第3章 复数（复习课件）数学湘教版必修第二册

单元复习课件 第3章 复数 湘教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统梳理复数的基本概念（实部、虚部、复数相等、共轭复数、模），能正确对复数进行分类共线向量）； 3. 理解复数的几何意义，能利用模的几何意义及加减法的几何意义解决最值与轨迹问题；掌握复数的代数形式、几何形式、三角形式的表示方法，能实现三种形式的灵活互化，明确各形式的适用场景。 2. 熟练掌握复数代数形式的四则混合运算，掌握虚数单位i 的幂的周期性，并能利用复数相等实现“实数化”求解； 4. 掌握复数范围内实系数一元二次方程的解法，能通过建立复数与其他知识（如向量、方程）的联系培养转化思想 。 单元学习目标 本章数学本质 复数的本质是从几何角度可以看作是平面上的点或平面向量（因此具有几何直观），从代数角度可以看作是实数的有序对（因此可以定义运算）。它的引入不仅解决了方程在实数集中无解的矛盾，更连通了代数、几何与三角，为描述旋转和周期运动提供了简洁的数学语言. 代数本质：实数域引入虚数单位 i 后形成的二维数域，满足代数封闭性。 几何本质：复平面上的点或向量，运算对应着向量的平移、旋转与伸缩。 核心思想：数形结合。代数运算赋予几何意义，几何直观指导代数推理。 单元知识图谱 1.数系扩充 自然数集N 整数集Z 引入负数(负号) 引入分数(分数线) 有理数集Q 引入无理数(根号) 实数集R 自然数 整数 有 理 数 实 数 引入虚数i 复数集 复数 考点串讲 a b 2.复数的有关概念 考点串讲 ＝ ＝ ≠ a＝c且b＝d 2.复数的有关概念 作用：将复数问题转化为实数问题． 注：①若两个复数能比较大小，则它们必为实数. ②一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小. 如：3与1+2i不能比较大小；2+3i与1+2i不能比较大小. 考点串讲 a＝c，b＝－d |z| |a＋bi| 2.复数的有关概念 考点串讲 (7)实系数一元二次方程在复数集内的解 2.复数的有关概念 考点串讲 ①建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； x轴叫实轴，y轴叫虚轴. ②实轴上的点都表示实数(b=0)； ③虚轴上的点(除原点外)都表示纯虚数(a=0,b≠0)； 3.复数的几何意义 考点串讲 (1)复数加法与减法的运算法则：实部和虚部分别相加/减 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 z1＋z2＝ ， z1－z2＝ ___. (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 对任意z1，z2，z3∈C，有加法交换律：z1＋z2＝z2＋z1， 加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 4.复数的四则运算 考点串讲 (2)复数加法与减法的几何意义：对应向量相加/减 复数差的模=对应向量差的模=两点距离 4.复数的四则运算 考点串讲 (3)复数乘法的运算法则：类似于多项式的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 对于任意z1，z2，z3∈C，有 ①乘法交换律：z1·z2＝z2·z1 ②乘法结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) ③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 4.复数的四则运算 考点串讲 (4)复数除法的运算法则：分母实数化(上下同乘分母的共轭复数) 4.复数的四则运算 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 类似根式中的分母有理化的方法，在复数除法中，若分母为复数，应分子分母同时乘上分母的共轭复数来有理化，从而使分数“有实化”。 考点串讲 yi x b a O r ɑ 角ɑ称为复数z=a+bi的辐角 r(cosɑ+isinɑ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式 为了与三角形式区分开，z=a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式 我们规定在0≤ɑ≤2π范围内的辐角ɑ的值称为辐角的主值，记作arg z 5.复数的三角表示 考点串讲 16 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 对于两个复数，z1=r1(cosɑ1+isinɑ1)，z2=r2(cosɑ2+isinɑ2)， 如何表示z1z2和z1÷z2？ z1z2=r1r2(cosɑ1+isinɑ1)(cosɑ2+isinɑ2) =r1r2(cosɑ1cosɑ2+isinɑ2cosɑ1+isinɑ1cosɑ2-sinɑ2sinɑ2) =r1r2(cosɑ1cosɑ2-sinɑ2sinɑ2)+(isinɑ2cosɑ1+isinɑ1cosɑ2) =r1r2[cos(ɑ1+ɑ2)+isin(ɑ1+ɑ2)] 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。 5.复数的三角表示 考点串讲 17 复数除法的三角表示 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的模，商的辐角等于被除数的辐角与除数的辐角所得的差。 5.复数的三角表示 考点串讲 18 yi x b O ɑ2 ɑ1 几何意义：从向量表示法角度看 ɑ1+ɑ2 5.复数的三角表示 考点串讲 19 6.常用结论 i －i 考点串讲 6.常用结论 考点串讲 题型01 复数的相关概念 C B 题型剖析 题型01 复数的相关概念 A C 题型剖析 题型01 复数的相关概念 题型剖析 题型剖析 25 D 题型02 复数的几何意义 题型剖析 题型二、复数的几何意义 题型剖析 题型二、复数的几何意义 题型剖析 题型剖析 29 题型三、复数的四则运算 AD 题型剖析 题型剖析 31 题型四、实系数一元二次方程 D 题型剖析 题型剖析 33 题型五、复数的三角形式 C 题型剖析 题型五、复数的三角形式 B 题型剖析 题型五、复数的三角形式 D 题型剖析 题型剖析 C A 针对训练 B 针对训练 A 针对训练 5.已知虚数是关于的方程的一个根，且， 则 ( ) D A.1 B.2 C.4 D.5 【解析】法1: 设,且，代入原方程 可得 ， 所以得 因为，所以,则 .故选 D. 法2: 因为实系数一元二次方程的虚数根共轭成对出现， 所以 ,故选D. 针对训练 A 针对训练 D 针对训练 A 针对训练 AB 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 1、本章知识结构 课堂总结 54 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数， 其中_______是实部，_______是虚部，i为虚数单位． (2)虚数单位i： 规定i2=﹣1；i的幂有周期性，周期为4. ， ， ， . 1．复数的有关概念 (3)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (4)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔_______________ (a，b，c，d∈R)． (5)共轭复数 a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔___________________ (a，b，c，d∈R)． (6)复数的模 向量eq \o(OZ,\s\up16(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_____或___________， 即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)． 复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \o(,\s\up17(一一对应),\s\do5(　))复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \o(,\s\up17(一一对应),\s\do5(　))平面向量eq \o(OZ,\s\up16(→)). 几何意义：将复数 对应的向量 ，先沿逆时针方向旋转 （若 ，则沿顺时针方向旋转 ），再将其模长伸缩为原来的 倍，得到的新向量 ，即为 对应的向量。 复数三角形式的乘除法，本质是向量的旋转变换与模长伸缩变换的统一： · 乘法：旋转（ ）+ 伸缩（ ）； · 除法：旋转（ ）+ 伸缩（ ）。 1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 5. eq \f(a＋bi,b－ai)＝____，eq \f(a－bi,b＋ai)＝____． 6．复数z的方程在复平面内表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环． (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 7. w＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i和eq \o(w,\s\up14(－))＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i为1的立方根． w3＝1，eq \o(w,\s\up14(－))3＝1，w2＝eq \o(w,\s\up14(－))，eq \o(w,\s\up14(－))2＝w. 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 例2 已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】由题意知 ，所以 ， 所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限.故选：D. 复数的几何意义 因为复平面内的点、向量及复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的起点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可． 1．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似． 2．复数的除法运算，将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式. 3．利用复数相等，可实现复数问题的实数化． 【解析】　方程的根为x＝eq \f(－b±\r(b2－4c),2)＝－eq \f(b,2)±eq \r(\f(b2－4c,4))，1＋eq \r(2)i为其中一个复数根，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)＝1，,\f(b2－4c,4)＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3.))故选D. 例6．若1＋eq \r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　) A．b＝2，c＝3 B．b＝2，c＝－eq \r(3) C．b＝－2，c＝－eq \r(3) D．b＝－2，c＝3 实系数方程可用求根公式求解，实系数方程的虚根成对出现，且互为共轭复数，且根与系数的关系仍然成立． 含复数的方程，通常设出复数根的代数形式“实数化”求解． 【解析】：根据复数乘法的几何意义，对应的复数为：． 故选B． 棣莫佛定理：复数的n(n∈N*)次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍． 即[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ) 9（多选）．在复平面内，若 所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（    ） A． B． C．3 D．4 【解析】整理得 ，对应的点位于第二象限， 则 ，解得 ． 故选：AB 【解析】：由 ， 得 ， 解得 ． ， ．   12、已知复数 ，其中 、 ．求x、y的值． 复数的引入不仅仅是数系的又一次扩充，其本质是旋转量的代数化。 代数结构的完备性：在实数集中，方程 x2+1=0 无解。引入虚数单位 i（i2= −1）后代数方程在复数范围内总是有解，代数基本定理得以成立 。 几何意义的桥梁作用：复数 z=a+bi 与复平面上的点 Z(a,b)以及向量 。建立了一一对应。这使得复数成为联系代数运算与几何变换（旋转与伸缩）的工具 。 运算的二维性：复数的加减法对应向量的平行四边形法则（几何平移）；复数的乘法（三角形式）对应模的伸缩与辐角的旋转，这是复数独有的“二维”运算特性。 $