌握数轴上点的特点，能够准确判断无理数的范围是解题的关键． 4．（2024秋•苏州期末）下列整数中，与最接近的是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2 【答案】A． 【分析】由π﹣4＜0，结合二次根式的性质即可得出，从而可确定最接近的是1． 【详解】解：∵π﹣4＜0， ∴． ∵4﹣π最接近1， ∴与最接近的是1． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握是解题关键． 5．（2024秋•南海区期末）估算的值在（　　） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】C． 【分析】根据，即56，可得． 【详解】解：∵56， ∴61＜7， 故选：C． 【点睛】本题考查的是无理数大小的估算，解题的关键是会用夹逼法进行估算． 6．（2024秋•南关区校级期末）估计的值（　　） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】B． 【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答． 【详解】解：∵49＜56＜64， ∴78， ∴25＜3， ∴估计的值在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 7．（2024春•新罗区校级月考）在与之间的整数之和是 　 　． 【答案】5． 【分析】根据估算和的近似值，可得和之间的所有的整数，再求和即可． 【详解】解：∵22＞3＞12，32＜10＜42， ∴，， ∴与之间的所有的整数为﹣1、0、1、2，3；﹣1+0+1+2+3＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了无理数的近似值，正确估计出无理数的近似值是解题关键． 8．（2024秋•灌云县月考）已知：，，则a、b的大小关系为：a　 　b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【分析】先判断a、b的正负，再比较它们的大小． 【详解】解：∵12， ∴a1＞0， ∵23， ∴b＝20， ∴a＞b， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小． 题型二 无理数整数部分的有关计算 先通过夹逼法确定该无理数介于两个连续整数之间，较小的这个整数就是其整数部分；若需求小数部分，用该无理数减去它的整数部分即可。后续结合题目要求，将整数部分（或小数部分）代入计算，解决相关求值、化简问题。 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算．先计算，确定的范围，从而得到整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为6， ∴ 小数部分为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键． 先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出、、的值是解此题的关键． 根据算术平方根和立方根定义得出，，求出、的值，再估算出的大小，求出的值，计算的值，最后根据平方根的定义求出即可． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是4， ，， 解得，， ∵， ∴， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 5．根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案；（2）利用再求出小数部分和整数部分即可解得． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是. （2）解： 的小数部分， ， ，得整数部分， 【点睛】本题考查了用“夹逼法”求算术平方根的整数部分和小数部分，并进行算术平方根的运算，掌握求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． 6．（23-24七年级下·陕西延安·期末）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，，则的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，利用算术平方根正确的估算无理数在哪两个连续整数之间，进而确定整数部分和小数部分是解题的关键． （1）先根据的整数部分为的整数部分为，求出，，然后求出，最后求出结果即可； （2）根据整数部分是3，得出，再根据，是整数，且，求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ∴整数部分是3，即， 同理的整数部分是6，， ， 的立方根为． （2）解：∵整数部分是3， ，是整数，且， ，， ∴． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求出的取值范围即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出和的取值范围，进而确定a、b的值，再代值计算即可； （3）估算出的取值范围，进而确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为，的整数部分为1， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为9，小数部分为， ∴， ∴ ． 题型三 实数与数轴的综合应用 紧扣 “数轴上的点与实数一一对应” 的性质，先根据数轴上点的位置确定实数的正负、大小关系，或根据实数的特征确定其在数轴上的对应点；涉及数轴上两点间距离时，用右边点表示的数减去左边点表示的数，再结合绝对值、二次根式的性质化简计算。 1．（25-26七年级下·全国·周测）如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴、绝对值等知识，解题的关键是理解题意． 根据数轴上点的位置关系以及可知与互为相反数，再结合的值和求出的值，进而得到的值． 【详解】解：∵，且从数轴上可知，， ∴与互为相反数，即， ∵，，且， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴上的点的关系，求出圆的周长是解题的关键．求出圆的周长，根据数轴与实数的一一对应关系解答即可． 【详解】解：∵直径为1的圆的周长为，A点在数轴上表示的数是1， A点沿数轴向左滚动一周后到达点B， ∴点B表示的数为． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知A，B，C，D四点在一条没有标明原点和单位长度的数轴上，且． （1）若点A和点C表示的两数互为相反数，则原点为 ． （2）若点B和点D表示的两数的绝对值相等，则原点为 ． （3）若B为原点，点A表示的数为，则点D表示的数为 ． 【答案】 点B 点C 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的性质，数轴上两点之间的距离，合并同类二次根式等知识点， 对于（1），根据相反数到原点的距离相等可得答案； 对于（2），根据两个数的绝对值相等是指它们对应的点到原点的距离相等得出答案； 对于（3），先求出，进而得出，可得答案． 【详解】解：（1）因为点A和点C表示的两个数互为相反数，且， 所以点B是原点； （2）因为点B和点D表示的两个数的绝对值相等，且， 所以点C是原点； （3）点B为原点，点A表示的数是， 所以． 因为， 所以， 则， 所以点D表示的数是． 故答案为：（1）点B；（2）点C；（3）． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是3． 【分析】（1）根据A点表示的数及平移的方向与距离，列出算式求出B点表示的数； （2）先根据绝对值、算术平方根的非负性，求出c、d，再代入，求出的算术平方根． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是， 即的算术平方根是3． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，求一个数的算术平方根，利用算术平方根的非负性解题，实数与数轴，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算． （1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值； （2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2． 7．（25-26八年级上·重庆万州·月考）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 8．（25-26七年级上·浙江·月考）如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、数轴上点的表示、绝对值的化简、非负数的性质及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）是解题的关键． （1）根据正方形面积求边长，结合数轴上点的位置确定点、表示的数； （2）①根据蚂蚁爬行的速度、时间得到移动距离，结合点表示的数表示出点的数； ②代入的值得到，再计算绝对值表达式的值； （3）利用非负数的性质（算术平方根与绝对值的非负性）列方程，求解、后计算的平方根． 【详解】（1）解：∵面积为的正方形边长为，点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∵面积为的正方形边长为，点在原点右侧， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点表示，蚂蚁向右爬了个单位， ∴． ②当时，； ∵，， ∴． （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，① 且．② 解①得，则， ∴； 解②得，则， ∴． ∴， ∴的平方根为． 题型四 实数运算与程序图设计问题 先根据程序图的运算流程，明确实数的输入、运算步骤和输出规则，列出对应的实数运算式子；再按照实数的运算法则（先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）依次计算，若程序图有循环或多次运算要求，按流程逐步代入计算直至得出结果。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 2．（25-26七年级上·北京·期中）如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 3．（25-26八年级上·四川乐山·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．根据流程图分别代入计算，根据计算结果判断即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴的倒数为， ∴， 故选：A． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，结合算术平方根和平方根按照程序计算即可． 【详解】解：取算术平方根为， 不是无理数， 取的平方根为，是有理数， ，故无平方根，舍去， 再取的算术平方根，而的算术平方根为是无理数， 输出值． 故选：A． 5．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 8．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 题型五 实数运算与新定义问题 先认真解读题目中的新定义规则，明确新运算的符号、运算方法和适用范围；再将新定义转化为常规的实数运算（加、减、乘、除、乘方、开方），严格按照新规则和实数运算法则进行计算，注意运算顺序和符号的处理。 1．（25-26八年级上·河南开封·期中）现对实数，定义一种运算：．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）定义关于有理数a，b的新运算：，其中a，b为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据可推出，再根据，即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·月考）对实数、定义新运算：例如：，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据新定义的运算，分别计算 和 ，然后求它们的乘积． 【详解】解：， ， ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级上·河南郑州·月考）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，如，则是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】D 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、新定义运算法则等知识点，理解新定义的运算规则是解题的关键． 根据新定义运算法则以及含乘方的有理数法则计算即可． 【详解】解： ． 故选D． 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记 ，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【答案】(1)0 (2)5 (3)是关于7的对称数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，根据x、y都是有理数，得到，据此求出x、y的值，进而计算与的值，再根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得； （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数． 7．（25-26七年级下·全国·月考）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 【答案】（1）①  ②  （答案不唯一） （2）  2 （3）或 【分析】（1）① 根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”满足，求的另一个整数解； ② 同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于； （2）“平方和数” 为，意味着两个数的平方和为，根据平方的非负性，这两个数必须都为，从而列方程求解； （3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解方程得到的值． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴数，的另一个“平方和数”为． ②∵，且， ∴还可以是数，的“平方和数”． （2）解：（2）由题意得 ∵平方数具有非负性， ∴， 要使两个非负数的和为，必须两个数都为： 解得 ：，． （3）解：（3）根据题意，得 当时，； 当时，． ∴或． 【点睛】本题考查了平方和数的定义、平方的非负性、解一元二次方程．解题关键是准确理解“平方和数”的定义，利用平方的非负性和方程思想求解． 8．（25-26八年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”为，的“最近整数区”为． 材料二：有趣的；，年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)的“最近整数区”是 ；的“最近整数区”是 ； (2)若无理数为正整数）的“最近整数区”为，的“最近整数区”为，求的值； (3)实数，，满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料一的定义求出最近整数区； （2）利用最近整数区求出，的取值范围，得出的具体值，求出结论； （3）先根据，得出，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“最近整数区”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， 的“最近整数区”是， ， 的“最近整数区”是， 故答案为：，； （2）解：最近整数区为 ， 最近整数区”为， ， ， ， 为正整数， ， ； （3）解：，，得出， ， ① ② ②①，得， ， ， 的算术平方根是， ， 的算术平方根的“最近整数区”是． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根、不等式、无理数估值、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“最近整数区”的定义． 题型六 与实数运算有关的规律问题 遵循 “特殊到一般” 的思想，先根据题目给出的前几组实数运算实例，准确计算出每组的结果；再分析结果与序号（或运算数）之间的变化规律，用含字母的代数式概括出通用规律；最后验证规律的正确性，再利用规律解决后续的求值、计算问题。． 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 3．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 4．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 8．观察：．．．通过观察，当时，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，根据题意可得（n为正整数）；由非负性的性质可求出，则原式变形为，再裂项求解即可． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推，可知（n为正整数）； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $