6.3解三角形（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

6.3解三角形 题型1 正弦定理解三角形 1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得， 因为，所以. 故答案为：. 2．（25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 3．（25-26高二上·安徽·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理，得. 又，所以，所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·云南昭通·期末）已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出. 【详解】根据正弦定理可得：，即，解得. 因为，所以，所以， 故选：B. 5．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 题型2 余弦定理解三角形 1．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，进而求得，利用面积公式求得，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 2．（25-26高三上·河南·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，再结合余弦定理化简即可. 【详解】已知， 又因为，所以， 又由余弦定理， 又因为， 所以， 故选：D. 3．（25-26高三上·江西宜春·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据余弦定理求A的值，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简即可得出结果. 【详解】由余弦定理及，得，即，所以， 所以. 故选：D. 4．（25-26高三上·广西河池·期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先由题意求出，接着由求出c，再由余弦定理即可计算求解. 【详解】因为，， 则由解得， 所以， 所以由，即. 故选：D 5．（2025高三上·山东济南·专题练习）中，若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化知识结合题设可得答案. 【详解】因，由正弦定理边角互化，可得.则. 又,则或.又当时，， 由余弦定理可得：，得， 这与题意不符，则. 故选：B 题型3 正余弦定理判断三角形形状 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论. 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 2．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 3．（25-26高三上·山东·月考）在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【分析】根据诱导公式和正弦定理化简为，再根据，结合两角和的正弦公式化简，即可求解. 【详解】由条件可知，即， 因为， 所以， 整理为， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：C 4．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由可得，由可得，确定是等边三角形. 【详解】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以， 由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形. 故选：D. 5．（25-26高三上·全国·月考）已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D．是钝角三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简得，又由三角恒等变换得，即可判断A，进而得，结合即可判断BD， 再由余弦定理即可判断C. 【详解】由题意有：， 所以， 所以，即，故A正确； 由，所以或，而，即， 由，又， 又因为，所以，即，所以是钝角三角形，故D正确，B错误； 又，所以，故C正确； 故选：B. 题型4 正余弦定理判定三角形解的个数 1．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 2．（25-26高三上·山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【分析】利用正弦定理及三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 3．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 4．（2026高三上·贵州贵阳·专题练习）在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式先求出角，然后根据三角形有两解，得出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据正弦定理得：， 因为，所以， 所以有， 即， 所以， 在中，，所以， 由，所以， 又，若有两解， 则，即， 解得：， 所以的取值范围是. 5．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 题型1 正余弦定理边角互化应用 1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，通过正弦定理化简，求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B. 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为： ． 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，利用平方和关系求得，从而利用正弦定理可得，即可解答. 【详解】由，及，根据正弦定理得 ，即， 由余弦定理得，又， 故， 设外接圆的半径为，根据正弦定理得， 解得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 3．（25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以， 因为， 所以. 故答案为： 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）记的内角的对边分别为，若，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理可得，代入条件中化简可得，然后由正弦定理可得，此时条件转化为，最后利用基本不等式的性质和辅助角公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，即； 由正弦定理，得，所以， 即，即； 因为，所以①，当且仅当时取等号； 又，所以，所以②， 当，即时，等号成立； 由①②知，即，此时； 所以. 故答案为：. 5．（24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，若，，则 . 【答案】 【分析】将角化边求出，将角化边后代入的值，可得，结合条件和正弦定理可得. 【详解】由可得，即， 解得或. 由可得，整理得, 两边同时除以得， 若，则，解得； 若，则，此时无实数解. 由可得. 故答案为： 题型2 正余弦定理证明恒等式 1．（24-25高一下·青海海南·期末）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由，可得，，和，四种情况讨论，结合选项，即可求解. 【详解】因为，可得，由，可得以下情况：①若，即，这与是非等腰三角形矛盾，不符合题意； ②若，即，此时，所以A正确； ③若，若，则，所以B正确， 若，则； ④若，即，此时，所以C正确， 由，可得，即，不符合题意， 或，即，此时，所以D不正确. 故选：ABC. 2．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则三角形为锐角三角形 【答案】B 【分析】应用三角形内角和及诱导公式判断A；由正弦定理判断B；注意以钝角三角形作为反例判断C；由正弦边角关系及余弦定理判断D. 【详解】A：由，错； B：由，则，又，则，对； C：对于钝角三角形，若，此时，错； D：由，则，故， 所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【详解】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 4．（2025高三·全国·专题练习）在中，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由正弦定理，，（为外接圆半径），不等式化为，即，最后利用三元均值不等式证明即可. 【详解】证明：在中，由正弦定理，得，，（为外接圆半径）. 在中，由相关不等式知， 结合三元均值不等式：，得 故原不等式得证. 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，然后由数量积几何意义可得答案； （2）设三角形外接圆半径为R，用两种办法表示，可得，及，据此可完成证明. 【详解】（1）， 由数量积几何意义可得：， 同理得. 则； （2）证明：设三角形外接圆半径为R， ，. 因，所以. 同理，所以， 又，，. 则. 故  ① ∵点O为三角形ABC的外心，， ，， 同理，. 则. 代入上式①中，结合，可得： ， 所以，原命题得证 题型3 正余弦定理的实际应用 1．（25-26高三上·安徽六安·期末）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（    ）（已知，） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 【答案】C 【分析】利用表高表示出冬至和夏至时圭面上的影长 CB 和 CD，根据两者之差 BD=7米列出方程，解出 表高。 【详解】设表高，在中，，， 在中，，， 已知冬至线和夏至线之间的距离米，所以，解得， 因此，表高约为米， 故选：C. 2．（25-26高一·全国·假期作业）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 3．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中利用正弦定理求出，再利用即可求出. 【详解】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 4．（25-26高三上·重庆·月考）飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性. 如图，小华位于 处，小明位于 处，小华以 (单位:米/秒)的速度沿着 方向将飞盘抛出，同时，小明以 的速度去接飞盘. 已知 米， . 已知经过 秒. 小明在 处接到飞盘. 假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变. (1)求 的最大值； (2)若 米秒， 秒，求 . 【答案】(1) (2)米秒 【分析】（1）由正弦定理列式可得，当时，有最大值，计算即可求解； （2）由余弦定理求得米，根据计算可解. 【详解】（1）由题意可得， 在中，由正弦定理可得， 即，化简可得， 因为， 所以当，即时，取最大值为； （2）若 米秒， 秒，则米， 由余弦定理可得，， 解得米， 因为，所以米秒. 5．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 题型1 解三角形求周长 1．（25-26高二上·云南昆明·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合正弦定理边化角以及辅助角公式即可分析计算求解； （2）先由正弦定理得到接着由余弦定理求出即可求得即可求解. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， 又,，所以，即， 所以，即，所以． 又，所以， 所以，即． （2）由（1）及正弦定理，得， 则，，故． 所以由余弦定理得，整理得． 所以，即，所以， 故的周长为． 2．（25-26高三上·北京丰台·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求角A的大小及的面积； (2)已知AC边上的中线BD=，求三角形ABD的周长 【答案】(1)角为，的面积为； (2). 【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式直接可得； （2）在中由余弦定理得，结合已知条件可得三角形的周长. 【详解】（1）由，得，且， 所以，. （2）因AC边上的中线， 在中，， 即，又， 所以，消去，， 即，解得或，所以或. 当时，，的周长； 当时，，的周长； 故三角形的周长. 3．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求四边形的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角化简，结合两角和的正弦公式即可得到答案； （2）利用余弦定理可求出的长，继而求出的值，利用三角形面积公式，即可求得答案； （3）通过作辅助线，利用三角形相似，求出四边形的边的长，继而求出的长，即可求得答案. 【详解】（1）因为在中，， 故，而， 故， 即，结合， 可得，而； （2）由于， 故， 则； 又，故，（为锐角） 所以 ， 故； （3）延长交于点E， 因为，故，又，故， 故，故为等腰三角形，则，则； 又，则， 结合，可得∽， 故， 在中，， 即，解得， 又，结合（1）知， 故为正三角形，故， 故四边形的周长为. 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知△ABC的内角的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，，求的周长. 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）根据正弦定理，由角化边，再根据余弦定理，解三角形即可. （2）根据正弦定理面积公式，求出两边之积，再根据余弦定理，求出两边之和，进而求出三角形周长. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又因为，所以； （2）由的面积，解得， 由，可得，即， 故解得，所以的周长为. 5．（25-26高三上·浙江温州·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若点是的中点，且，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用正弦定理角化边，得，再利用余弦定理可求，结合为三角形内角，可求. （2）在中，利用余弦定理可求，再在中，利用余弦定理求边，再求三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：. 又根据余弦定理：， 又为三角形内角，所以. （2）如图：    在中，， 由余弦定理：， 所以， 所以或. 若，则， ，所以. 所以的周长为； 若，则， ，所以. 所以的周长为. 所以的周长为或. 题型2 解三角形求面积 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，是边上的高，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解. （2）由是边上的高，且，在直角中，由正弦定理，列出方程，求得，，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 由余弦定理得， 又因为，所以. （2）因为是边上的高，且， 在直角中，由正弦定理得， 即，即，解得， 又因为，可得， 所以的面积. 2．（25-26高三上·重庆·期中）如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的值； (2)设边的中点为，若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由三角形中，结合已知整理得，即可得角的大小； （2）作，垂足为，设，再用表示出、，应用勾股定理构建方程求参数，进而求相关边长，即可求面积. 【详解】（1）在中，代入 所以，即，又，则； （2）如图，作，垂足为，， 为中点，设，因为为中点，所以， 在中，，所以， 在中，，， 由勾股定理得， ，，则. 3．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）在平面四边形ABCD中，，，，，且. (1)求线段CD的长度； (2)求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理求得，进而由正弦定理求得，进而可求； （2）利用求值，进而可求四边形面积. 【详解】（1）在△ABC中，由余弦定理得： ，即， 由，得， 在△ABC中，由正弦定理得， 得，所以， 在△ADC中，由正弦定理得：，计算得： ； （2）首先， 又， 因此， 所以. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为在中，， 故，而， 故， 即，又，， 可得，，又，； （2）由于，，， 故， 则； 又， 故， 又为锐角， 所以 ， 故； 5．（25-26高三上·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. （3）由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 题型3 解三角形求周长范围 1．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理得，结合基本不等式可得，结合即可求解； （2）根据题意可得，设，，在中，利用余弦定理得，结合基本不等式得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得：，， 所以，又，所以， 由余弦定理得：，即， 又，所以，. 所以，当且仅当时，等号成立， 故的面积的最大值； （2）因为点为的三个内角的角平分线的交点， 所以. 设，， 在中，由余弦定理得：， 即，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的周长的最大值为，当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为． 2．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． 3．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的面积； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义结合条件可求出，再由面积公式可求解. （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，及得， 又所以， 所以的面积. （2）由余弦定理得， 又，，所以. 又（当且仅当时取等号）， 所以，即 因为， 所以（当且仅当时取等号）， 又， 所以，， 所以周长的取值范围是. 5．（25-26高三上·山东青岛·月考） 的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由边化角得，进而结合内角和定理和诱导公式，二倍角公式得，进而得； （2）由正弦定理得，，进而根据三角恒等变换得，再结合得到周长范围. 【详解】（1）由正弦定理得． 因为，所以． 所以， 所以． 因为，所以， 所以，. （2）由于，，有正弦定理， 所以，，由于， 因为，所以． 因此. 题型4 解三角形求边长或者角度范围 1．（25-26高三上·湖北黄石·期末）锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式与因式分解化简已知等式，结合锐角三角形的性质求出角，再用余弦定理求边并检验解的合理性，最终确定； （2）先用正弦定理将边的比值转化为角的正弦值，再结合将表达式化为含的三角函数，最后通过角的范围求出取值范围. 【详解】（1）由题， ，为锐角三角形，， . 由余弦定理，得， 即，解得或， 但时，，与已知条件不符， 而时，，符合条件，； （2）由正弦定理，得 ， ， . 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称中心； （2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围； （3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案． 【详解】（1）， 当时，． 令，得， 所以图象的对称中心为. （2）由（1）得，且， 所以，即， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以， 因为，则， 又因为函数在区间上单调递增， 则， 可得，解得， 可得，即， 且，则，所以的取值范围是. （3）由得， 因为，即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，解得． 由余弦定理，即， 可得， 所以． 由正弦定理，得， 则，， 可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 可得，则， 即，可得， 所以的取值范围是． 3．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求，进而得到三角形的周长. （3）先根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再将化成的形式求值域. 【详解】（1）由正弦定理，， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，. 又. 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设及正弦定理化简可得，再根据余弦定理求解即可； （2）根据正弦定理及三角恒等变换公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则，即， 则，又，则. （2）由正弦定理得，， 则， 所以， 在中，，故， 所以，则， 所以的取值范围为. 5．（25-26高三上·安徽·月考）在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． (1)求的值； (2)若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，由正弦定理及二倍角公式，可得，即可得答案；选②，由正弦定理及两角和差公式可得，即可得答案；选③，由正弦定理、两角和差公式及诱导公式可得，即可得答案； （2）由题意可得，在和中，由正弦定理及，从而可得，求出的范围，即可得答案. 【详解】（1）若选①，因为； 由正弦定理得， 又， 所以， 因为， 所以； 若选②，因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 又， 所以， 因为， 所以； 若选③，， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 即 因为，所以， 因为， 故， 所以. （2）在中，， 由正弦定理可得， 所以， 在中，， 所以， 所以， 则， 因为为锐角三角形，， 所以， 即，解得， 所以， 从而， 所以， 所以的取值范围是. 题型5 解三角形求面积范围 1．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 2．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 3．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 4．（25-26高三上·江苏常州·月考）在中内角的对边分别为，满足，， (1)求． (2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理与同角的关系求得，利用余弦定理和正弦定理计算即可求解； （2）设，根据正弦定理可得、，进而的面积，结合正弦函数的性质即可求解； 【详解】（1）由题设及正弦边角关系得， 因为，所以， 因为，所以， 由，即，所以， 由正弦边角关系得，则， 所以，， 所以，则或（舍去）， 所以； （2）设， 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理， 所以. 的面积 ，， 所以，则， 所以面积的取值范围为. 5．（25-26高三上·广东深圳·月考）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）6（ii） 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理得到，由三角恒等变换得到，取倒数可得； （2）（i）由基本不等式得，，所以，得到答案； （ii）由为锐角和余弦定理得，即，由三角形面积公式得，因为，令，，由单调性求出，即，所以，所以，得到答案. 【详解】（1）由余弦定理得， 又，所以，即 由正弦定理得， 因为，所以， 由为锐角三角形， 得， 两边取倒数得. （2）（i） 因为，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立，满足为锐角三角形， 所以周长的最大值为. （ii）成立，即为锐角，且， 由为锐角得及， 解得，即 的面积为， 因为， 令，，则二次函数开口向下，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以，即， 所以，即， 所以，即面积的取值范围为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.3解三角形 题型一正弦定理解三角形 基础达标题 题型二余弦定理解三角形 题型三正余弦定理判断三角形形状 题型四正余弦定理判定三角形解的个数 题型一正余弦定理边角互化应用 能力提升题 题型二正余弦定理证明恒等式 解三角形 题型三正余弦定理的实际应用 题型一解三角形求周长 题型二解三角形求面积 拓展培优题 题型三解三角形求周长范围 题型四解三角形求边长或者角度范围 题型五解三角形求面积范围 A 基础达标题 题型一 正弦定理解三角形 1.（25,26商三上上海浦东新期未)618C中，4= 3,b=1,sinC=2sinB,则a=一 2.(2526高一上福建福州自主招生)在△4BC中，∠A和<B均为锐角，且4C=6BC=35.若 sin 4= 3,则sinB的值为() 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 万 1 22 A.3 B.3 C.3 D.3 、.(2526商二上安数期末)在ABC中，内角，8，C所对的边分别为a,6,c,若4-子，a=2, b=26 3,则B=() A.6 B c. D.或 4.(25-26高三上·云南昭通期末)已知在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,C,若 Q=25,b=2V6,B=, 4,则A=（） π c.6政 2π A.3 B.6 D.3或3 5。(25-26高三上·内蒙古锡林郭勒期未)在△18C A,B,C a,b,c 中，设角 的对边分别为 ，若 b=2.c=子4设。 =12,则c=() A.25 B.3 c.3v2 D.26 题型二 余弦定理解三角形 1.(25-26高一上·广东深圳·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 Sw-352am8+》2nB-c,则a的为() A.2 B.3 C.3 D.分 2.(2526高三上河南期未)在△18C中，内角，月，C的对边分别为，6，C,且 -2c=c2+4-b2 a=2,则角B=() 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 π 2π A.6 B.4 C.3 D.3 3.(25-26高三上江西宜春·期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 b+c +c2-c+a'则asin+因 6 A. B. D.2 2 C.3 4. 5-26高三上广西河池期末)在ABC中，角4，，C所对的边分别为b,c已知am 4 b=2,△ABC的面积为3，则边a的长为() 15 A.4 B.35 C.5 D.3 ,2025高三上.山东济南：专题练习)A8C中，若sinsin c=sin1,Sc≥3 4 ,则A=() A.6 B.3 2 D.3或 题型三 正余弦定理判断三角形形状 +b22 =2 1.(25-26高三上陕西咸阳期末)若a’b,c是△4BC的内角A,B’C的对边， c a ac 且sinBsinC= 2,则△4BC是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.三边互不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形 2.(25-26高一上·上海杨浦期末)已知△ABC的三个内角A,B,C满足 inC=sin24+sin(B) △ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 3。(25-26高三上山东月考)在△1BC中，a6C分别为内角4B,C所对的边，若0=2bcos(2026m+C), 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则此三角形一定是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 △ABC A,B,C a,b,c 4.(25-26高二上·贵州黔南·开学考试)在 中，角 所对的边分别为，己知 a-ccosB=b-ccosA,且c2=a2+b2-ab,则△ABC的形状为() A.钝角三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等边三角形 1-cos2A 1-sinB 5.(25-26高三上~全国·月考)已知△4BC的内角A?B’C满足sin2A=cosB,则下列说法错误的 是() 4. sin(A+B)=cosA B.△ABC是直角三角形 C.ateb D.AABC 是钝角三角形 题型四 正余弦定理判定三角形解的个数 1(25:26高三上河北保定月考)在61BC中，若4C-6,C=, 4'AB=2,则△4BC解的个数为 () A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 2.(25-26高三上·山西太原·月考)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是() A.a=45,b=6,C=60 B.a=5,b=6.A=120° C.a=3,b=4,A=45 D.a=4,b=3A=60° 3.(25-26高一上·上海宝山期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=8, B=π 6,要使该三角形有唯一解，则b的取值范围为一 4。(2026高三上贵州贵阳专题练习)在△1BC中4，B,C a,b,c,b=3 2bcosC =2a-2c 所对的边分别为 且 若△ABC有两解，则a的取值范围是 5.(25-26高三上：广东珠海·月考)己知△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足条件 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 3,b=2的三角形有两解，则边长a的取值范围为 B 能力提升题 题型一 正余弦定理边角互化应用 1.(25-26高三上陕西商洛·期末)设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 asinBcosB bsind,C= 3'则A=() π A.2 B.3 c. 2.(25-26高一上福建厦门期末)在△1BC中，内角4，B,C的对边分别为°，b,c,已知4=25 (sin4-sinB(b+25=c(sinB+sinC),则△ABC外接圆的面积为：一 3.(25-26高三上山东菏泽·月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 bsinB+csinC-asind-2bsinC= 4。(25-26高二上湖南衡阳期末)记△1BC A,B,C a,b,c 的内角 的对边分别为，若 2b2+3c2-a2=2absin C coSA= ,则 5.(2425商=上赞州避义月考》在61C中，若5nA:2 sinCo=0smB1smC- 2 -sin Bsin C, 则cosB= 题型二 正余弦定理证明恒等式 1.(24-25高一下·青海海南期末)已知非等腰三角形ABC的内角分别为A,B,C,若sin4A=sin4B,则下 列结论可能正确的是() sinc=V② 2 B.sinA=cosB 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C. cosC=2 2 D.sin2A=sin2B 2.(24-25高-下湖南娄底期中)在△4BC中，角 A,B,C a,b,c 的对边分别为，则下列结论正确的是 () A.cos A+B=一-sim) C 2 2 B.若A>B,则sinA>sinB C.若A>B,则CosA>cosB sinA+sin B>sin C D.若 ，则三角形为锐角三角形 sinA-sinC_√2a-b 3.(2025高三·全国·专题练习)已知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,C,且sinB a+c. (1)求C; tanAtanB 1 (2)若2 absinC=c2tanC,求证：an4+tanB2, 4。(2025高三全国·专题练习)在。BC中，求证：sinA+simB+sim2C≤？ 4 5.(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知平面内一三角形ABC,点O为其外心. (①点M为边BC的中点，4B=5,4C=7,求M.40 ,求 的值： AB (2)若过点0的直线分别交边AB、AC于点P、Q,证明：AP sin2B+ 4C.sin2C=sin24+sin 2B+sin 2C A 题型三 正余弦定理的实际应用 1.(25-26高三上·安徽六安·期末)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节 变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂 直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定 为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图， 已知六安市冬至正午太阳高度角（即∠ABC)约为34.57°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC)约为81.43°， 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD的长）为7米，则表高（即AC的长）约为()（已知 tan34.57°≈ 1 tan81.43°≈ 53 16 8) 夏至正午阳光 冬至正午阳光 圭 南 共D 心B 夏至线 圭 冬至线 A.3.26米 B.4.73米 C.5.37米 D.6.31米 2.(25-26高一·全国·假期作业)如图，测量河对岸塔楼的高度AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内 的两个测量基点C与D,现测得a=75°，B=45°，CD=20米，在点C测得塔顶A的仰角0=60°，则塔 高AB为米 3.(2026·河南濮阳·一模)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点 C与D现测得 BDC=Q,∠BCD=8,.CD=d,并在点C测得塔顶4的仰角为，则塔高B为（） B dsin tana dsin A. sin(0+0) B.sin(0+0)tana 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d cos tana dsine tan a C.cos(8+02) D.sin(+0) 4.(25-26高三上·重庆·月考)飞盘运动是一项无肢体接触、低门槛、强社交属性的有氧运动，以塑胶飞 盘为核心器材，兼具竞技性与休闲性.如图，小华位于A处，小明位于B处，小华以”（单位：米秒） 的速度沿着AP方向将飞盘抛出，同时，小明以”的速度去接飞盘.已知B=8米， ∠BAP=30° 己知经过1秒.小明在C处接到飞盘.假设飞盘的飞行速度不变，小明的奔跑速度也不变， A 当 (I)求的最大值： 2若=25米秒，1=2秒，求 5.(25-26高三上·甘肃酒泉·期末)“2020~2025年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交 建集团投资建设的G312线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新 价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁数学兴趣小组想要测量桑园子 黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔MN垂直于桥面，一辆小汽车在 行驶过程中，车内观测员两次仰望塔项M的仰角分别为∠MDE=30°，∠MCE=45°（如图），设乘客眼晴 DA=CB=1m CD=90m D,C,E 离地面的距离为 .若 在同一水平高度，且D,MC,MW 在同一竖直平 面内，则北塔MN高为() --1 桥面 A.(45√5-44mB.(455+46mC.(90w5-89mD.(905+9列m 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展培优题 题型一 解三角形求周长 1.(25-26高二上·云南昆明·月考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 bcosC=3csin(A+C)-b (1)求C; (2)若c=2V5,sin4sinB= ,求△4BC的周长. 2.(25-26高三上·北京丰台期中)在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,且 bc=b2+c2-a2=4 (1)求角A的大小及△ABC的面积： (2)已知AC边上的中线BD=,求三角形ABD的周长 (25-26高三上河北保定期中)如图，平面四边形B0C中，∠ACD=汇，AC=V3,CD=1a1B 个内角么B,C的对边分别是a,bc,且sin1+V5 BacosC=56 (1)求角A: 2)若1B-V ,求△BAD的面积： (B)若∠D8C-若，求四边形ABDC的周长 4.(25-26高二上江苏南京·月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,且 3(sin B-sin C)3sin A-4sin C a b+c 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求sinB: 5√5 (2)若△ABC的面积为4，b=12,求△ABC的周长. c+b 3sinC-sinA 5.(25-26高三上浙江温州·月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sinC-sinB. (1)求角B的大小 2若点D是BC的中点，且 D=2,4B=23 ,求4ABC 的周长. 题型二 解三角形求面积 1.(25-26高一全国假期作业)已知△1BC A,B,C c,且+e2-ac=h a,b,c 的内角 的对边分别为 (1)求B的大小： 2若0=3c,AD是BC边上的高，且D=v5,求△MBC的面积 2.(25-26高三上·重庆期中)如图，记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 c.sin B+V3b.cosC=√3a B (1)求角B的值； 2设边8C的中点为D,若MD=4C=2万，求△4BC的面积 3.(25-26高三上湖南邵阳期中)在平面四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2,BC=1,AD∥BC, 且∠ADC=60° (1)求线段CD的长度： (2)求四边形ABCD的面积 10/15