第2章 三角恒等变换测试（单元自测·基础卷）数学湘教版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高一数学单元自测卷 第二章 三角恒等变换·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.=（    ） A． B． C． D． 2. 下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 3. “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4.的值是（    ） A． B． C．1 D． 5.已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 6.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7. 若，则（   ） A． B． C． D． 8. 若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10.已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．在区间内的最小值为0 11.已知为锐角，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.函数的最小正周期为 ． 13. 已知为锐角，若，则 . 14. 已知，，，则 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)已知、均为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 16．(本小题满分15分) 已知. (1)求的值； (2)求的值. 17.(本小题满分15分)在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)若，，求的值； (2)若与的夹角为且，求的值. 18.(本小题满分17分) 设内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求角的角平分线的长. 19.(本小题满分17分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第二章 三角恒等变换·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B A C D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.(本小题满分13分) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为均为锐角，所以．2分 又，所以．5分 所以．8分 （2）根据第（1）问可知.13分 16．(本小题满分15分) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 2分 且，所以，4分 因为 5分 所以有，解得. 7分 （2）因为，所以. 9分 所以 11分 又由于 且，所以 所以： 15分 17.(本小题满分15分) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以，，所以 ，4分 故；7分 （2）因为，， 所以，，9分 ，因为与的夹角为， 所以，即，11分 所以，因为，所以， 所以，所以. 15分 18.(本小题满分17分) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得, 因为，所以，所以，3分 因为，所以，5分 因为，所以, 因为，所以，所以， 所以，即；8分 （2）因为，，所以, 即，12分 设的角平分线交于，因为， 所以，所以. 17分 19.(本小题满分17分) 【答案】(1)(2) 【详解】(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因为sin A≠0，所以sin＝sinB．3分 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.8分 (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 9分 由正弦定理得a＝＝＝＋. 11分 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°. 由(1)知A＋C＝120°， 所以30°<C<90°，故<a<2，15分 从而<S△ABC<. 因此，△ABC面积的取值范围是. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第二章 三角恒等变换·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及两角差的正弦公式即可求得答案. 【详解】 ， 故选：A 2. 下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系，即可得答案 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：B. 3. “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】分别判断充分性和必要性即可. 【详解】当时，此时没有意义，故没有意义，故“”是“”的非充分条件；由，，可知，故“”是“”的必要条件； 故选：B 4.的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由，结合两角差的正弦展开化简即可. 【详解】原式. 故选：A 5.已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题得，再根据求得，，最后根据和角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，即，所以，， 所以。故选：C 6.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系式和二倍角公式即可解得. 【详解】因为且，所以 从而. 故选：D 7. 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于，根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可求解. 【详解】由于，所以,故选：B 8. 若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ．故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由两角和的正弦公式可判断，对于BC，由两角和的正切公式可判断，对于D，由切化弦，结合余弦二倍角公式可判断. 【详解】 ，A正确；， 所以，B正确：，C错误；，D错误．故选：AB． 10.已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．在区间内的最小值为0 【答案】AC 【分析】首先利用三角恒等变换将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可； 【详解】根据题意可知 对于A，由，则， 则的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由， 则的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，当时，则，此时函数单调递减， 则函数在上单调递减，故C正确； 对于D，当时，则，函数在上单调递增，所以最小值为，故D错误． 故选：AC 11.已知为锐角，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由条件可知，通过已知条件与和差角公式化简得的值，转变成方程的两根，解方程得到，的值，再由二倍角公式求得的值，从而得出角的值. 【详解】易得，所以， 则，因此是方程的两根， 解得． 当时，因为，所以，此时不存在， 故，，， 则， 因为均为锐角，所以，． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.函数的最小正周期为 ． 【答案】π 【分析】先对函数化简，然后利用最小正周期公式求解即可 【详解】因为， 所以的周期为， 故答案为： 13. 已知为锐角，若，则 . 【答案】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出和，再代入两角和的正切公式计算结果. 【详解】已知为锐角，，则，. 所以.故答案为： 14. 已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用和差角的余弦公式，结合同角公式求解. 【详解】由，得，而，则， 又 ，解得， 又，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)已知、均为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用同角三角函数关系式，结合两角差的余弦公式计算即可； （2）运用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（1）因为均为锐角，所以． 又，所以． 所以． （2）根据第（1）问可知. 16．(本小题满分15分) 已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据和差的正切公式求出，进而求出. （2）先根据和差的正切公式求出，然后根据角的范围确定角的大小即可. 【详解】（1）因为 且，所以，因为 所以有，解得. （2）因为，所以. 所以 又由于 且，所以 所以： 17.(本小题满分15分)在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)若，，求的值； (2)若与的夹角为且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直列式求得，再利用两角差的正切求值； （2）直接利用数量积求夹角公式及辅助角公式可得，求得的值，则的值可求． 【详解】（1）因为，且， 所以，，所以 ， 故； （2）因为，， 所以，， ，因为与的夹角为， 所以，即， 所以，因为，所以， 所以，所以. 18.(本小题满分17分) 设内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求角的角平分线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理把边转化为角，结合诱导公式和二倍角公式变形即可得到角； （2）在中根据面积公式求得边，再由角平分线分得的两个三角形的面积之和等于大三角形的面积，列式求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得, 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以，所以， 所以，即； （2）因为，，所以, 即， 设的角平分线交于，因为， 所以，所以. 19.(本小题满分17分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 【详解】(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因为sin A≠0，所以sin＝sin B． 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°. 由(1)知A＋C＝120°， 所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<. 因此，△ABC面积的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测卷 第二章 三角恒等变换·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.=（    ） A． B． C． D． 2. 下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 3. “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4.的值是（    ） A． B． C．1 D． 5.已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 6.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7. 若，则（   ） A． B． C． D． 8. 若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10.已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．在区间内的最小值为0 11.已知为锐角，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.函数的最小正周期为 ． 13. 已知为锐角，若，则 . 14. 已知，，，则 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)已知、均为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 16．(本小题满分15分) 已知. (1)求的值； (2)求的值. 17.(本小题满分15分)在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)若，，求的值； (2)若与的夹角为且，求的值. 18.(本小题满分17分) 设内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求角的角平分线的长. 19.(本小题满分17分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $