学易金卷：高一数学下学期第一次月考01（江苏专用，范围：苏教版2019必修第二册第9～10章）

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9~10章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 2．的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．-1 D． 5．已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 8．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，若，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 13．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则 ． 14．如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 16．（15分） 如图，在平面直角坐标系中，锐角以为始边，终边与单位圆交于点，将角的终边绕点逆时针旋转交单位圆于点．已知点的横坐标为． (1)求的值； (2)求点的横坐标． 17．（15分） 如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 18．（17分） 已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若，，求的值； (3)当时，函数的最大值为，求m的值. 19．（17分） 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． (1)求向量，的仿射坐标； (2)当时，求； (3)设，若对恒成立，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9~10章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值. 【详解】向量，，则 因为， 所以， 故选：D 2．的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由两角差正弦公式结合题意可得答案. 【详解】. 故选：A 3．已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 4．若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简得，根据正弦型函数的对称性，求得的表达式，进而求得的值. 【详解】函数. 令，则，则. 故选：D. 5．已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【详解】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A    6．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值. 7．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 8．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出，从而求出，再由即可求出，最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解. 【详解】一方面由题意，且注意到， 联立得，解得， 所以， 另一方面不妨设，且， 所以有，解得或（舍去），即， 由两角和的正切公式有， 所以 . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】ACD 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、判断A、B，进而确定三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D. 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 11．已知，若，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【分析】根据向量线性运算及相等的条件可得，再利用三角恒等变形可得，继而可判断各项. 【详解】，，故A正确； ， ，即， 相加得， 解得， ， ，故BC错误； , 在上的投影向量为,故D正确； 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【答案】 【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可. 【详解】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 13．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式，方程可变形为，其中锐角满足，，则有，结合倍角公式求解即可. 【详解】， 其中锐角满足，， 方程在上有两个不同的实数解， 即方程在上有两个不同的实数解， 不妨设，由， 得，，， 所以. 故答案为： 14．如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 16．（15分） 如图，在平面直角坐标系中，锐角以为始边，终边与单位圆交于点，将角的终边绕点逆时针旋转交单位圆于点．已知点的横坐标为． (1)求的值； (2)求点的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可求 出， 然后利用诱导公式化简计算即可； （2）由两角和的余弦公式可得答案. 【详解】（1）由题意知A，所以，．        因为 ， ，. 所以 （2）由题意知点B的横坐标为，   因为 . 所以点B的横坐标为. 17．（15分） 如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得，利用二次函数性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以， 故当时，取到最小值． 18．（17分） 已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若，，求的值； (3)当时，函数的最大值为，求m的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递减区间. （2）由（1）中函数求得，确定的范围求出，再利用和角的余弦公式计算得解. （3）利用二倍角公式，结合换元法，借助二次函数由最大值求出. 【详解】（1）依题意，函数， 由，得， 所以函数的单调减区间为. （2）由（1）得， 解得，由，得， 当时，，当时， ，因此，， 所以 . （3）由（1）得， 当时，，令， 函数， 依题意，函数在上的最大值为， 当时，，，不符合要求； 当时，，，不符合要求； 当时，，，则， 所以. 19．（17分） 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． (1)求向量，的仿射坐标； (2)当时，求； (3)设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【详解】（1）由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． （2）当时，，，， 所以， ， ， 所以． （3）， ，     ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A D A A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．16 13． 14．4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则；（6分） （2）因为， 又， 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意知A，所以，．        因为 ， ，. 所以（8分） （2）由题意知点B的横坐标为，   因为 . 所以点B的横坐标为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为，，， 所以，化简为．（3分） （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以解得．（9分） （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以， 故当时，取到最小值．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）依题意，函数， 由，得， 所以函数的单调减区间为.（4分） （2）由（1）得， 解得，由，得， 当时，，当时， ，因此，， 所以 .（10分） （3）由（1）得， 当时，，令， 函数， 依题意，函数在上的最大值为， 当时，，，不符合要求； 当时，，，不符合要求； 当时，，，则， 所以.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为．（4分） （2）当时，，，， 所以， ， ， 所以．（10分） （3）， ，     ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) AM e 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ……… ………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○ ……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册第9~10章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 2．的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．-1 D． 5．已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 8．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，若，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 13．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则 ． 14．如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 16．（15分） 如图，在平面直角坐标系中，锐角以为始边，终边与单位圆交于点，将角的终边绕点逆时针旋转交单位圆于点．已知点的横坐标为． (1)求的值； (2)求点的横坐标． 17．（15分） 如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 18．（17分） 已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若，，求的值； (3)当时，函数的最大值为，求m的值. 19．（17分） 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． (1)求向量，的仿射坐标； (2)当时，求； (3)设，若对恒成立，求的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $