压轴01 期末真题·向量·百练通关（60题4大压轴题型）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦向量压轴难点，4大题型60道期末真题，以题载知，系统覆盖三角形四心、共线定理及几何最值，强化数学眼光与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形四心问题|15题|结合奔驰定理，考查重心、内心等向量表示|从四心概念到向量表达，构建几何性质与向量运算的关联| |共线定理应用|15题|三点共线参数关系及最值求解|以共线条件为核心，推导参数关系，培养数学思维| |线性运算最值|15题|向量分解与几何图形中的范围问题|通过线性运算转化，建立代数与几何的联系| |向量几何最值|15题|结合图形（正方形、梯形等）求最值|运用向量语言表达几何关系，提升数学表达能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴01期末真题·向量·百练通关(60题4大压轴题型) 真题实战·百练通关 题型1三角形四心问题 题型3向量线性运算解决最值和范围问题 题型2共线定理的结论应用 题型4向量与几何最值问题 题型1三角形四心问题（共15小题） 1.(2425高一下江苏南京·期末)（多选）已知△ABC,O、H分别为该三角形的外心、垂心，则下列 结论正确的是() 33 A.若A(0,2),B(,0),C(2,-),则BA在BC上的投影向量的坐标为22 B.“BCcos A=ACcos B”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件 C.若AB=1AC-2C=7,则丽40-月 D若2m+3丽+4m-0,测n∠BAc= 5 2.(2425高一下江苏苏州期末)（多选）如图，P为△ABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为 a,b,c总有优美等式S.PA+-S.pPB+SPC=0 成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰 定理，则以下正确的命题为() A,若P是△1BC的重心，则有PA+PB+P元=0 B.若aP+bPB+cPC= 0成立，则P是△1BC的内心 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.老P是BC的外心，4-子P所=m丽+C,则m+n的绿小位是-万 D.者亚-号丽+号c,则5m5=25 3.(24-25高一下·江苏无锡期末)（多选）已知P为△ABC所在的平面内一点，则下列命题正确的是 () A若P为△MBC 的垂心， 孤C=2,则那B=2 B.若O为平面内任意一点，OP=(Oi1+OB+0C),则点p为6MBC的重心 C.者P=2(B+AC)Ae[D,+0）,则动点P的轨迹经过△ABC的内心 ,则AB=BC D.若P为锐角△4BC的外心，P=x亚+)aC且x+2y=1则 4.(24-25高一下·江苏扬州期末)（多选）设点P在△ABC所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三 角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是() A.PG=p+P丽+PC) B.若2+3孤+4hC=0,则os∠4HB=-号 7 C.若1aH05H001且40a+30丽+20C-0,则05.0c=-} D.若= AB AC AB cos B AC|cosC 2∈R),则AABC为等腰三角无形 5.(24-25高一下·江苏宿迁·期末)如图，延长△ABC的边AB至点P,边BC至点Q,边CA至点R,使 得线段4RB0、CR的长分别为4B、BC、CA的2(eN≥2)倍，我们将POR称为△ABC的变 换三角形” 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ()当=3时，若AB=3,BC=4,AC=5,求PR的长： (2)若△ABC是边长为2的等边三角形，点M为其“2变换三角形”中线段AP上的动点，求 RM-OP)MC 的最大值： (3)设点G为△ABC的重心（三角形的三条中线的交点），证明： GR+GP+GO=0 6.(2425高一下江苏盐城期末)已知点P是△ABC的重心，则() A.AP-148+1AC 6 6 ￥3 7.(2425高一下·江苏无锡·期末)（多选）点O是△ABC所在平面内的一点，下列说法正确的有() A.老+0丽+0c-0,别°为a4c 的重心 B.若O1+0-(O丽+0C)BC-0,则点0为△1BC的垂心 C.若OA·OB=OB.OC=OC·OA,则点O为△ABC的外心 AB AC BA BC 1 D.在 中，向量 AB AC 6CE0电EABC2● 为等边三角形 △ABC △ABC 8.(2425高一下江西南昌·期末)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若aBOC、△AOC、△AOB 的面积分别记为5、S、5,则S01+S0丽+S,0c=0 奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的 结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的og0很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，己知O 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是△1BC的内心，AB8,且满足 20A+30B+40C= ,设△ABC的内切圆半径为”，外接圆半径为R, 则R=() B 3 V15 1 5 A.16 B.16 C.4 D.16 9.(2425高一下·山东期末)（多选）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平 面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联它的 具体内容是：已知M是△AB C内一点，△BMC,△AMC△AMB 为5，s,9,且 的面积分别为“， SA·MA+SB·MB+Se·MC=0 以下命题正确的有() Sc SB M SA B 4:Sa:Sc=1:1:1 A.若 则M为△ABC 的重心 B.若M为△A C的内心，则BC-M+AC-M历+ABMC=0 C.若∠B1C=45”，,∠BC=60°，M为△48C的外心，则5，：S,:S.=5:21 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D。若M为AABC的，3+4B+5C-0,乙B6 6 10.(24-25高一下·江苏期末)已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足 0p=OA+入 AB AC Bco8 ccosc'e0+)切则，点的轨迹一定通过。HBcC的（） △ABC A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 1.(24-25高-下-江苏期未)若G是△1BC的重心，且4G=2G+1C(2“为实数)，则2+W= () A B.3 C.1 D. 12.(24-25高一下江苏期末)（多选）记0是△ABC的外接圆，且AB=6,AC=4, 1840=84B+3AC ,则() 2A0=0B+0C B.A0.B=18 4V21 C.△ABC的面积为6W3 D.圆O的周长为3元 NP,O在△1BC 13.(24-25高一下江苏·期末)已知 所在平面内，满足 4+NB+NC=0,且 OA AB CA =OB BA CB BC CA PA.PB=PB.PC=PC.PA BA CB 8c十C=0,则点 N,P,O △ABC 依次是 的() A.垂心，外心，内心 B.重心，外心，内心 C.重心，垂心，外心 D.重心，垂心，内心 AC AB 14.(24-25高一下·江苏·期末)点在 所在的平面内，若OA AC AB (元≠0)，则直线 O△ABC A 5/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一定经过△ABC的 ·（填：重心、内心、外心或垂心) 中，若00=0A+元 AB AC 15.(24-25高一下江苏期末)在 △ABC AB AC 1e0,w)则g点的轨迹 必经过△ABC的() A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 题型2共线定理的结论应用（共15小题） 16.(24-25高一下江苏期末)（多选）已知△ABC中， BAC=B-AC=2,点P为边BC上的动 点，满足=丽+“C(2,“为实数)，则下列说法正确的有《) A.△ABC的面积的最大值为V5 B.当P为BC中点时，丽=5 若ABP的面积为A4BC面积的3，则子D,若B4C:60,则P:BC的最小值为一 17。（24-25高-下江苏期未)在平行四边形4BCD中，∠BD= 号，E,F分别是线段BC,AE的中点， 延长DF交4AB于点片，且D丽.D正=5+1，则平行四边形4BCD 面积的最大值为 18.(24-25高一下江苏连云港期未)如图，在体积为1的三棱锥A-BCD的侧棱AB,AC,AD上分别取 点E,F,G,使AE:EB=AF:FC=1:L,AG:GD=2:1.记O为平面BCG、平面CDE、平面DBF的交点， 则三棱锥O-BCD的体积等于 19.(2025:江苏扬州模拟预测）设实数“6>0，在△1BC中，D为8C上一点， AD=aAB+bAC 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 则。+方的最小值为() A.2V② B.4 C.2+2V2 D.2 20.(24-25高一下江苏期末)已知9,9是两个不共线的向量，若1C=G+26,C丽=-58+6C, BD=7G-28,则4B,CD中共线的三点是() A.A,C,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,B,D 2L.(25-26高-下江苏扬州期中)（多选）在△18C中，AB=1,4C=2.∠BAC=120°C正-2ED O。△ABC 是 内一点，且满足 0c+20B+m01=0m>0) ),则下列说法正确的是() 3 B.正在c方向上的投影句量为写4C 1 C,O、AE三点一定共线 D.OA.0元+20A.0丽的最小值为3 2.(24-25高-下江苏南京期末)《多选)在△1BC中，点0在BC上，且 C0=20B 0 过点的直线 AB,AC 分别交直线 于不同的两点 .N,若=m,C=nNm>0A≥0 MN ,则() A.2m+n=3 B.4m2+n的最小值为9 1+3m 6 1,1 3+2√2 C.m”n的最小值为3 D.m+2'n+1的最小值为8 2.(2425有一下江苏南京期末)已知P是6BC肉一点，亚-历+}元.若0=2派C, 2e0,D,且B,P,Q三点共线，则的值为 ,若3,4C5,向量西在向量 AC上的投影向量为34C,则P,BC= 24.(24-25高一下·江苏期末)已知O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点，动点P满足 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OP=[2-22)oD+1+22)Oc]2eR),则点p的轨迹一定过AABC的() A.内心 B.外心 C,垂心 D.重心 25.（24-25有-下江苏宿迁期未)已知点0为△48C的外心，且向量40=2B+0-)4C,元eR. 若向量B网在向量BC上的投影向量为BC,则cosB的值为 26.（24-25高-下江苏期末)平面内有4、B、C、D四点，任意三点不共线，AB=3且征=2历 若CE,DE分别是∠ACB、∠ADB的角平分线，线段CD的最大值为 27.(24-25高一下江苏南京期末)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,点E是线段OD的 中点，证的延长线与CD交于点F,若4C=石，D=6,且下=a+测2+H=() D A.1 B.4 c D.2 28。(2425高-下江苏期末)已知△48C中，4B=4,4C=2,且以B+2-21GdeR)的最 小值为25，若P为边4B上任意一点，则PB-PC的最小值为《) A.0 B.2 9 C.-4 D. 2 29.(24-25高一下江苏期末)已知直角梯形ABCD中，A=90°，AB/CD,且CD=2,AB=3,点P是 △5CD内（合边界）任意一点，设P=1B+D(不，“∈R),则2+”的取值范园是() 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A周B到 。 30.(24-25高一下江苏宿迁期末)己知0为△ABC的外接圆的圆心，AB=3,AC=2,若 A0=xB+)AC,且+2y=1(g≠0）则0s∠BAC=() 5 1 3 A.5 B.3 C.3 D.5 题型3向量线性运算解决最值和范围问题（共15小题） 31。（24-25高一下江苏南京期末)()平面内一组不共线的向量O1,0 3,对任意点P,有 OP=xOA+yOB(x,y∈R) 求证：AB,三点共线的充要条件是+y=1: (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2,∠BAD=60°.动点P在以点C为圆心且与BD相 切的圆上若 AP=元AB+HA ,求2+少的取值范围 32.(24-25高一下江苏扬州期末)如图，E,F分别是菱形ABCD的边CD和BC上的动点，且 AB=2,∠DAB=60 B E,F CD,BC (1)若“分别是 的中点求C 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,F CD,BC 的中点，G是线段EF上的任意一点，求 G.GB (2)若分别是 的最大值： (③)考E,F分别为线段DC和BC上的动点，且DE=CF,求2+的取值范围 38.(24-25高-下-江苏南京期末)设，6是非零向量，日日--1，a-s6=2,则占-26的最小值 是 34.(2025江苏模拟预测)在平面四边形ABCD中，ABAD,CD1AD,CD=2AB,点M在边BC(含 端点)上运动，设=xB+D 则+y的取值范围是《) A[1,5] B.[2,4] C.l,3] D.1,4] 35.(24-25高一下·江苏南京·期末)如图，已知扇形AOB半径为1，∠AOB=60°，弧AB上的点P满足 OP=2OA+uOB(a,4eR),则2元+“的最大值是 B 36.(24-25高一下江苏南京·期末)四边形ABCD是正方形，延长CD至点E,使得DE=CD,若M为 CD中点，N为DE中点，点P在线假W上移动《包含瑞点)，设亚+正。求2+“的取值范 围 37.(24-25高一下-江苏期末)如图，已知△1BC是边长为2的正三角形，点月、 点B、B、B是BC边的四 等分点 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B4 P P2 P (1)求 AB·AP+AP·AC 的值； (2②)若P为线段 仍上的动点，求P,PC的最小值，并指出当A,C取最小值时点P的位置 38.(24-25高一下·江苏南京期末)（多选）如图，已知长方形ABCD中，AB=4,AD=2, DE=ADC 0<2<1 ,且 ,则下列结论正确的是() D B 1 0-证+证 1 A.当2=2时. 2 B.当2=3时 .cos(正，BE= 65 C.对任意 e0),正1E不成立D.者C=亚+)死，则2<<0 39.(24-25高一下江苏南京期末)如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a4,b,c,D为BC边 上一点，己已知b=2,c=4,A= B D (I)若AD平分∠BAC,求AD的长： ②若D为BC边的中点，B,P分别为AB边及AC边上一点（含端点）.且正=xB,AF=yC +y,求DEF 的取值范围 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.(24-25高一下·江苏·期末)在直角梯形ABCD中 AB.AD=0,∠B=30°AB=2N3,BC=2 点E为 AE=xAB+yAD BC边上一点，且 ，则xy的取值范围是 41.(24-25高一下江苏无锡期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=4,BC=8,且 AD=元BCAD·AB=-4 B M (1)求实数九的值： ②若M,N是线段BC上的动点，且=2，求DMDN的最小值 42.(24-25高一下江苏·期末)图1是一个正六边形蜂窝状置物架，它设计简约、美化空间，深受大众 喜爱，图2是从置物架图中抽象出的几何图形的示意图，如图2，若F=AD+u1丽(2，“∈R),则+“ 的值为一；若正六边形的边长均为2，点P是折线ABCDEFGHIJKL上的动点（含端点），则AP.AB 的取值范围为. 图1 图2 48.(24-25高一下江苏南京月考)在直角梯形ABCD中MB.D=0,∠B=30,4B=25,BC=2 点E 为BC边上一点，且 正=x孤+yD,则”的取值范围是（） 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（B. 92 .[525 44.(24-25高一下·江苏期末)己知正六边形ABCDEF的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则 PA,(PC+P吧)的最小值为 45.(24-25高-下江苏期末)如图.在直角梯形ABCD中.AD∥BC,∠ABC=90,AD=2,BC=1, 点P是腰4B上的动点，则2PC+PD的最小值为 题型4向量与几何最值问题（共15小题） 46.(24-25高一下江苏南京期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,△CED是等边三角形， M ABCED BC·BM 为五边形 边上的动点（含端点），则 的最大值为 BCD中，B=20=6孤而=6，动点°在边 C 47.(24-25高一下·江苏无锡期末)在平行四边形 上，则PA·PD的取值范围是() A.[-6,-2] B.[-2,10] C.[-2,6] D.[-6,10] 48.(2425高下江苏扬州期未)在边长为1的正方形MBCD中，C正-号CD,F为线段BE上的动点。 13/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 且CF=CB+uCD,则元+4的最小值为一：若MN是正方形的内切圆的一条弦，当弦八的长度最 FM·FN 大时，则 的最大值为一 49. (24-25高一下·江苏无锡·月考)己知正六边形ABCDEF的边长为2，P在梯形CDEF的边上及其内部 运动，则PA·PB的取值范围为 50.(24-25高一下·江苏·期末)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上 (正方形ABC 内部，含边界)，则PCPD 的取值范围为() D A.(0,16) B.[0,16] C.(04) D.[0,4 51.(24-25高一下·江苏苏州期末)己知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为 正方形四条边上的动点；当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是() A.[0]B.[l] C.[0, D.L,2] 52.(25-26高一下江苏苏州月考)己知等腰直角△ABC中∠A=90°且BC=2,点P是以A为圆心的单 14/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 位上-防点，点O清足40亚+C,则0的小值为 53。(242S高-下江苏镇江期未)在菱形ABCD中，M=4∠D1B-于，点p在线段CD上，则 PA·PB 的最小值为 2W3 54,(24-25高一下江苏期末)（多选）如图，△1BC是边长为25的等边三角形，0是△1BC 的外接 圆圆心，延长AO与BC交于点D,P是外接圆上一点，则() A AP 的最大值为4 AB.DB=3 B c.o-i+号丽 3 D.当APAB取最大值时，A,D,P三点共线 5.(24-25高一下苏南京期未)已知平面直角坐标系0中，O1.0B=0,B2,C6,0,则 CA-CB 的取值范围是() A.[15,35] B.[-15,35] C.[16,36] D.[-16,36] 56.(25-26高一下江苏盐城月考)在梯形ABCD中， AB=3DC.AB=3,BC=2,AC与BD交于点 15/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4且B3 ,点P在线段AB上，且F=5FB,平面内的动点P满足PF=1,则(DP4C)的最大值 57。(2425高一下江苏期末)已知平面向量8,6，已，且-l已知向量5与P所成的角为60，且 6-d5-对任意实数t恒成立，则+2+6-司 的最小值为() A.3+1 B.2V5 C.⑤ D.4 58。(25-26高三下江苏扬州开学考试)已知圆'的半径为4△1BC内接于此圆，且4C=6,则 B·AC 的取值范围是()· A.【-642] B.【12,42] c.[12,21 D.[62] 59,(2425高一下江苏南京期末)已知线段4B是因0：+少=5的一条动弦，且M=2若点P为直 线3x+y+I0=0上的任意一点，则P+P四的最小值为《) A.6 B.8 C.14 D.35 60.(24-25高一下江苏期末)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=2,AB=4 以四条边为直径向外作四个半圆，点M是这四个半圆弧上的一个动点，则AM·AB的最大值是() M B 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.16 0.12+125 5 D.12+4V2 2 考题猜想高分必刷 1,两个粒子A,B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为° =-(43)=(-26).则 S在S,-5上的投影向量的长度为() 3√10 10W85 A.2 B.17 C.2W5 D.2 2.在△MBC中，若4B-C丽，则△MBC是《) A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3.(多选)如图，在△MBC中，1B=1C=5,BC=6,P为△MBC内的-点，=x+) ,则下列 说法正确的是() C A.若P为△ABC的重心，则2x+y=1 B.若P为AMBC的内心，则x+y= 6 C,若P为AABC的外心，则PB=25 D.若P为ABC的重心，则os丽B丽= 4.已知a=(5sinx6os2x,6=eosx,函数f)=a-6 2 17/19 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求函数(x)的最小正周期： 1 (②)若将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的。倍(0>0)，纵坐标不变，所得的图象在区间[0，π 内恰有一个对称中心，求@的取值范围： 0 5π (3)若函数g(x)=[f(x)'-2f()+a在L12上有唯一零点，求实数a的取值范围. 5.在△48C中，MD=D丽，征=2c,0为E与CD的交点，且o8=200若18|=6，则△ABC面 积的最大值为() A.6 B.12 C.18 D.24 6如图，在AABC中，∠ABC= ,D为AB中点，CE=2ED,若Sc=3V5,则BE的最小值是 () 2√6 4 A.4 B.2 C.3 D.3 7.已知平面内有单位圆O,点P是不与点O重合的一点，若圆O上存在不重合的两点A,B使得 PO P0=2PA+PB,则PO的取值范围为() 13 B 22 D.[1,2) 8.《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代.内饰充满了中国文化符号、 某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形 CcD8G弧边长为2，A8C-,点P在线假CL,且D-号+号C则D.8的为一 1 3 3 18/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若点Q为线段CD上的动点，则 AO.OE 的最小值为. F E G D B 19/19 压轴01 期末真题·向量·百练通关（60题4大压轴题型） 题型1 三角形四心问题 题型3 向量线性运算解决最值和范围问题 题型2 共线定理的结论应用 题型4 向量与几何最值问题 题型1 三角形四心问题（共15小题） 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）已知，、分别为该三角形的外心、垂心，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，则在上的投影向量的坐标为 B．“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件 C．若，，，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】求出在上的投影向量可判断A；由正弦定理充分条件的定义可判断C；取的中点，则，则可判断C；设，由，，，化简解得，，，求出，可得可判断D. 【详解】对于A，若，，，，， 则在上的投影向量为，故A正确； 对于B，若，则， 则正弦定理得，得， ，可得或， 所以或，可得不一定为等腰三角形，故B错误； 对于C，若，，，取的中点，则， 则，故C正确； 对于D，因为为该三角形的垂心，所以 ，， ，， 设， 若，则， ，， 所以, ，， ,， ， 解得，，， 则，， 所以，故D错误. 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）（多选）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 【答案】ABD 【分析】对A，利用垂心的性质，得求解判断；对B，对作线性变形整理得到判断；对C：由可知动点的轨迹是边的中线，仅过重心，不必然经过内心；对D：结合对变形，推得在的中线上，结合外心性质可得. 【详解】对于选项A：若是的垂心，所以，故， 因此，又，所以，A命题正确； 对于选项B：由， 移项得，即， 说明在边的中线上，且分中线为，符合三角形重心的性质，B命题正确； 对于选项C：由可知的轨迹是中边的中线（从出发的射线）. 而内心是角平分线的交点，仅当时内心才在中线上， 任意三角形的内心不一定在中线上，因此动点的轨迹不一定经过内心，C命题错误； 对于选项D：取中点， 由可得， 又，所以，整理得，所以三点共线， 又为锐角外心，可得，因为为中点，所以， 所以，所以，D命题正确. 4．（24-25高一下·江苏扬州·期末）（多选）设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABD 【分析】对A，取的中点，根据重心的性质化简判断即可；对B，根据垂心的性质推导可得，再设，根据可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可；对C，化简可得，再两边平方化简即可；对D，根据条件推导即可． 【详解】对A，取的中点，因为是的重心，有， 所以，，即， 又因为，所以，故A正确； 对B，因为为的垂心，则，即， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， 即，则，所以， 因为，所以， 所以，则 ，故B正确； 对C，若且，则， 两边同时平方可得：， 所以，即，故C错误； 对D，因为为的内心，， 故 ，即， 故点的轨迹为垂直于的直线，又平分，因此是的中垂线， 是以为底边的等腰三角形，故D正确． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”． (1)当时，若，求的长； (2)若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； (3)设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：． 【答案】(1)17 (2)10 (3)证明见解析 【分析】（1）先判断为直角三角形，求出，再由余弦定理即可求得的长； （2）设，结合图形将分别用表示，利用向量数量积的运算律将待求式化成关于的二次函数，结合的范围即可求得其最大值； （3）利用三角形的重心性质与向量的线性运算分别表示出，再求和即得证. 【详解】（1） 如图，因，则为直角三角形，则， 于是，又， 在中，由余弦定理，， 故 （2） 如图，设，则， ， ，因， 则 ， 因，则当时，取得最大值为10； （3） 如图，设为的“变换三角形”， 则， ， ， 于是 . 6．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知点P是的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理逐项验证即可求解. 【详解】设的中点为，由点P是的重心，所以， 所以，故D正确；C错误； 由，故AB错误； 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若，则点为的重心 B．若，则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．在中，向量且，则为等边三角形 【答案】AD 【分析】根据向量的平行四边形法则结合向量共线即可判断选项A；根据向量的线性运算即可判断选项B；根据向量数量积及向量垂直即可判断选项C；根据向量的平行四边形法则、向量数量积、向量垂直及等腰三角形的性质即可判断选项D. 【详解】选项A：设的中点为. 根据向量的平行四边形法则可知，. 又，则，所以，，三点共线， 所以点在边的中线上. 同理可得，点也在边、边的中线上，所以点为的重心，故A正确. 选项B：， 所以，即点在边的垂直平分线上. 同理可得，点在边的垂直平分线上. 所以点为的外心，故B错误. 选项C：因为，所以， 所以，即. 同理由可得，由可得. 所以点为的垂心，故C错误. 选项D：设，分别是向量，方向上的单位向量， 结合向量的平行四边形法则可知，在的角平分线上. 又，即，所以的角平分线垂直于， 所以，所以为等腰三角形. 又，即，所以，即， 所以为等边三角形，故D正确. 8．（24-25高一下·江西南昌·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 9．（24-25高一下·山东·期末）（多选）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高一下·江苏·期末）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 11．（24-25高一下·江苏·期末）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 12．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）记是的外接圆，且，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．圆O的周长为 【答案】BCD 【分析】对于A，根据向量的减法运算求解即可；对于B，由数量积定义计算即可；对于C，对等式两边同时点乘，可求，进而得到，利用面积公式即可求解；对于D，由余弦定理可得，由正弦定理可求圆的半径，再结合周长公式得到周长即可. 【详解】对于A，因为，所以 即，即，故A错误； 对于B，因为是的外心，所以在的中垂线上， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 解得，故，， 所以的面积为，故C正确； 对于D，由余弦定理可得，解得， 由正弦定理，， 所以圆的半径为，其周长为，故D正确. 故选：BCD 13．（24-25高一下·江苏·期末）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 14．（24-25高一下·江苏·期末）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论. 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. 15．（24-25高一下·江苏·期末）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 题型2 共线定理的结论应用（共15小题） 16．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（   ） A．的面积的最大值为 B．当P为BC中点时， C．若的面积为面积的，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D． 【详解】对于A，由已知条件，得， 由，得， 平方得，得，． ， 由，得，则， 所以，故A正确． 对于B，当为中点时，， 则，故B正确． 对于C，由在上，设且，则与面积比等于， 由得，故C正确． 对于D，若，则，结合，得，为等边三角形． ,， 则 ， 当时，取得最小值，故D错误． 17．（24-25高一下·江苏·期末）在平行四边形中，分别是线段的中点，延长交于点，且，则平行四边形面积的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】设，，先利用中点与共线条件，将点的位置用参数表示，并通过向量共线建立方程解出与，从而确定与，设，，再结合平面向量的数量积的运算律可得，根据基本不等式得到，进而得到平行四边形面积的最大值. 【详解】如图，设，，因为 是 中点， 是 AE 中点， 所以， 则. 设，则. 由共线，则存在唯一非零实数，使得， 即，则，解得，，故， 又， 设，，则， 由，得， 则，即， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 则， 即，当且仅当时等号成立， 则平行四边形面积， 即平行四边形面积的最大值为. 18．（24-25高一下·江苏连云港·期末）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 【答案】/ 【分析】设，则，又，求出，得到对应线段的比，设到底面的距离分别为，得到，进而得到体积. 【详解】如图，假设，连接， 则， 如图，在中，连接，设， 所以， 又， 所以，解得，即，同理， 则，则， 设到底面的距离分别为，则， 又，所以，所以， 所以， 19．（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】在中，由为上一点，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4． 20．（24-25高一下·江苏·期末）已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以三点共线； 由，所以与不平行，所以三点不共线； 因为，所以与不平行，所以三点不共线； ， 因，所以与不平行，所以三点不共线. 21．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在中，，，，，是内一点，且满足（），则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．、、三点一定共线 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据平面向量线性运算计算可判断A；根据投影向量公式及向量数量积运算律计算可判断B；根据平面向量线性运算可得，利用平面向量共线的充要条件判断C；根据向量数量积运算律及二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为， 所以在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，因为， 即，所以， 因为，所以与共线，即、、三点一定共线，故C正确； 对于D，， 由C可知，， 由A可知， ， 设，则， 所以， 由二次函数性质可知，当时，有最小值， 所以的最小值为，故D正确. 22．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（   ） A． B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由得，， 又共线，则，所以，A正确； 对于B，由得，， 当且仅当时取等号，即的最小值为，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，C正确； 对于D，由得，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，D正确． 23．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知P是内一点，．若，，且B，P，Q三点共线，则的值为______________；若，，向量在向量上的投影向量为，则______________． 【答案】 / / 【分析】根据平面向量基本定理、结合平面向量共性性质、投影向量定义、平面向量数量积运算性质进行求解即可. 【详解】， 因为，且，所以， 于是有， 因为B，P，Q三点共线， 所以； 因为，向量在向量上的投影向量为， 所以有， .    24．（24-25高一下·江苏·期末）已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【分析】动点满足，因为的表达式中和的系数之和为，所以三点共线，进而得到答案. 【详解】为所在平面上一点，是的中点，动点满足， ∵的表达式中和的系数之和为， ，，三点共线，又∵是的中点， ∴为的边的中线， 点的轨迹一定过的重心． 故选：D． 25．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 26．（24-25高一下·江苏·期末）平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为________． 【答案】4 【分析】由题意建立平面直角坐标系，根据角平分线性质可求出点C，D在以为圆心，半径为2的圆上，由此可求得答案. 【详解】由可知E点在线段上，且 结合，知； 以点E为坐标原点，以直线为x轴，过点E作垂线为y轴，如图建立平面直角坐标系， 则， 由于CE是的角平分线，故，即， 设，则， 化简得，即点C在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 同理可得点D也在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 则当位于圆的直径的两端时，线段取到最大值，最大值为4， 故答案为：4 27．（24-25高一下·江苏南京·期末）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，由向量共线定理可得答案. 【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 28．（24-25高一下·江苏·期末）已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合几何图形求出，令，利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值. 【详解】延长至，使得，连接，点为所在平面内的点，连接， 则，令，则点在直线上， 由的最小值为，得， 当且仅当时取得最小值，则， 又是锐角，则，而，即为正三角形， 于是，，令，则， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 29．（24-25高一下·江苏·期末）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【详解】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C 30．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知为的外接圆的圆心，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据给定条件结合共线向量定理的推论可得共线，再在直角三角形中计算作答. 【详解】取的中点，连接，则，如图， 则，由，得， 又，因此三点共线， 由为的外接圆的圆心，得，即， 所以. 故选：B. 题型3 向量线性运算解决最值和范围问题（共15小题） 31．（24-25高一下·江苏南京·期末）（1）平面内一组不共线的向量，，对任意点，有.求证：三点共线的充要条件是； （2）如图，在平行四边形中，，，.动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念证明即可. （2）将求转化为点积，利用圆的半径为定值，将动点问题转化为三角函数范围问题即可得解. 【详解】（1）必要性证明， 因为三点共线，设， 则有，整理得， 又，所以，因此，故必要性得证； 充分性证明， 因为，，即， 所以，即， 所以，又与有公共点， 所以三点共线，故充分性得证. 综上，三点共线的充要条件是. （2）根据题意，四边形是平行四边形，，，， 所以在中，有， 所以，所以是直角三角形，则， 即，故圆与相切于点，所以为圆的半径，且. 又，所以， 则， 又，所以， 又，所以， 而点在圆上运动，所以，则，所以， 综上，的取值范围为. 32．（24-25高一下·江苏扬州·期末）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； （2）由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. （3）设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 33．（24-25高一下·江苏南京·期末）设，是非零向量，且，，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】采用换元法，令，再将题干及目标向量的模全部转为的关系式即可求解． 【详解】令，则，， 解得， 而， 则 又，当时，取得最小值， 即，因此． 34．（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 35．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 36．（24-25高一下·江苏南京·期末）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围______． 【答案】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 37．（24-25高一下·江苏·期末）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1) (2)，最小值为. 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）记，，设，其中，表示出向量，，然后表示出的结果，转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）由于正三角形中，为边的中点， 所以，，，， 故 ， 由于，所以， 故. （2）记，，，，又， 则， 设，其中，则， ， 所以 ，， 当且仅当即时，取最小值. 38．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）如图，已知长方形中，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．对任意，不成立 D．若，则 【答案】ABD 【分析】以为原点，建系，通过坐标运算来判断A、B选项；C选项，假设，求出的值，即可判断；D选项，列式子，由对应坐标相等，得到一个方程组，用来表示和，将转化为关于的二次函数，求出函数的值域，即可得出结论. 【详解】以为原点，、所在直线分别为轴、轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，因为， 所以，即， 对于A选项，当时，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B选项，当时，， 则，， 所以，故B正确； 对于C选项， ，， 由，得， 所以当时，，故C错误； 对于D选项，因为， 则， 所以，解得， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 39．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知，，． (1)若AD平分，求AD的长； (2)若D为BC边的中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．且，，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求角平分线的长度用等面积法，即，用三角形面积公式分别表示三个三角形的面积，由等式关系得到AD与b，c的关系，从而得到AD的长； （2）根据为BC中点，由平面向量加法法则得到，用基底表示和，得到，结合转化为关于的二次函数，根据和二次函数单调性，得到二次函数的取值范围即为的取值范围. 【详解】（1）在中，， 因此， 即． （2）由为BC中点得， 故 又，在上单调递增； 因此时，；时，． 即． 40．（24-25高一下·江苏·期末）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是_________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可． 【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，    ∵， ∴有， ∴， 设， 因此有， ∵， ∴有，而， ∴， 当时，有最大值，当有最小值0， ∴的取值范围是. 故答案为：. 41．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，，，，且，.    (1)求实数的值； (2)若，是线段上的动点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）根据和向量的数量积定义求解即可； （2）方法1，以，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，用表示出，根据二次函数的性质得出最小值；方法2：由向量的线性运算表示出，求出的最小值即可得出答案. 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴， ∵， 又， ∴， ∴. （2）如图，过点作，垂足为，    则，，， （方法1）以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则， 设，，， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值11. （方法2）设线段的中点为，则 当于点时，， 所以的最小值为. 42．（24-25高一下·江苏·期末）图1是一个正六边形蜂窝状置物架，它设计简约、美化空间，深受大众喜爱，图2是从置物架图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若，则的值为______；若正六边形的边长均为2，点是折线上的动点（含端点），则的取值范围为______.    【答案】 【分析】建立如图平面直角坐标系，设正六边形的边长均为2，由可得，解方程即可求出的值；设，则，根据的范围解可求出的取值范围. 【详解】解：建立如图平面直角坐标系，设正六边形的边长均为2，    则，，，，，，，， 若，即， 所以，解得，，所以， 设，则， 因为，所以的取值范围为. 故答案为：；. 43．（24-25高一下·江苏南京·月考）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，   ，设，， 因此有 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是 故选：B 44．（24-25高一下·江苏·期末）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案. 【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则,设点， 则, 故 ， 故当，即P点坐标为时， 取到最小值为， 故答案为： 45．（24-25高一下·江苏·期末）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________． 【答案】4 【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案. 【详解】由在直角梯形中．， 则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系， 设，设，则， 故， 所以，故， 当且仅当即时取得等号， 即的最小值为4， 故答案为：4 题型4 向量与几何最值问题（共15小题） 46．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】以为原点，以、为轴、轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 设，则，. 所以. 所以当在五边形上移动纵坐标最大时，取最大值. 易知，当点与点重合时，点纵坐标最大，此时， 因此的最大值为. 47．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为基底表示出，根据向量数量积的运算律可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果. 【详解】设，则， 所以，， 所以 又，当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以. 48．（24-25高一下·江苏扬州·期末）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____. 【答案】 16 /0.25 【分析】根据平面向量共线的性质以及基本不等式即可求得的最小值；结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】根据题意由为线段上的动点，可知，，三点共线， 又，可得， 因此，且，， 所以 ； 当且仅当时，等号成立，即的最小值为16； 取内切圆的圆心为，连接，如图所示： 易知弦的长度最大时，为直径，此时； 又 ； 显然当最大时，即在点处时，此时，取得最大值， 即. 49．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】取中点，借助向量运算法则可得，再计算的范围即可得解. 【详解】取中点，中点， ， 由在梯形的边上及其内部运动， 易得， ， 即，故. 50．（24-25高一下·江苏·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 51．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 52．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知等腰直角中且，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设，根据题意得到的坐标，利用参数方程求出的最小值即可. 【详解】 如图所示，以等腰直角三角形的顶点为原点建立平面直角坐标系，在轴，在轴， 则由且得，因此， 点在以为圆心的单位圆上，设， 根据向量关系可得，则， 因此，化简得， 而要使最小，需要最小，也就是最小， 利用辅助角公式得，其中，则， 因此，而， 代入并化简得. 53．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在菱形中，，点在线段上，则的最小值为 ________. 【答案】8 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，把数量积转化为二次函数，再结合自变量的取值范围即可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设，其中，所以， 所以， 因为二次函数的二次项系数， 所以其图象开口向上，对称轴为， 又因为，所以当时，取得最小值，， 即的最小值为8. 54．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（    ） A．的最大值为4 B． C． D．当取最大值时，三点共线 【答案】ABC 【分析】对于A，由外接圆直径为的最大值可判断；对于B，由向量投影与数量积的关系可判断； 对于C，由等边三角形重心的向量性质可判断；对于D，由的几何意义与点的位置可判断. 【详解】对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确； 对于B，由题意知，所以，故B正确； 对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以，所以，故C正确； 对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点，即过点O的水平线与圆在右侧的交点， 此时在上的投影向量的模最大，显然不满足，三点共线，故D错误. 55．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【详解】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 56．（25-26高一下·江苏盐城·月考）在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】根据得到，再以A为原点建立直角坐标系，再根据向量数量积求解即可. 【详解】由得，. 以为原点，为轴建立直角坐标系，则，. 设，则. 由得：，即 ①； 由，相似比得​​， 故​，即 ②. ②-①得： ，代入①得​，因此，. 由得，动点满足， 故轨迹为以为圆心，半径1的圆. 设，为与x轴的夹角. 进而， ， 所以，其中. 故的最大值为. 57．（24-25高一下·江苏·期末）已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 58．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系后，根据圆上一动点B的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图， 则，， 设， ， 则， 59．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算将转化为与点相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设弦中点为，根据圆的性质，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 其方程为. 因为， 所以， 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2. ， . 故选：A. 60．（24-25高一下·江苏·期末）如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】根据点的位置，分类讨论，利用数量积的定义即可求解. 【详解】要使最大，与的夹角小于， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，取线段中点为， 则 ， 所以当与同向时，， 此时最大值为， 故选：D. 1．两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量的长度为. 2．在中，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量的线性运算结合数量积判断向量垂直的方法即可求解. 【详解】由题意得，即，其中， 即，所以，所以是直角三角形. 3．（多选）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】设的中点为.由知，过点，且. 若P为的重心，则， 所以，所以，所以A正确. 若P为的内心，则， 化简得，， 所以， 所以，所以B错误. 若P为的外心， 易知，所以的外接圆的半径为， 即. 则，所以C正确. 若P为的垂心，则，所以，所以 . 所以D正确. 4．已知，函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； (3)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，求出最小正周期； （2）由正弦曲线的图象特征确定不等关系，求出的取值范围； （3）先画出在区间上的图象，并换元，转化为关于的方程的根的个数问题，分情况讨论，求出答案 【详解】（1） ，所以函数的最小正周期. （2）由题意得变换后的函数解析式为， 当， 函数在区间内恰有一个对称中心， 即函数在恰有一个对称中心，故， 解得，所以的取值范围为. （3）当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解， 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根， 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根， 一个小于，一个大于，所以若，则恒成立， 所以仅需满足即可， 所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 5．在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线为轴，设，其中，联立直线与求得交点坐标，利用条件推出点坐标满足的方程，从而确定点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），当最大时即可求得面积最大值. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以， 由知，所以，所以， 所以直线的方程为， ，所以直线的方程为， 因为为与的交点，所以，解得， 代入计算得，所以， 因为， ，， 由得，化简得， 所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以 ，因为，所以面积的最大值为.    6．如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式化简得到，再利用向量的运算表示出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】已知，，所以，化简得. 由是中点，，所以， 化简得，进而. 因为，所以. 由基本不等式，且，所以，当且仅当， 即，最小值为. 7．已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据向量的线性运算把用表示，然后两边平方，根据模长公式和数量积公式即可求解. 【详解】 设为原点，，，， 代入已知等式， ， 整理得：，即， 因为在单位圆上，所以，设与夹角为， 对平方得： ， 是不重合的两点，故，即， 代入得： ，开方得， 8．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________ 【答案】 0 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 因为， 则， 与夹角为，与夹角为， . 设，可知， ， ， ， ， ，当或时， 有最小值，最小值为0. 故答案为: ； 0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $