第2章 三角恒等变换（知识清单）数学湘教版必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章三角恒等变换 思维导图 和差角公式 sin(a士 =sin a cos B士cos a sin B: cos (a+B) =co8aco8B干sin a sin B: tan(a+B)= tan±tnB 1干tan a tan B 简单的三角恒等变换 二倍角公式 sin 2a=2sin a cos a: cos 2amcos a-sin:a2cos'a-11-2sin'a: tan 2a= 2 tan a 1-tan2 a minia=1-cos 2d:com?a=1+cos 2d 2 2 知识清单 清单1两角和与差的正弦公式 sin(a+B)=sina cosB+cosa sin B S+B) 在公式Sa+®，中用-B代替B,就得到： sin(a-B)=sina cos B-cosa sin B S(-B) 记忆口诀：正余余正符号同 清单2两角和与差的余弦 两角和的余弦公式：cos(c士B)=coscs3干sinasinB C气吐) 1/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 记忆口诀：余余正正符号异 清单3两角和与差的正切公式 tan a tan B tana-tan B tan(a +B)= Ta+) tan(a-β)= 1-tan a tan B 1+tana tan B Tia-B (1)公式成立的条件是：a≠T+k,B≠+kπ，Q+B≠T+kr,或a-B≠T+k红，其中keZ; 2 2 (2)公式的变形：tana+tanB=tan(a+B)1-tan a tan B) tan a tan B tan(a -B)(1+tan a tan B) 清单4升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a 降幂公式：cos2a=1+cos2 2 ，sin2a=1-cos2a 2 利用二倍角公式的等价变形：1-c0sa=2sing，1+cosa=2cos2g进行“升、降幂"变换，即由左边的 2 次式”化成右边的“二次式”为“升幂"变换，逆用上述公式即为“降幂”变换。 清请单5二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2a =2sina.cosa (S2) cos2a cos2a-sin2a (C2) =2c0s20-1 =1-2sin2 2tand tan 2a (Tz) 1-tana 清单6和角公式、倍角公式之间的联系 在两角和的三角函数公式S。+B,Ca+B，T,B中，当a=B时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内 在联系如下： 20 6=t Sa+B 以-B代B Sa-B 02 Ca+B Ca-B 相除 相除 相除 B=a 以-B代B Ta+B Ta-B 2/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 清单7二倍角公式的逆用及变形 (1)公式的逆用 2 sin a cosa sin 2a sina cosa=-sin2a. 2 cos2 a-sin2 a 2cos2 a-1=1-2sin2 a cos 2a. 2tand tan 2a. 1-tan2a (2)公式的变形 1±sin2a=(sina±c05a);降幂公式：cos'a=+cos2,sin'a=1-cos2a 2 2 升幂公式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a 清单8辅助角公式 (1)形如asin x+bcosx的三角函数式的变形： asinx+bcosx=√a2+b a b Va2+b2 Va2+b2 a b 令c0sp= sin= 则 Va2+b2 Va2+b2 asinx+bcosx=va2+b2(sin xcoso+cosxsin)=va2+b2 sin(x+) (其中p角所在象限由ab的符号确定，p角的值由anp=2确定，或由sinp= b 和cos= a2+b2 va2+b2 共同确定.) (2)辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+p)(或asinx+bcosx=Va2+b2cos(a-p)),将形如 asin x+bcosx(a,b不同时为零)收缩为一个三角函数Va2+bsin(x+p)(或Va2+b2cos(a-p)).这种恒 等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式 的化简、求值等。 清单9.半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） 1-cosa 1+cosa sin cos- 2 2 2 1-c0s tan =士 2 1+cosa sina 1-cosa tan 2-1+cosa tan 2 sina 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 易错总结 易错点1不会逆用公式，找不到思路 例题.tan20°+tan40°+3tan20°，tan40°= 易错点2不会合理配角出错 例题.sin15°+sin75°懼 易错点3忽视角的范围用错公式 例题.已知0∈aws4 allcol(0,π2)，且sinlalvs.4alco1(0-fπ4》=210，则tan2θ= 易错训练 1.已知sina=25,则cos(π+2a)=() A.725 B.-725 C.1725 D.-1725 2.设a∈avs4 al col(0,fn2),若coslalvs-4 alcol(a+fπ6)=45，则sina=() A.3)10 B.3)10 C.3)+410 D.3)-410 3,已知cos0sin0=3cos(2T+0),0<n2,则sin20=() A.2)9 B.2)3 C.2)9 D.2)9 4.已知tana=m3,tanlalvs4 allcol(a+fπ4)=2m,则m=() A.-6或1 B.-1或6 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.6 D.1 5.已知coslalvs4 allcol(x-fn6)=14,则cosx+coslawvs-4alco1c-fπ3)=(） A.3)4 B.-3)4 C.14 D.±3)4 6.若sin2a=a,cos2a=b,且tanlalvs4 alcol(f(n4)+a有意义，则tanlalvs4 allcol(fπ4)+a=() A.1+a+bl-a+b B.a+1-ba-1+b C.1+ab D.bl-a 7.2cos10°-sin20sin70的值是() A.12 B.3)2 C.3 D.2 8.若tan(a+80)=4sin420°，则tan(a+20)的值为( A.-3)5 B.35 C.3)19 D.3)7 9.已知sin2a=23,则cos2aws4 alcol1a+fπ4)等于(） A.16 B.13 C.12 D.23 10.已知coslalvs-4 allcol(x-fn6)=13,则cosx+coslalvs4 alcol(c-fπ3)=() A.3)2 B.3 C.12 D.3)3 11.已知coslalvs4-allcol0fm6)-o=3)3,则sinlalvs-4 alcollf5n6)-2o的值为() A.13 B.-13 C.23 D.-23 12.设a∈avs4 allcol(0,2》,B∈avs4 allcol(0,fn4),且tana=1+sin2Bcos2B,则下列结论中正 确的是() A.a-B=π4 B.a+B=π4 C.2a-B=π4 D.2a+B=n4 l3.若a∈avs4 allcol(fn2),,且3cos2a=sinlalvs-4 alcol(fn4)-c,则sin2c的值为() A.-118 B.118 C.-1718 D.1718 14.已知sina=-45aws4 allcol(a∈bucyrcynaws4 allcol(y3n2),2》,若sin(a+β)cosB=2,则tan (a+)=() A.613 B.136 C.-613 D.-136 15.3)sin10r1-cos80)的值为 16.设a是第四象限角，若sn3 asin a=135,则tan2a= 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.若sinacosB=34,则cos0sinB的取值范围为 18 sin 10sin 50sin 70= 19.已知sinB=35,B∈avs4 allcol(f(n2),,且sin(a+=cosa,则tan(a+)= 20.若a为第一象限角，且sin2a=sinlalvs4 alcol(a-fn2cos(π+a),则2 coslalvs4 alcol(2a-fπ4)的值 为 21.已知a,β均为锐角，且sina=35,tan(a-=-13 (I)求sin(a-)的值 (2)求cosB的值. 22.已知coslalvs4 allcol(f(iπ6+acoslalvs-4 allcol(f(n3)-a)=-14,a∈alvs4 allcol(f(ππ2). (1)求sin2a的值， (2)求tana-1tama的值. 23.已知sinlalvs4 allcol(a+fπ4)=2)10，a∈avs4 al\col(f1π2)，.求： (1I)cosc的值， (2)sinlalvs4 al col2a-fπ4)的值. 6/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.(一题多解)已知函数x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4k. (1)求x)的最小正周期及最大值； (2)若a∈avs4 allcol(f(n.2),,且a=2)2,求a的值. 7/7 第2章 三角恒等变换 清单1 两角和与差的正弦公式 在公式中用代替，就得到： 记忆口诀：正余余正符号同 清单2 两角和与差的余弦 两角和的余弦公式： 记忆口诀：余余正正符号异 清单3 两角和与差的正切公式 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： 清单4 升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 清单5 二倍角的正弦、余弦、正切公式 清单6 和角公式、倍角公式之间的联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 清单7 二倍角公式的逆用及变形 （1）公式的逆用 ；． ． ． （2）公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 清单8 辅助角公式 （1）形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） （2）辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 清单9.半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 易错点1不会逆用公式，找不到思路 例题. tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________． 解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， 所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝－tan 20°tan 40°， 所以原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案： 易错点2不会合理配角出错 例题. sin 15°＋sin 75°的值是________． 解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝. 答案： 易错点3忽视角的范围用错公式 例题. 已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________． 解析：法一：sin＝， 得sin θ－cos θ＝，① θ∈，①平方得2sin θcos θ＝， 可求得sin θ＋cos θ＝， 所以sin θ＝，cos θ＝， 所以tan θ＝，tan 2θ＝＝－. 法二：因为θ∈且sin＝， 所以cos＝， 所以tan＝＝， 所以tan θ＝. 故tan 2θ＝＝－. 答案：－ 1.已知sin α＝，则cos(π＋2α)＝(　　) A．　　　　　 B．－ C． D．－ 解析：选D.法一：因为sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝，所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－. 法二：因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝， 所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－. 2.设α∈，若cos＝，则sin α＝(　　) A. B. C. D. 解析：选D.由题意知α∈，cos＝，则sin＝，所以sin α＝sin＝sincos －cossin ＝，故选D. 3．已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　) A. B. C. D. 解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故选C. 4．已知tan α＝，tan＝，则m＝(　　) A．－6或1 B．－1或6 C．6 D．1 解析：选A.由题意，tan α＝，tan＝＝，则＝，所以m＝－6或1，故选A. 5．已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　) A. B．－ C. D．± 解析：选A.因为cos＝， 所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ＝＝cos ＝×＝. 故选A. 6．若sin 2α＝a，cos 2α＝b，且tan有意义，则tan＝(　　) A. B. C. D. 解析：选C.因为sin 2α＝a，cos 2α＝b，所以tan＝＝＝＝＝，故选C. 7.的值是(　　) A. B. C. D. 解析：选C.原式＝ ＝ ＝＝. 8．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　) A．－　　 B. C. D. 解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D. 9．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　) A. B. C. D. 解析：选A.cos2＝ ＝＝，又sin 2α＝， 所以原式＝＝，故选A. 10．已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　) A. B. C. D. 解析：选D.cos x＋cos＝cos＋cos＝2coscos ＝，故选D. 11．已知cos＝，则sin的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：选B.sin＝sin ＝cos＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选B. 12．设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　) A．α－β＝ B．α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 解析：选A.tan α＝＝＝＝＝tan.因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝. 13．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选C.由3cos 2α＝sin可得 3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)， 又由α∈可知cos α－sin α≠0， 于是3(cos α＋sin α)＝， 所以1＋2sin α·cos α＝，故sin 2α＝－.故选C. 14．已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：选A.因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝. 15.的值为________． 解析：原式＝＝＝. 答案： 16．设α是第四象限角，若＝，则tan 2α＝________． 解析：＝＝ ＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，解得cos2α＝. 因为α是第四象限角，所以cos α＝，sin α＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝， 所以tan 2α＝－. 答案：－ 17．若sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围为________． 解析：因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝＋cosαsinβ∈[－1，1]，所以－≤cosαsinβ≤. 同理sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－cosαsinβ∈[－1，1]，所以－≤cosαsinβ≤. 综上可得，－≤cosαsinβ≤. 答案： 18．sin 10°sin 50°sin 70°＝________． 解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝＝＝. 答案： 19．已知sin β＝，β∈，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝________． 解析：因为sin β＝，β∈，所以cos β＝－. 由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2. 答案：－2 20．若α为第一象限角，且sin 2α＝sincos(π＋α)，则cos的值为________． 解析：由sin 2α＝sincos(π＋α)， 得2sin αcos α＝cos2α. 因为α为第一象限角，所以tan α＝， 所以cos＝ ＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α ＝ ＝＝. 答案： 21．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－. (1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． 解：(1)因为α，β∈，从而－<α－β<. 又因为tan(α－β)＝－<0， 所以－<α－β<0. 利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，且＝－， 解得sin(α－β)＝－. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝. 因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝. 所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×(－)＝. 22．已知coscos＝－，α∈. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－的值． 解：(1)coscos ＝cossin＝sin＝－，即sin＝－. 因为α∈，所以2α＋∈， 所以cos＝－， 所以sin 2α＝sin ＝sincos －cossin ＝－×－(－)×＝. (2)因为α∈，所以2α∈， 又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－. 所以tan α－＝－＝ ＝＝－2×＝2. 23．已知sin＝，α∈.求： (1)cosα的值； (2)sin的值． 解：(1)sin＝， 即sinαcos＋cosαsin＝， 化简得sinα＋cosα＝，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②解得cosα＝－或cosα＝， 因为α∈.所以cosα＝－. (2)因为α∈，cosα＝－， 所以sinα＝， 则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sinαcosα＝－， 所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－. 24．(一题多解)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． 解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x) ＝sin， 所以f(x)的最小正周期为，最大值为. (2)法一：因为f(α)＝， 所以sin＝1. 因为α∈，所以4α＋∈. 所以4α＋＝.故α＝. 法二：因为f(α)＝， 所以sin＝1. 所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z， 所以α＝＋，k∈Z. 又因为α∈， 所以当k＝1，即α＝时，符合题意． 故α＝. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $