第2章 三角恒等变换（复习讲义）数学湘教版必修第二册

第2章 三角恒等变换（复习讲义） 1.了解两角差的余弦公式的推导过程,会从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 3.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 4.会利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式进行化简、求值、证明. 1.两角和与差的正弦公式 在公式中用代替，就得到： 记忆口诀：正余余正符号同 2.两角和与差的余弦 两角和的余弦公式： 记忆口诀：余余正正符号异 3.两角和与差的正切公式 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： 4.升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 5.二倍角的正弦、余弦、正切公式 6.和角公式、倍角公式之间的联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 7.二倍角公式的逆用及变形 （1）公式的逆用 ；． ． ． （2）公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 8. 辅助角公式 （1）形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） （2）辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 9.半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 题型一三角函数公式的直接应用 【例1】已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 【答案】B 【解析】因为sinθ＋sin ＝sinθ＋cosθ＝sin ＝1， 所以sin ＝，故选B. 【变式1-1】已知cos－sin ＝，则sin＝________． 【答案】－ 【解析】由cos－sinα＝cosα－sinα－sinα ＝cosα－sinα＝ ＝cos ＝sin＝， 得sin＝.sin ＝－sin＝－sin＝－. 【变式1-2】若sin ＝，则sin＝(　　) A．－ B． C．－ D. 【答案】D 【解析】方法一：因为sin＝， 所以sin＝sin ＝cos＝1－2sin2 ＝1－2×＝，故选D. 方法二：因为sin＝cos ＝cos＝， 所以cos＝2×－1＝－. 因为cos＝－sin， 所以sin＝，故选D. 【变式1-3】若tan＝－2，则tan 2＝________． 【答案】 【解析】由tan＝－2可得＝－2，即＝－2， 化简得tanα＝－3，所以tan 2α＝＝＝. 题型二 三角函数公式的逆用与变形应用 【例2】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　) A．－ B． C. D．－ 【答案】B 【解析】由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1， 即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)， 所以A＋B＝，所以C＝，cos C＝. 【变式2-1】已知sin＋cos＝1，cos＋sin＝0，则sin(α＋β)＝________． 【答案】－. 【解析】因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①， cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②， 两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin α·cos β＋cos αsin β)＝1， 所以sin(α＋β)＝－. 【变式2-2】(1－tan215°)cos215°＝(　　) A. B．1 C. D. 【答案】C 【解析】选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝. 【变式2-3】已知sin 2α＝，则cos2＝(　　) A．－ B． C．－ D. 【答案】D 【解析】选D.cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝. 【变式2-4】＝(　　) A. B． C．－ D．－ 【答案】B 【解析】选B.原式＝＝ ＝tan(45°＋15°)＝. 题型三 三角函数公式中变“角” 【例3】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．， 【答案】－ 【解析】由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－. 【变式3-1】若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________． 【答案】－1　 【解析】因为tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝＝. 【变式3-2】设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝________． 【答案】 【解析】依题意得sinα＝＝， 因为sin(α＋β)＝<sin α且α＋β>α， 所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. (2) 【变式3-3】已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为________． 【答案】 【解析】cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝， 所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝. 题型四 三角函数公式中变“名” 【例4】求值：－sin 10°. 【答案】 【解析】原式＝－sin 10° ＝－sin 10°· ＝－sin 10°· ＝－2cos 10°＝ ＝ ＝＝＝. 【变式4-1】4sin 20°＋tan 20°＝________． 【答案】 【解析】原式＝4sin 20°＋ ＝ ＝ ＝＝. 【变式4-2】＝________．(用数字作答) 【答案】 【解析】 ＝＝＝ ＝. 题型五 三角函数式的化简 【例5】化简：＝________； 【答案】cos 2x. 【解析】　原式＝ ＝ ＝＝＝cos 2x. 【变式5-1】化简：＝________(其中0<α<π)． 【答案】cosα 解析：原式＝ ＝＝， 因为0<α<π，所以0<<，故cos >0， 所以原式＝cosα. 【变式5-2】化简：＝________． 【答案】4sin 【解析】＝ ＝＝4sinα. 【变式5-3】化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________． 【答案】 【解析】　 (2)方法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β ＝＋－cos 2αcos 2β ＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝. 方法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝. 方法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α)·(cos2β－sin2β) ＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β) ＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)] ＝(sin2α＋cos2α)＝. 题型六 三角函数的求值（给角求值） 【例6】求值：= ； 【答案】 【解析】原式＝＝＝＝. 【变式6-1】= . 【答案】－4 【解析】原式＝＝ ＝＝＝－4. 【变式6-2】[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________． 【答案】 【解析】　原式＝ · ＝·cos 10° ＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝. 【变式6-3】 已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝________ 【答案】 解析：tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝. 题型七 三角函数的求值(给值求值) 【例7】已知cos＝，若π<x<π，则的值为________． 【答案】－ 【解析】　法一：由π<x<π，得π<x＋<2π. 又cos＝，所以sin＝－， 所以cos x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－， 从而sin x＝－，tan x＝7. 则＝＝ ＝－. 法二：由法一得tan＝－. 又sin 2x＝－cos＝－cos 2 ＝－2cos2＋1＝－＋1＝. 则＝＝ ＝＝ sin 2x·＝sin 2x·tan(x＋)＝×(－)＝－. 【变式7-1】已知α∈，且2sin2－sin·cos－3cos2＝0，则＝________． 【答案】 【解析】因为2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0， 则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0， 又因为α∈，sinα＋cosα>0， 所以2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1， 所以cosα＝，sinα＝， 所以 ＝＝＝＝. 【变式7-2】若sincos＝，则cossin的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝＋cosαsinβ∈[－1，1]，所以－≤cosαsinβ≤. 同理sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－cosαsinβ∈[－1，1]，所以－≤cosαsinβ≤. 综上可得，－≤cosαsinβ≤. 答案： 题型八 三角函数的求值(给值求角) 【变式8-1】 【变式8-2】 【变式8-3】 【例8】已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】D 【解析】(1)因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，则 ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，所以cos＝， 所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选D. 【变式8-1】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________． 【答案】－π 【解析】因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝>0，所以0<α<. 又因为tan 2α＝＝＝>0， 所以0<2α<， 所以tan(2α－β)＝＝＝1. 因为tanβ＝－<0，所以<β<π，－π<2α－β<0， 所以2α－β＝－π. 【变式8-2】已知α为锐角，且cosα (1＋tan 10°)＝1，则α的值为(　　) A．20°　　　　　　　　 B．40° C．50° D．70° 【答案】B 【解析】由cosα(1＋tan 10°)＝1，可得cosα×＝1， 所以cosα×＝1，所以cosα＝＝＝＝cos 40°，又α为锐角，所以α＝40°，选B. 【变式8-3】若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________． 【答案】 【解析】因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，所以2α∈， 所以cos 2α＝－且α∈， 又因为sin(β－α)＝，β∈， 所以β－α∈，所以cos(β－α)＝－， 所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝×－×＝， 又α＋β∈，所以α＋β＝. 题型九 三角恒等变换的综合应用 【例9】已知函数f(x)＝sin＋cos. (1)求函数f(x)在区间上的最值； (2)若cos θ＝，θ∈，求f的值． 【解析】(1)由题意得f(x)＝sin＋cos ＝× ＝－sin. 因为x∈，所以x－∈， sin∈， 所以－sin∈， 即函数f(x)在区间上的最大值为， 最小值为－. (2)因为cos θ＝，θ∈， 所以sin θ＝－， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－， cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝， 所以f＝－sin ＝－sin ＝－(sin 2θ－cos 2θ) ＝(cos 2θ－sin 2θ) ＝＝. 【变式9-1】已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R. (1)求f的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f. 【解析】(1)f＝cos2＋sin cos ＝＋×＝. (2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x　 ＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin， 所以f＝＋sin ＝＋sin＝＋(sin α＋cos α)． 又因为sin α＝，且α∈， 所以cos α＝－， 所以f＝＋ ＝. 【变式9-2】已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． 【解析】(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x) ＝sin， 所以f(x)的最小正周期为，最大值为. (2)法一：因为f(α)＝， 所以sin＝1. 因为α∈，所以4α＋∈. 所以4α＋＝.故α＝. 法二：因为f(α)＝， 所以sin＝1. 所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z， 所以α＝＋，k∈Z. 又因为α∈， 所以当k＝1，即α＝时，符合题意． 故α＝. 基础巩固通关测 1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝. 2．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝(　　) A．－1 B．－ C. D. 解析：选B.因为角α与角β均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，所以β＝π－α＋2kπ，k∈Z，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos 2α， 又sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝，所以cos(α－β)＝－，故选B. 3．若2cos 2x＝1＋sin 2x，则tan x＝(　　) A．－1 B． C．－1或 D．－1或或3 解析：选C.方法一：由题设得，2(cos2x－sin2x)＝1＋2sin xcos x，所以2(cos x＋sin x)(cos x－sin x)＝(sin x＋cos x)2，所以sin x＋cos x＝0或sin x＋cos x＝2cos x－2sin x，所以tan x＝－1或tan x＝. 方法二：由2cos 2x＝1＋sin 2x，得2(cos2x－sin2x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x，化简得cos2 x－2sin xcos x－3sin2x＝0，所以(cos x－3sin x)(cos x＋sin x)＝0，所以cos x＝3 sin x或cos x＝－sin x，所以tan x＝或tan x＝－1. 方法三：由，得5sin22x＋2sin 2x－3＝0，所以sin 2x＝，或sin 2x＝－1.当sin 2x＝时， sin 2x＝＝＝，所以3tan2x－10tan x＋3＝0，解得tan x＝或tan x＝3，但tan x＝3时，cos 2x<0，1＋sin 2x>0，不合题意舍去，经检验，tan x＝符合题意；当sin 2x＝－1时，tan x＝－1，经检验，tan x＝－1符合题意．综上，tan x＝或tan x＝－1. 4．已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　) A. B．－ C. D．± 解析：选A.因为cos＝， 所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ＝＝cos＝×＝.故选A. 5．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C. 6．若tan＝3cos(α－π)，则cos 2α＝(　　) A．－1　　　　　　　　　 B． C．0或 D．－1或 解析：选D.由tan＝3cos(α－π)，得＝－3cos α，即＝－3cos α，所以cos α＝0或sin α＝－，故cos 2α＝2cos2α－1＝－1或cos 2α＝1－2sin2α＝.故选D. 7.＝(　　) A. B． C. D．1 解析：选A.＝ ＝＝＝. 8．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　) A．－ B． C. D. 解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D. 9．已知cos＝－，则sin－cos α＝(　　) A．± B．－ C. D．± 解析：选D.sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D. 10．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A. B． C. D. 解析：选C.方法一：因为0<α<，0<β<，所以－<α－β<，又sin α＝，sin(α－β)＝－，所以cos α＝＝，cos(α－β)＝＝，则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，则β＝，故选C. 方法二：因为0<α<，0<β<，所以－<α－β<，又sin α＝，sin(α－β)＝－，所以cosα＝＝，cos(α－β)＝＝，则cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，则β＝，故选C. 11．已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan＝________． 解析：方法一：因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，由sin2θ＋cos2θ＝1可知，sin2θ＝，cos2θ＝，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－，tan＝＝＝. 方法二：因为tan θ＝2，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－，tan＝＝＝. 答案：－　 12．sin 10°sin 50°sin 70°＝________． 解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝＝＝. 答案： 13．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________． 解析：依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－. 又β是第三象限角，因此有cos β＝－， 所以sin＝－sin ＝－sin βcos －cos βsin ＝. 答案： 14．若＝sin 2θ，则sin 2θ＝________． 解析：由题意知＝sin 2θ， 所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ， 则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ， 所以sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)． 答案：－ 15．tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝________． 解析：tan 70°cos 10°(tan 20°－1) ＝·cos 10° ＝· ＝＝＝－1. 答案：－1 16．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________． 解析：因为α∈，－α∈， cos＝，所以sin＝－， 因为sin＝－，所以sin＝， 又因为β∈，＋β∈， 所以cos＝， 所以cos(α＋β)＝cos ＝×－×＝－. 答案：－ 17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. (1)求sin的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值． 解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的终边过点P，得cos α＝－， 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 18．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解：(1)因为tanα＝，tanα＝， 所以sinα＝cosα. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝－. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 所以tan(α＋β)＝－2. 因为tanα＝，所以tan 2α＝＝－， 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 19．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2. 所以tan(α＋β)＝＝＝1. 因为α∈，β∈，所以<α＋β<， 所以α＋β＝. 20．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝. (1)求sin 2β的值； (2)求cos的值． 解：(1)方法一：因为cos＝cos cos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，所以cos β＋sin β＝， 所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－. 方法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－. (2)因为0<α<<β<π， 所以<β－<，<α＋β<. 所以sin>0，cos(α＋β)<0， 因为cos＝，sin(α＋β)＝， 所以sin＝，cos(α＋β)＝－. 所以cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝－×＋×＝. 能力提升进阶练 1．若α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α－β)＝， 则cosβ＝(　　) A. B． C.或－ D.或 解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，所以sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A. 2．已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin＝(　　) A．－ B． C．－ D. 解析：选C.tanα＋tan ＝2tanαtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin ＝－sin ＝cossin －sincos ＝－. 3．设α∈，β∈，且tanα＝，则下列结论中正确的是(　　) A．α－β＝ B．α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 解析：选A.tanα＝＝＝＝＝tan.因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝. 4. 已知3π≤θ≤4π，且 ＋ ＝，则θ＝(　　) A.或　　　　　　 B．或 C.或 D.或 解析：选D.因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，则 ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝， 所以cos＝， 所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选D. 5．已知cos＋sinα＝，则sin＝________． 解析：由cos＋sin α＝， 可得cosα＋sinα＋sinα＝， 即sinα＋cosα＝， 所以sin＝， 即sin＝， 所以sin＝－sin＝－. 答案：－ 6．若sin＝2cosαsin ，则＝________． 解析：因为sin＝2cos αsin ， 所以sinαcos－cosαsin＝2cosαsin， 所以sinαcos＝3cosαsin. 所以tanα＝3tan， 所以＝ ＝＝＝＝. 答案： 7．若sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围为________． 解析：因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝＋cosαsinβ∈[－1，1]， 所以－≤cosαsinβ≤. 同理sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－cosαsinβ∈[－1，1]， 所以－≤cosαsinβ≤. 综上可得，－≤cosαsinβ≤. 答案： 8．已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值． 解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝， 即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝. 又2α∈，所以cos 2α＝＝， 所以tan 2α＝＝. (2)因为β∈，所以β－∈， 又sin＝， 所以cos＝， 于是sin 2＝2sin·cos＝. 又sin 2＝－cos 2β， 所以cos 2β＝－， 又2β∈，所以sin 2β＝， 又cos2α＝＝，α∈， 所以cosα＝，sinα＝. 所以cos(α＋2β)＝cosαcos 2β－sinαsin 2β ＝×－× ＝－. 9．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝. (1)求A的值； (2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2. (2)由f＝2cos ＝2cos＝－2sinα＝－， 得sinα＝，又α∈， 所以cosα＝. 由f＝2cos(β－＋)＝2cosβ＝， 得cosβ＝，又β∈，所以sinβ＝， 所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝×－×＝－. 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 三角恒等变换（复习讲义） 1.了解两角差的余弦公式的推导过程,会从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 3.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 4.会利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式进行化简、求值、证明. 1.两角和与差的正弦公式 在公式中用代替，就得到： 记忆口诀：正余余正符号同 2.两角和与差的余弦 两角和的余弦公式： 记忆口诀：余余正正符号异 3.两角和与差的正切公式 （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： 4.升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 5.二倍角的正弦、余弦、正切公式 6.和角公式、倍角公式之间的联系 在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 7.二倍角公式的逆用及变形 （1）公式的逆用 ；． ． ． （2）公式的变形 ；降幂公式： 升幂公式： 8. 辅助角公式 （1）形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） （2）辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 9.半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 题型一三角函数公式的直接应用 【例1】已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 【变式1-1】已知cos－sin ＝，则sin＝________． 【变式1-2】若sin ＝，则sin＝(　　) A．－ B． C．－ D. 【变式1-3】若tan＝－2，则tan 2＝________． 题型二 三角函数公式的逆用与变形应用 【例2】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　) A．－ B． C. D．－ 【变式2-1】已知sin＋cos＝1，cos＋sin＝0，则sin(α＋β)＝________． 【变式2-2】(1－tan215°)cos215°＝(　　) A. B．1 C. D. 【变式2-3】已知sin 2α＝，则cos2＝(　　) A．－ B． C．－ D. 【变式2-4】＝(　　) A. B． C．－ D．－ 题型三 三角函数公式中变“角” 【例3】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．， 【变式3-1】若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________． 【变式3-2】设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝________． 【变式3-3】已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为________． 题型四 三角函数公式中变“名” 【例4】求值：－sin 10°. 【变式4-1】4sin 20°＋tan 20°＝________． 【变式4-2】＝________．(用数字作答) 题型五 三角函数式的化简 【例5】化简：＝________； 【变式5-1】化简：＝________(其中0<α<π)． 【变式5-2】化简：＝________． 【变式5-3】化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________． 题型六 三角函数的求值（给角求值） 【例6】求值：= ； 【变式6-1】= . 【变式6-2】[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________． 【变式6-3】已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝， 则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝________ 题型七 三角函数的求值(给值求值) 【例7】已知cos＝，若π<x<π，则的值为________． 【变式7-1】已知α∈，且2sin2－sin·cos－3cos2＝0，则＝________． 【变式7-2】若sincos＝，则cossin的取值范围为________． 题型八 三角函数的求值(给值求角) 【变式8-1】 【变式8-2】 【变式8-3】 【例8】已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 【变式8-1】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________． 【变式8-2】已知α为锐角，且cosα (1＋tan 10°)＝1，则α的值为(　　) A．20°　　　　　　　　 B．40° C．50° D．70° 【变式8-3】若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________． 题型九 三角恒等变换的综合应用 【例9】已知函数f(x)＝sin＋cos. (1)求函数f(x)在区间上的最值； (2)若cos θ＝，θ∈，求f的值． 【变式9-1】已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R. (1)求f的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f. 【变式9-2】已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求α的值． 基础巩固通关测 1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 2．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝(　　) A．－1 B．－ C. D. 3．若2cos 2x＝1＋sin 2x，则tan x＝(　　) A．－1 B． C．－1或 D．－1或或3 4．已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　) A. B．－ C. D．± 5．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 6．若tan＝3cos(α－π)，则cos 2α＝(　　) A．－1　　　　　　　　　 B． C．0或 D．－1或 7.＝(　　) A. B． C. D．1 8．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　) A．－ B． C. D. 9．已知cos＝－，则sin－cos α＝(　　) A．± B．－ C. D．± 10．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A. B． C. D. 11．已知tanθ＝2，则cos 2θ＝________，tan＝________． 12．sin 10°sin 50°sin 70°＝________． 13．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________． 14．若＝sin 2θ，则sin 2θ＝________． 15．tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝________． 16．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________． 17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. (1)求sin的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值． 18．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 19．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出 α＋β的值． 20．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝. (1)求sin 2β的值； (2)求cos的值． 能力提升进阶练 1．若α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α－β)＝， 则cosβ＝(　　) A. B． C.或－ D.或 2．已知α为第二象限角，且tanα＋tan ＝2tanαtan －2，则sin＝(　　) A．－ B． C．－ D. 3．设α∈，β∈，且tanα＝，则下列结论中正确的是(　　) A．α－β＝ B．α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 4. 已知3π≤θ≤4π，且 ＋ ＝，则θ＝(　　) A.或　　　　　　 B．或 C.或 D.或 5．已知cos＋sinα＝，则sin＝________． 6．若sin＝2cosαsin ，则＝________． 7．若sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围为________． 8．已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值． 9．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝. (1)求A的值； (2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值． 13 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $