专题 三角恒等变换（专项训练）数学湘教版必修第二册

专题 三角恒等变换 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两角和与差的正（余）弦公式 题型二、两角和与差的正切公式 题型三、二倍角公式的简单应用 题型四、给角求值、给值求值、给值求角 题型五、辅助角公式的应用 题型六、利用半角公式化简求值问题 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两角和与差的正（余）弦公式 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 ． 4.若，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 6. 已知，． (1)求和的值； (2)若，且，求的值． 题型二、两角和与差的正切公式 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 3．已知角是第二象限角，，为第二象限角，． (1)的值； (2)求的值． 4．已知，且为钝角，则 . 5．（1）求值： （2）化简：. 题型三、二倍角公式的简单应用 1. 已知，则的值为 ． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 4．在中，角，，对的边分别为，，，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)证明：. (2)若的平分线AD交BC于D，，，求的值. 题型四、给角求值、给值求值、给值求角 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 3．（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 5．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 题型五、辅助角公式的应用 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）设函数，则（    ） A．的最大值为1 B．关于点对称 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 3．函数，的值域是 4．已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是 . 5．已知函数在时取得最大值，则 . 6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求A； (2)若，求周长的最大值． 题型六、利用半角公式化简求值问题 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．（多选题）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 3．若，且，是的两个根，则 . 4．已知函数在上的最大值为，则 . 5． 内角、、满足． (1)求的大小； (2)、分别为、上的点，，且平分，求． 1．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 3．已知＋b2＝1，则|acosθ＋2bsinθ|的最大值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 4．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________． 5．已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________． 6．在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为________． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是. (1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值． 8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)． (1)求sin 2α－tanα的值； (2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 三角恒等变换 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两角和与差的正（余）弦公式 题型二、两角和与差的正切公式 题型三、二倍角公式的简单应用 题型四、给角求值、给值求值、给值求角 题型五、辅助角公式的应用 题型六、利用半角公式化简求值问题 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两角和与差的正（余）弦公式 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先说明“”是“”成立的充分不必要条件(易于验证充分性，举反例说明非必要性），然后利用逆命题的关系得到结论. 【详解】当，，成立， 取，，成立， 所以“”是“”成立的充分不必要条件， 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，展开化简即可求解. 【详解】原式 ． 故选：A． 故选：B 3．已知，则 ． 【答案】-1 【分析】利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】将平方可得①， 将平方可得②， 将①②两式相加可得， 所以. 故答案为：-1 4.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】，即， 整理可得， 因为，，所以， 所以. 故选：A 5．已知为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】因为为锐角，所以， 由， 则， 则， 则， 整理得， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为. 故选：D. 6. 已知，． (1)求和的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的余弦公式可求得的值； （2）求出，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）因为，，则， 由二倍角公式可得， ， 因此，. （2）因为，，则， 所以，， 所以， . 题型二、两角和与差的正切公式 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知利用两角和的正切公式求得，再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】∵，解得， ∴. 故选：A． 2．下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正弦的和差角公式即可判断A，由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B；由正切的两角和公式可判断CD. 【详解】对于A，， 故A错误； 对于B，， 故B正确； 对于C，， 故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 3．已知角是第二象限角，，为第二象限角，． (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和的正弦公式即可求解； （2）由同角三角商的关系及两角和的正切公式即可求解； 【详解】（1）因为角是第二象限角，， 所以， 所以； （2）为第二象限角，， 所以， ， 所以 4．已知，且为钝角，则 . 【答案】 【分析】利用两角和差的正切公式计算，再结合的范围即可求得. 【详解】由题意可得， 因为钝角，即，则，则，即. 故答案为：. 5．（1）求值： （2）化简：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）可利用两角和的正切公式进行变形求解； （2）需要先将正切化为正弦和余弦，再结合三角函数的特殊值和两角差公式进行化简. 【详解】（1）因为， 所以. 则 （2）将，代入式子可得： 根据辅助角公式可得. 所以原式 根据二倍角公式，则. 所以. 题型三、二倍角公式的简单应用 1. 已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由二倍角公式以及同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】由题意有. 故答案为：. 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角差的正弦公式化简题设得，再结合诱导公式和倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以． 故选：A． 3．已知，则 【答案】/ 【分析】在等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值. 【详解】在等式两边平方得， 解得. 故答案为：. 4．在中，角，，对的边分别为，，，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理有，即，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理有：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C. 5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)证明：. (2)若的平分线AD交BC于D，，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用和差角正弦公式化简，借助于角的范围即可证明； （2）由已知条件和二倍角公式求得的值，利用等面积和（1）的结论推得即可. 【详解】（1）由及正弦定理， 得 所以， 所以， 即 由，得， 由，，可得 所以或（舍去）， 所以 （2）由，，可得 所以 因(*)， 由（1）可知，又AD平分， 故 则由(*)可得 又，则得 化简得， 两边同除以bc，得， 所以. 题型四、给角求值、给值求值、给值求角 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解． 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 2．已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解. 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 3．（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 4．已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 【答案】(1)最小正周期为；最大值为4 (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及诱导公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）由已知得，再根据诱导公式及二倍角公式即可求解． 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为； 当且仅当，即时，函数的最大值为4． （2）因为，所以，即， 所以 ． 5．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可. 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 题型五、辅助角公式的应用 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角恒等变换得到，数形结合得到，求出答案. 【详解】， 当时，， 由于在上单调递增， 故令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：C 2．（多选题）设函数，则（    ） A．的最大值为1 B．关于点对称 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】由两角和的余弦公式及辅助角公式得到，进而逐项判断即可. 【详解】因为， 所以函数的最大值为1．所以选项A正确； 由，得，即的对称中心是，． 所以选项B错误； 由，得， 即函数的单调递增区间为，． 所以选项C错误； ．所以选项D正确． 故选：AD． 3．函数，的值域是 【答案】 【分析】根据三角恒等变换化简函数为，利用正弦函数的性质求解. 【详解】， ，，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 4．已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是 . 【答案】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，根据偶函数的性质以及正弦函数的对称性，可得答案. 【详解】由，则， 由函数为偶函数，则轴为该函数图象的对称轴， 即，，化简可得，， 当时，取得最大负值为. 故答案为： 5．已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求A； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，由正弦定理求得，可得答案； （2）由余弦定理得，利用基本不等式可得，可解周长最大值. 【详解】（1）.，， ， 根据正弦定理， ，， ，即， ，所以，则， ； （2）由余弦定理， 得， 根据基本不等式，，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以当时，周长最大值是6. 题型六、利用半角公式化简求值问题 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数关系得到，利用凑角法和正切差角公式求出答案. 【详解】因为，所以且， 所以， 又，所以. 故选：C 2．（多选题）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D； 【详解】对于A：因为， 所以原式， A不符合； 对于B：原式 ，B符合； 对于C：原式 ，C符合； 对于D：原式，D符合. 故选：BCD. 3．若，且，是的两个根，则 . 【答案】/ 【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解. 【详解】因为、为关于x的方程的两个根， 所以， 又因为， 所以， 又，所以， ， 故答案为： 4．已知函数在上的最大值为，则 . 【答案】1 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 5． 内角、、满足． (1)求的大小； (2)、分别为、上的点，，且平分，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用弦化切结合三角恒等变换化简得出。利用正弦型函数的单调性与对称性可得出结果； （2）分析可得，，在中，利用正弦定理求出的值，分析出为锐角，求出的值，求出的值，分析出为锐角，结合二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）解：，即， 即， 所以，，即， 所以，， 因为，则，因为，则， 所以，或，所以，或（舍去）. 综上所述，. （2）解：如下图所示：    因为、分别为、上的点，，则， 所以，，则， 因为，则，， 因为平分，所以，，则，故， 所以，， 设，则，，其中， 在中，由正弦定理可得，所以，， 因为，则为锐角，即， 故， 所以，， 因为，所以，，故， 因为， 又因为， 所以，. 1．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：选C.因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°. 所以＝＝＝＝＝2.故选C. 2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 解析：选A.因为α∈，β∈，所以2α∈. 又0<sin 2α＝<，所以2α∈，即α∈，所以β－α∈， 所以cos 2α＝－＝－. 又sin(β－α)＝，所以cos(β－α)＝－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－×－×＝. 又α∈，β∈， 所以α＋β∈， 所以α＋β＝，故选A. 3．已知＋b2＝1，则|acosθ＋2bsinθ|的最大值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：选C.由＋b2＝1得a2＋4b2＝4.由辅助角公式可得|acosθ＋2bsinθ|＝|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C. 4．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________． 解析：由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，所以α－β＝， 所以即≤α≤π， 所以sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin＋sin(α－2α＋π) ＝cosα＋sinα＝sin. 因为≤α≤π，所以≤α＋≤， 所以－1≤sin≤1， 即取值范围为[－1，1]． 答案：[－1，1] 5．已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________． 解析：由sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°可得， m＝＝ ＝＝＝－. 答案：－ 6．在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为________． 解析：由题意知cos A，cos B，cos C均不为0，由sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C， 得tan A＝tan Btan C．又因为cos A＝13cos Bcos C，且cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C， 所以sin Bsin C＝14cos Bcos C，所以tan Btan C＝14.又tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan Btan C) ＝－tan A(1－tan Btan C)，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝196. 答案：196 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是. (1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)由题意，OA＝OM＝1， 因为S△OAM＝，α为锐角， 所以sinα＝，cosα＝. 又点B的纵坐标是. 所以sinβ＝，cosβ＝－， 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－. (2)因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－， sin 2α＝2sinα·cosα＝2××＝， 所以2α∈. 因为β∈， 所以2α－β∈. 因为sin(2α－β)＝sin 2α·cosβ－cos 2α·sinβ＝－， 所以2α－β＝－. 8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)． (1)求sin 2α－tanα的值； (2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域． 解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)， 所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－. 所以sin 2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－. (2)因为f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cos x，x∈R， 所以g(x)＝cos－2cos2x ＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1， 因为0≤x≤， 所以－≤2x－≤π， 所以－≤sin≤1， 所以－2≤2sin－1≤1， 所以g(x)在区间上的值域为[－2，1]． 21 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $