数学二模模拟卷01（广东专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知复数的实部与虚部相等，且满足（其中i为虚数单位），则实数（   ） A． B． C． D．3 3．已知函数为奇函数，则的值为（   ）. A．0 B． C．2 D．1 4．已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 6．记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．2 7．已知双曲线，若圆上存在点，使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．在区间单调递减 D．在有3个零点 10．在边长为 2 的正方形 中， 是 的中点， 是 的中点，将 ， 分别沿 ， 折起，使 三点重合于点 ，则（ ） A． B．三棱锥 的体积为 C．三棱锥 的外接球的表面积为 D．点 到平面 的距离为 11．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为 ． 13．在中，角、、的对边分别为、、.若，，，是的中点，则 . 14．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 16．（15分） 在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束. 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率； (2)记该队获得奖品的总个数为，求的分布列及数学期望. 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l． (1)证明：平面ABC； (2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； (3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且. （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）点是直线上的动点，过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和 四个不同点，其中的斜率为且，求的值. 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求在区间上的极值； (2)当时，若对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，且，证明：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C B B B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．32 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1），， . 当时，，且，. ，． ，， 所以中奇数项是以为首项，6为公差的等差数列；偶数项是以为首项，6为公差的等差数列. 所以当n为偶数时，， 当n为奇数时，， ．（6分） （2）证明：由（1）知是以1为首项，3为公差的等差数列， ，. 当时， 当时，， . .（13分） 16．（15分） 【解析】（1）原先装有2个，3个，4个玩具所在的盒子记为编号，“取到编号为的盒子”记为事件， “该队仅有乙获得奖品”记为事件，则 .（4分） （2）的可能取值为0，1，2，3， ① ②取到一个奖品，若其来自3号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数为4种，2种，1种． 取到一个奖品，若其来自4号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数共有3种． 所以. ③取到两个奖品，若其都来自4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为2种，1种，1种. 取到两个奖品，若其来自3号和4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为4种，3种，2种． 所以. ④取到三个奖品，取到3号盒子1次，4号盒子2次，对应的基本事件数共3种，所以. 所以分布列为： 0 1 2 3 .（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，平面，平面，所以平面；（3分） （2）， 如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，，，， 平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 解得：， 所以；（8分）    （3）直线与交于点，连接， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面为梯形， ，根据（2）可知，，， 则点到的距离， 由，且，所以， 所以是等边三角形，则， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面的面积，， 恒成立， 所以函数在区间上单调递减，所以的最大值为. 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值为12. （15分）    18．（17分） 【解析】（1）依题意，，所以，所以； 又，所以； 所以椭圆的方程为：；（3分） （2）（Ⅰ） 由（1）知，，所以； 又，所以， 又，所以，解得； 又，所以，所以； 故点的坐标为或；（8分） （Ⅱ）设，即； 由，得， 所以， ， 即； 因为， 所以 ， 同理，对于斜率为的直线， 可得； 又，所以， 因为过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点， 所以点不能在椭圆上； 若点在椭圆上，则，即，因此， 所以，即，解得.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）若，则，且，， 当时，则，可知在上单调递减， 所以在上无极值； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值.（4分） （2）由整理得， 令，则， 注意到，故由必要条件知，解得； 下面证明充分性：当时，因为，则， 令，则， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，则， 可知在区间上单调递增，则，充分性得证； 综上所述：实数的取值范围为.（10分） （3）不妨设， 当时，左边，右边，所以左边右边； 当时，左边，右边，所以左边右边； 当，因为，所以. 要证，即证， 即证，即证， 令，则 因为，所以，所以在区间上单调递减， 所以当时，，所以，所以在区间上单调递增， 因为，所以，所以， 所以，即. 综上可知：.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○…… ………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………… …… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知复数的实部与虚部相等，且满足（其中i为虚数单位），则实数（   ） A． B． C． D．3 3．已知函数为奇函数，则的值为（   ）. A．0 B． C．2 D．1 4．已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 6．记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．2 7．已知双曲线，若圆上存在点，使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．在区间单调递减 D．在有3个零点 10．在边长为 2 的正方形 中， 是 的中点， 是 的中点，将 ， 分别沿 ， 折起，使 三点重合于点 ，则（ ） A． B．三棱锥 的体积为 C．三棱锥 的外接球的表面积为 D．点 到平面 的距离为 11．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为 ． 13．在中，角、、的对边分别为、、.若，，，是的中点，则 . 14．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 16．（15分） 在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束. 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率； (2)记该队获得奖品的总个数为，求的分布列及数学期望. 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l． (1)证明：平面ABC； (2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； (3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且. （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）点是直线上的动点，过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和 四个不同点，其中的斜率为且，求的值. 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求在区间上的极值； (2)当时，若对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，且，证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用并集的运算求解. 【详解】，， ，的元素个数为. 故选：C. 2．已知复数的实部与虚部相等，且满足（其中i为虚数单位），则实数（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用复数的乘除法求出复数，再由题意建立关于的方程，求解即得. 【详解】由可得， 依题意，可得，解得. 故选：C. 3．已知函数为奇函数，则的值为（   ）. A．0 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】因为函数为奇函数， 当时，，则，所以， 又，则，即. 故选：C 4．已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故， 所以， 即，故， 所以同向共线，即存在实数，使，必要性成立， 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 【答案】B 【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， . 故选：B 6．记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．2 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，所以不成立，故不符合题意； 当时， ， 因为，所以，或舍去， ， 因为，所以，且， 所以，所以， 因为且， 所以. 故选：B 7．已知双曲线，若圆上存在点，使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，设PA中点为Q，根据中点坐标公式，可得Q点坐标，根据Q在渐近线上，代入可得，由题意，点P为圆M与直线的公共点，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式，计算化简，即可得答案. 【详解】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即， 设，设PA中点为Q，由，得， 因为Q在渐近线上，所以，即， 所以点P为圆M与直线的公共点， 由题意圆M的圆心为，半径为2， 则圆心M到直线的距离， 所以，即，解得. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：D 8．已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简，可得，结合条件求得，再利用和差角的正弦公式求得，进而求得答案. 【详解】因为 ， 所以，又，所以， 又， 解得，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．在区间单调递减 D．在有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据两角差的余弦公式，二倍角公式，降幂公式及辅助角公式化简，即可判断A；根据正弦函数的性质即可判断BCD． 【详解】 ， 对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以的图象关于点中心对称，故B错误； 对于C，当时，， 所以在区间单调递减，故C正确； 对于D，令， 当时，， 所以当，即时，， 所以在有3个零点，故D正确； 故选：ACD． 10．在边长为 2 的正方形 中， 是 的中点， 是 的中点，将 ， 分别沿 ， 折起，使 三点重合于点 ，则（ ） A． B．三棱锥 的体积为 C．三棱锥 的外接球的表面积为 D．点 到平面 的距离为 【答案】ACD 【分析】先根据折叠前后的几何关系证出 平面 ，利用等体积法结合三棱锥体积公式计算体积；再将三棱锥补成长方体，根据外接球的性质计算表面积；利用等体积法，先计算的面积，再用体积公式计算点到平面的距离. 【详解】如图，在正方形 中，， ， 折叠后， ， 因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ，故选项A正确， 由选项A，知 平面 ，所以 为三棱锥 的高， 已知正方形边长为 是 的中点， 是 的中点，则 ， 则， 所以 ，故选项B错误. 由于 ，所以三棱锥 的外接球就是以 为棱的长方体的外接球,所以 ，则 ， 因此外接球的表面积 ，故选项C正确. 设点 P 到平面 的距离为 ,由选项B可知 ， 在 中，根据余弦定理 ，则 ， 所以 ， 因此 ，即 ，解得 ，故选项D正确. 故答案选:ACD 11．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 【答案】AC 【分析】根据给定条件及抛物线的对称性，结合几何图形求出直线的斜率，进而求出点的坐标，再逐项求解判断即可. 【详解】由抛物线：的焦点为，得抛物线， 设，由对称性，不妨令点在第一象限， 连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点， 直线，由消去得，则，即， 直线，由消去得， 则，即，因此，点与关于轴对称，则， 同理得，点与关于轴对称，， 由与关于轴对称，得平分，则， 而，且，则， 于是，直线的斜率，直线， 由消去得，而， 解得，则，，点， 对于A，直线的斜率为，由对称性知，也是直线的斜率，A正确； 对于B，点或到轴的距离均为，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，直线的倾斜角，由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 代入可得， 令，可得展开式各项系数和为. 故答案为：. 13．在中，角、、的对边分别为、、.若，，，是的中点，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理可得，由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的长. 【详解】因为，由正弦定理可得，故，又因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以 ，故. 故答案为：. 14．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为 ， 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式可得，进而可得数列的奇数项和偶数项分别为公差为6的等差数列，从而可得数列的通项公式. （2）根据（1）的结论求得 ，再利用放缩法和裂项求和法证明不等式. 【详解】（1），， . 当时，，且，. ，． ，， 所以中奇数项是以为首项，6为公差的等差数列；偶数项是以为首项，6为公差的等差数列. 所以当n为偶数时，， 当n为奇数时，， ． （2）证明：由（1）知是以1为首项，3为公差的等差数列， ，. 当时， 当时，， . . 16．（15分） 在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束. 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率； (2)记该队获得奖品的总个数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算随机事件的概率. （2）先确定的可能取值为0，1，2，3，然后求出对应的概率，进而得到的分布列和期望. 【详解】（1）原先装有2个，3个，4个玩具所在的盒子记为编号，“取到编号为的盒子”记为事件， “该队仅有乙获得奖品”记为事件，则 . （2）的可能取值为0，1，2，3， ① ②取到一个奖品，若其来自3号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数为4种，2种，1种． 取到一个奖品，若其来自4号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数共有3种． 所以. ③取到两个奖品，若其都来自4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为2种，1种，1种. 取到两个奖品，若其来自3号和4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为4种，3种，2种． 所以. ④取到三个奖品，取到3号盒子1次，4号盒子2次，对应的基本事件数共3种，所以. 所以分布列为： 0 1 2 3 . 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l． (1)证明：平面ABC； (2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； (3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)12 【分析】（1）首先根据面面平行的性质可证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）首先根据垂直关系建立空间直角坐标系，再代入线面角的向量公式，即可求解； （3）首先确定截面的形状，再利用向量公式求点到直线的距离，再代入面积公式，利用导数确定函数的单调性，再求最值. 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，平面，平面，所以平面； （2）， 如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，，，， 平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 解得：， 所以；    （3）直线与交于点，连接， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面为梯形， ，根据（2）可知，，， 则点到的距离， 由，且，所以， 所以是等边三角形，则， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面的面积，， 恒成立， 所以函数在区间上单调递减，所以的最大值为. 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值为12.    18．（17分） 已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且. （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）点是直线上的动点，过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和 四个不同点，其中的斜率为且，求的值. 【答案】(1) (2)（Ⅰ）或，（Ⅱ） 【分析】（1）将已知点坐标代入椭圆方程，结合离心率公式列出方程组即可求解；（2）（Ⅰ）将点的坐标代入椭圆方程，利用向量的数量积公式列出方程即可求解；（Ⅱ）根据题意设出直线与的方程与椭圆方程联立，结合根与系数的关系与弦长公式代入方程即可求解. 【详解】（1）依题意，，所以，所以； 又，所以； 所以椭圆的方程为：； （2）（Ⅰ） 由（1）知，，所以； 又，所以， 又，所以，解得； 又，所以，所以； 故点的坐标为或； （Ⅱ）设，即； 由，得， 所以， ， 即； 因为， 所以 ， 同理，对于斜率为的直线， 可得； 又，所以， 因为过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点， 所以点不能在椭圆上； 若点在椭圆上，则，即，因此， 所以，即，解得. 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求在区间上的极值； (2)当时，若对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数分析原函数单调性和极值即可； （2）求导，注意到，则，可得必要性条件，再代入验证充分性即可； （3）不妨设，分，和三种情况讨论，整理可得，根据函数利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）若，则，且，， 当时，则，可知在上单调递减， 所以在上无极值； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）由整理得， 令，则， 注意到，故由必要条件知，解得； 下面证明充分性：当时，因为，则， 令，则， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，则， 可知在区间上单调递增，则，充分性得证； 综上所述：实数的取值范围为. （3）不妨设， 当时，左边，右边，所以左边右边； 当时，左边，右边，所以左边右边； 当，因为，所以. 要证，即证， 即证，即证， 令，则 因为，所以，所以在区间上单调递减， 所以当时，，所以，所以在区间上单调递增， 因为，所以，所以， 所以，即. 综上可知：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) C D B C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）