数学二模模拟卷01（江苏专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○…… ………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 5．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 7．已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 8．甲、乙两人玩某一游戏，第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为，每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两局时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩此游戏的局数的均值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（    ） A．直线的斜率为 B．为的平分线 C．的面积为 D．H，M，P三点共线 11．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则（    ） A． B．可能为2 C． D．可能为0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量满足，且，则的值为 . 13．已知函数，若恒成立，则实数 ． 14．已知长方体中，，，为中点，，，，四点都在球的球面上，且，，，四点都在球的球面上，记球与球两球面上的所有公共点构成轨迹，则的周长为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 16．（15分） 已知中，内角的对边分别为，有． (1)证明：； (2)若，是边上一点，且，求． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面. (1)求证：； (2)设在线段和上，且为中点，，若直线与平面所成角的大小为， （i）求平面与平面所成角的余弦值； （ii）平面交直线于点，设，求的值. 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点． （i）求证：以为直径的圆过定点； （ii）当直线的斜率存在时，记的外接圆和内切圆的半径分别为，且，求直线的斜率． 19．（17分） 设，，.已知函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. (3)证明：若正实数满足，，则必有． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 5．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 7．已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 8．甲、乙两人玩某一游戏，第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为，每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两局时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩此游戏的局数的均值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（    ） A．直线的斜率为 B．为的平分线 C．的面积为 D．H，M，P三点共线 11．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则（    ） A． B．可能为2 C． D．可能为0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量满足，且，则的值为 . 13．已知函数，若恒成立，则实数 ． 14．已知长方体中，，，为中点，，，，四点都在球的球面上，且，，，四点都在球的球面上，记球与球两球面上的所有公共点构成轨迹，则的周长为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 16．（15分） 已知中，内角的对边分别为，有． (1)证明：； (2)若，是边上一点，且，求． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面. (1)求证：； (2)设在线段和上，且为中点，，若直线与平面所成角的大小为， （i）求平面与平面所成角的余弦值； （ii）平面交直线于点，设，求的值. 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点． （i）求证：以为直径的圆过定点； （ii）当直线的斜率存在时，记的外接圆和内切圆的半径分别为，且，求直线的斜率． 19．（17分） 设，，.已知函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. (3)证明：若正实数满足，，则必有． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 6 C C A A B B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 CD ABD AD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.5 13.-1 14.√11元 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】（1)证明：”an=a-1-b4+2n,b。=b-1-a,-1+2n, 两式相减得a,-b。=a,-1-b,-1+2n-b-1+a,-1-2n=2(a-1-b,-), 0,-b=20n≥2)， an-i-bn-1 又：4-b=2, ·数列{an-b}是首项为2，公比为2的等比数列.(5分) (2)数列{an-b}是首项为2，公比为2的等比数列， 六0n-bn=2×2"-=2", :an=a-1-b-1+2n,b。=bn-1-a-1+2n, 两式相加得a+b。=a-1-b,-1+2n+b,-1-a,-1+2n=4n, ∴.an+bn=4n(n22),an+1+bn1-an-bn=4(n≥2)， 当n=1时，a1+b=4满足上式， 1/7 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :数列{an+bn}是首项为4，公差为4的等差数列，即an+bn=4n, an-bn=2” ,解得a。=2"-+2n, an+b =4n 5,=(2°+2+…+2-)+(2+4+…+2m）=11-2)+2+2mn 1-2 2 =2"+n2+n-1.(13分) 16.(15分) 【解析】(1)：bcos2A+2 acosAcosB=0, .2R sin Bcos2A+2.2R sin AcosAcosB=0, .sin Bcos2A+2sin AcosAcosB =0, .sin Bcos2A+cosB sin 2A=0, sinB+2A=0,B+2A=π， 又因为A+B+C=π，：A=C;(5分) (2)ac 2acc0sB=ac. 0<B<元，B=π 4 :A=C,“4=C=3 , :LBAC=3LBAD,·∠BAD= 8, 六∠ADB=元-∠BAD-∠ABD=元-π_T-ST 848 在ABC中，：A=C,BA=BC, AB AD ..AB AD 在△ABD中，： sin∠4DB sin B sn玩 Sin, 8 4 5π ADsin ADsin Sx 8 2 5π .AB= 8 Sin sin sinπ ’4BBC-4B4B 4 8 4 AD2 AD2 AD2 sin 4 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 1-cos 5π 2 4 4 元=1+ 2 =1+c0s √2 4 2.(15分) 、2 2 17.(15分) 【解析】(1)连接AC和BD交于点O,连接PO ,底面ABCD为菱形， .O为AC的中点，且BD⊥AC 又：平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC, .BD⊥平面PAC,又：PCc平面PAC, .BD⊥PC.(3分) (2)因为PA=PC,所以P0⊥AC ,平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC, .PO⊥平面ABCD ·∠PBO是直线PB与平面ABCD所成角，即∠PBO= 3 在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°， B0=√5，A0=1 P0=tan=5,即P0=3. BO 3 ()如图，以0为原点，直线0B,0C,0P分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-z, ZA P A: :沙D B 则40-1o,5.aoj,c01o.-5.0o,P00w0-》 o丽=om+m-+号rc=0 所以m-5引丽=5 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设平面MND的法向量为i=(x,y,2, 则 0w-6+3:-0 2 2 i.DN=3x+y+z=0 31 令x=5,得8=-(6-1写) 平面ABCD的法向量为m=(0,0,1, 因此cos(m,）= m.i 3 7√85 网可85x1 85, 3 所求平面MND与平面ABCD所成角的余弦值为S5(1分) 85 (i)平面MWD交线段PB于点Q,设PO=2PB, 则D0=Dp+P0=Dp+2PB=V5+V5,0,3-32), 因为D0-i=0,(5+5小5+3-刘()=0， 即-4+102=0，解得2-号15分) 18.(17分) b=1 【解析】(1)由题意得 e=3 a 2 解得。=4，所以C的方程为号+2=1.（2分) a2=b2+c2 (2)()因为椭圆关于y轴对称，过点E的任意一条直线均有一条直线与之关于y轴对称， 所以以MN为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于y轴对称， 所以MN为直径的圆过定点，则由对称性可知该定点必在y轴上，设为点Q(0,), 若直线Mv的斜率存在，设其方程为y=红-}，点M(x,,N,, 联立 ,5，消去y化简可得1+4)x2-24-4=0, x2+4y2=4 5 25 24k 64 所以+51+4,5251+4 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由0v10w得0w-0=+m-4-小=5+-号小-0， →+（g*小++gj=0 层n传判.军mwp-小3w-0, 24k2 t2-1=0 所以 2512+30t-55=0 →t=1,故以MN为直径的圆过(0,1) 若直线1斜率不存在，以MN为直径的圆显然过(0,1， 综上，以MN为直径的圆过定点(0，；(9分) M (i)由(i)知，AM⊥AN,所以2R=MN,2r=AM+AN-MN, 因为V2(r+R)=MN,所以AM+AW=V2MN, 即|AM+AW+2AMAN=2MN,也即(AM-AN2=0, 所以AM=AN,取线段MN中点为P,则AP⊥MN, 因为+男=+小-号号1·所以点P9长为 12k 3 51+4k2)’51+4） 当k=0时，AP⊥MN,符合题意， 当长0时，0-5-2，则太p太=-5-2-1，解得大=±5 3k 3 5 综上，K=0或k=士5，即直线MN的斜率为0或±5.(17分) 5 19.(17分) 【解析】(1)设m=f)-r=c-x2+b,m0=+b 1 a 2 a mi)-g-,mio-日 1 a 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则函数y=f)-产在x=0处的切线方程为y-(+b)=上x-0 a a 1 即y=-x+(仁+b) a a 与y=x对照，知1=1且1+b=0 a 所以a=1,b=-1(3分) (2)由(1)知f)=e+x2-1 结论：当x∈0,1时，不等式r+x≤f≤-2+，4+x恒成立 2-x2 证明：由x2+x5f)5-2+,4+x 2-x21 推得1x+分式≤e≤-1+ 2x’x∈0，川 设g0-e---1,则s国=e-1. 令p(x)=e-x-1,当x∈[0,1时，p'(x)=e-1≥0 所以0x)在[0,1上单调递增，又p(0)=0 故p(x)=e-x-12p(0)=0,所以g'(x)=e-x-1≥0 所以)=。一方-1在Q创上单词递带，又g0=0 gt0=e-5-x1>80=0 所以e+ 而e≤-1+2-x 4 台x+2+(x-2)e20 设h(x)=x+2+(x-2)e*,x∈[0,1 则h'(x)=1+(x-1)e,令m(x)=1+(x-1)e m'(x)=xe≥0 所以m(x)=1+(x-1)e在[0,1上递增，又m(x)≥m(0)=0 即h'(x)=1+(x-1)e≥0， 所以h(x)=x+2+(x-2)e在[0,1]上递增，又h(0)=0 所以hx≥h(0=0,即e≤-1+于 4 2-x 6/7 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以1+x+5x2≤e*≤-1+ 1 2 +2’xe0,1(10分) 4 (3)因为f(x)=e+。x2-1[0,+∞上递增， 2 故当上s)s2时，必有，e0, n n+1 由(2)知当xe0,时，f(x)≥x2+x 所以f(x)2x0+ 当后时，有+品牌+场品0 n+1 设m(x)=x+ 品对称维=月 2 欲证52 2 +2'只需证m( )=(2)+22 20 n+2n+1 即证2×n+42 n+2n+2n+1' 即证(a+41+)≥u+22,即证n20,成立，所以6≤2 +2 又由(2)知f0)s-2+,4+{x 2-x2 412 所以f)-2+2-+乞6 1 +x-1≥0 n n 设p)=-2+,4+x-1 2-+25-m,p)在0,1刂递增 n 21+ 欲、1，月需证p(n+7)=2+中+-1≤0 2n+1n n+1 即证-2++少+(1y-1s0, 2n+12n+1'n 即i证-22m+1n+1y+4n+1a+1+（2n+)-2n+1n+≤0 n 即证2a++2n+)-2m+1a+1少≤0，即证（2n+)-a+1少s0 n n 1 即证n(2n+1)≤2(n+1)2,即证0≤3n+2成立，所以x≥ n+1 7ss2 1 综上， n+1 n+2’neN.(17分) 7/7 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中的元素性质求解集合，再根据交集的概念计算即可. 【详解】因为， 所以，故 ． 故选：C. 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得到，进而求出和，代入即可求出答案. 【详解】由题意得，则，， 所以. 故选：C. 3．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得图象变换后的函数解析式，根据对称性求得正确答案. 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位得 ， 由该函数为奇函数可知， 即，所以的最小正值为. 故选：A 4．在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 【答案】A 【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，， 所以的系数为0. 故选：A 5．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据直线与圆位置关系，以及充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即， 故“”是“圆上恰有2个点到直线 的距离为1”的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】设挖去的圆柱的半径为，根据圆台中挖去一个圆柱所得几何体的结构结合圆台、圆柱的侧面积公式计算得到所求的几何体的表面积表达式，再结合一元二次函数性质即可得解. 【详解】由题意可得圆台的母线长为，圆台的侧面积为，上下底面积之和为， 由题可设挖去的圆柱的半径为，则圆柱侧面积为，圆柱的上、下底面积均为， 所以得到的几何体的表面积为. 所以当时得到的几何体的表面积最大为. 故选：B 7．已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与均为等腰三角形，结合，分情况讨论三角形的腰长，进而求出椭圆的离心率. 【详解】已知椭圆的左、右焦点为，，左顶点. 因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为. 又为等腰三角形，，，. 由等腰三角形性质， 若，则，则，离心率. 若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立. 若，可得，则， 化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为. 故选：D 8．甲、乙两人玩某一游戏，第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为，每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两局时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩此游戏的局数的均值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用期望满足的性质可求题设中的数学期望. 【详解】设甲、乙两人玩的局数为，其数学期望为，由题设，游戏至少进行两局， 若，则比分为，且， 否则前两局的比分为，从此刻开始知道游戏结束，进行的局数的期望跟比分为时相同，总局数的期望为， 故，故， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据独立事件定义以及条件概率乘法公式计算可得，再由全概率公式计算可得各选项结果，即可得出AB错误，C正确，再由随机事件概率的加法公式计算可得D正确. 【详解】由，可得；因此C正确； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A错误； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 故选：CD 10．已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（    ） A．直线的斜率为 B．为的平分线 C．的面积为 D．H，M，P三点共线 【答案】ABD 【分析】先根据及抛物线的性质求出P点的坐标，对于A，可根据P点坐标直接求出PF的斜率；对于B，求出FQ的斜率，并结合PF的斜率分别求出、，据此可判断为的平分线；对于C，联立直线QF和抛物线C的方程，求出M的坐标，再结合点到直线的距离即可求解的面积；对于D，比较HM、HP的斜率即可判断是否三点共线． 【详解】如图所示， 抛物线的焦点为，准线为， 已知，所以的横坐标为，解得， 所以，解得，因此， 对于A，直线PF的斜率，故A正确； 对于B，是到准线的垂足，所以，又，， 所以FQ的斜率，故， 由得，所以， 所以为的平分线，故B正确； 对于C，QF的方程为，联立抛物线， 得，解得或（舍去），所以， PF的方程为， 点到直线PF的距离, 面积，故C错误； 对于D，，，， 则，，斜率相等， 所以H，M，P三点共线，故D正确． 故选：ABD． 11．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则（    ） A． B．可能为2 C． D．可能为0 【答案】AD 【分析】利用函数的奇偶性和对称性得到，进而判断A，利用反证法判断B，利用赋值法判断C，D即可. 【详解】对于A，设，因为为奇函数， 所以， 且，即.令， 则，则的图象关于点对称. 设，故， 即，可得为偶函数，令， 则，则的图象关于直线对称， 若，则即是奇函数，又是偶函数， 故只能有，即对任意成立， 则对任意成立，与矛盾，故，故A正确； 对于B，由于，若， 则，与2矛盾，故B错误； 对于D，取，则的图象关于点对称，， 即存在使得为0，故D正确； 对于C，取，则的图象关于直线对称， 故，令，有， 由D得，故存在使得不为，故C错误. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 13．已知函数，若恒成立，则实数 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论的取值范围即可求解. 【详解】当时，,则, 由于恒成立，则, 当时，,其对称轴为：, 由于,所以当时，, 则，解得：, 由于,则, 当时，时，，满足条件， 时，,满足恒成立 综上， 故答案为： 14．已知长方体中，，，为中点，，，，四点都在球的球面上，且，，，四点都在球的球面上，记球与球两球面上的所有公共点构成轨迹，则的周长为 . 【答案】 【分析】先由题意分析得到球心，的具体位置，再分析得到轨迹即为以为圆心，且过四点的圆的周长，然后在矩形中，求出外接圆直径，即可求出的周长. 【详解】    如图所示，设为的中点，分别为的中点， 分别为的中点，连接， 分别为的中点，， 由题意可知，因为四点都在球的球面上， 所以即为三棱锥外接球的球心， 也就是三棱柱外接球的球心， 因为三棱柱是直三棱柱，且为直角三角形， 所以外接球的球心在的中点处， 同理，就是三棱柱外接球的球心，且在的中点处， 因为球与球两球面同时经过四点， 所以球与球两球面上的所有公共点构成轨迹 即为以为圆心，且过四点的圆的周长， 在矩形中，因为，，， 所以，， 所以矩形的外接圆直径， 所以，所以外接圆的周长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用递推式相减得出的递推关系，进而得出是等比数列； （2）求出的通项公式，再利用递推式相加得出的递推关系求出通项公式，进而求出的通项公式及前项和． 【详解】（1）证明：，， 两式相减得， ， 又， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得，   ． 16．（15分） 已知中，内角的对边分别为，有． (1)证明：； (2)若，是边上一点，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式求解； （2）由结合余弦定理得到，由得到，由，求出和，由得到，在中，利用正弦定理得到，代入数值计算出，代入数值计算即可得解. 【详解】（1）， ， ， ， ，， 又因为，； （2），，， ，， ，， ，， 在中，，， 在中，，， ， . 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面. (1)求证：； (2)设在线段和上，且为中点，，若直线与平面所成角的大小为， （i）求平面与平面所成角的余弦值； （ii）平面交直线于点，设，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，再由线面垂直得线线垂直即可得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成的角； （ii）设，利用向量运算求出，再由求解. 【详解】（1）连接和交于点，连接. ∵底面为菱形， 为的中点，且 又平面平面，平面平面， 平面，又平面， . （2）因为，所以 ∵平面平面，平面平面， 平面. 是直线与平面所成角，即. 在菱形中，， . ，即. （i）如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 平面的法向量为， 因此， 所求平面与平面所成角的余弦值为 （ii）平面交线段于点，设， 则， 因为，即， 即，解得. 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点． （i）求证：以为直径的圆过定点； （ii）当直线的斜率存在时，记的外接圆和内切圆的半径分别为，且，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）0或． 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可计算求解； （2）（i）先由对称性得到定点必在轴上，设为点，分斜率存在和不存在两种情况分析，斜率存在时联立直线方程与椭圆方程求出韦达定理，利用韦达定理和即可分析求解定点，斜率不存在时求出过所求定点即可； （ii）由（i）得到、，结合题设分析计算得到，取线段中点为，进而得到即可进一步分析求解. 【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为． （2）（i）因为椭圆关于y轴对称，过点E的任意一条直线均有一条直线与之关于y轴对称， 所以以为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于y轴对称， 所以为直径的圆过定点，则由对称性可知该定点必在轴上，设为点， 若直线的斜率存在，设其方程为，点， 联立，消去化简可得， 所以， 由得， ， 即，即， 所以，故以为直径的圆过 若直线斜率不存在，以为直径的圆显然过， 综上，以为直径的圆过定点； （ii）由（i）知，，所以，， 因为，所以， 即，也即， 所以，取线段中点为，则， 因为，所以点的坐标为， 当时，，符合题意， 当时，，则，解得． 综上，或，即直线的斜率为0或． 19．（17分） 设，，.已知函数在处的切线方程为. (1)求的值； (2)当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. (3)证明：若正实数满足，，则必有． 【答案】(1) (2)恒成立，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义导数值等于切线的斜率即可求解. （2）时，将不等式恒成立，转化为恒成立，构造函数和分别证明不等式两侧恒成立即可. （3）利用（2）的结论当时，不等式恒成立，则当时，由可证明，再由可证明所以即可求解. 【详解】（1）设， ， 则函数在处的切线方程为 即 与对照，知且 所以 （2）由（1）知 结论：当时，不等式恒成立 证明：由 推得，. 设，则， 令，当时， 所以在上单调递增，又 故， 所以. 所以在上单调递增，又 所以 而 设， 则，令 所以在上递增，又 即， 所以在上递增，又 所以，即 所以， （3）因为上递增， 故当时，必有 由（2）知当时， 所以 当时，有，即 设，对称轴 欲证，只需证 即证， 即证，即证，成立，所以 又由（2）知 所以 当时，有，即 设，在递增 欲证，只需证 即证， 即证 即证，即证 即证，即证 成立，所以. 综上，， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) P M D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）