5.3分式方程寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学（知识点梳理+题型精讲+过关测试）

5.3分式方程寒假预习讲义（北师大版） ☘ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.高频考点★过关测试 🎯 课前预习★目标 ◆理解分式方程的定义，能区分分式方程与整式方程； ◆掌握分式方程的基本解法：去分母化为整式方程、求解、检验； ◆明确增根的概念，知道为什么解分式方程必须检验； ◆会列简单的分式方程解决实际问题，初步建立等量关系。 💧 重点知识★梳理归纳 ● 一、分式方程的概念 1.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2.分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． ★重点提示:分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）． ● 二、分式方程的解法 1. 解分式方程即将分式方程转化为整式方程．转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母．在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根． 2. 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根． 3解分式方程的一般步骤： （1） 方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程 （2） 解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解． ● 三、增根 1. 定义：去分母后整式方程的解，但使原分母为0，不是原方程的解。 2. 产生增根的原因：去分母时，两边都乘了可能为0的式子。 3. 关键点：解分式方程必须检验。 ● 四、常见题型 1.解简单分式方程； 2.已知方程有增根，求字母参数； 3.已知分式方程无解，求字母参数； 4.列分式方程解应用题（行程、工程、利润等）。 ●五、列分式方程解应用题的步骤 （1）了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案． ● 六、易错点提醒 （1）去分母时，常数项也要乘公分母； （2）分数线有括号作用，分子是多项式要加括号； （3）忘记检验导致错误； 💦 核心考点★精讲精练 题型1分式方程的定义 例1．下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 变式1．请你利用代数式，，组成一个分式方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 题型2解分式方程（化为一元一次） 例2．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质给方程两边每一项都乘以最简公分母，注意不能漏乘项． 本题考查分式方程去分母的方法，解题关键是确定最简公分母． 【详解】解：∵ ∴该分式方程的最简公分母为， 方程两边同时乘以 得． 故选：B． 变式1．已知分式(，为常数)满足表格中的信息，则 ． 的取值 分式的值 无意义 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为零的条件，解分式方程．根据分式无意义的条件求出，根据分式值为零的条件求出，再代入分式并令其值为解方程求． 【详解】解：当时，分式无意义，分母，即，解得． 当时，分式值为，分子，即，解得． 分式为． 当时，分式值为，即． 解方程：，得． 经检验，时，分母，符合题意． 故答案为：． 变式2．有一项工程需在规定日期内完成，如果甲队去做，那么恰能如期完成；如果乙队去做，那么要超过规定日期3天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队单独去做，恰好在规定日期内完成．这项工程预期几天完成？ 【答案】6天 【分析】本题考查分式方程的实际应用-工程问题，核心是利用“工作总量=工作效率×工作时间”的关系构建等量关系．先设预期完成天数为未知数，分别表示甲、乙两队的工作效率；再根据“甲队总共工作2天完成的工作量与乙队总共工作天完成的工作量之和为单位1”列出分式方程，最后求解并检验，得到符合实际的解． 【详解】解：设这项工程预期天完成，则甲队单独完成该工程需天，乙队单独完成该工程需天． 设工作总量为1，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 根据题意，可列方程：； 解得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：这项工程预期6天完成． 题型3根据分式方程解的情况求值 例3．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案． 【详解】解: 去分母得：， 整理得， 解得， ∵关于x的分式方程的解为非正数， ∴， 解得： 又∵ ∴ ∴且 ∴且 故选：D． 变式1．若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 变式2．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 题型4分式方程无解问题 例4．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴两边同乘（），得， 整理得， ∵分式方程无解，且整式方程必有解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 故答案为：B 变式1．已知分式方程（为常数）有增根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，理解题意是解题的关键． 分式方程有增根，即该值使分母为零，代入化简后的整式方程求解． 【详解】解：原方程化为 ， 两边同乘 得 ，， 整理得 ，即 ， 增根 是整式方程的解，代入得 ， 解得 ， 故答案为：． 变式2．若解关于x的方程无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式方程无解时求参数问题，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先解分式方程得到，然后由方程无解得到，代入求出，然后代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的方程无解， ∴ ∴， ∴， ∴， ， 当时，原式． 题型5列分式方程 例5．2026年元旦，八年级地理社团的学生相约去距学校5千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米/小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程解行程问题，关键是找准等量关系，统一时间单位，根据骑车时间比乘车时间多15分钟(即小时)列方程，即可作答． 【详解】解：∵设骑车学生的速度为千米/小时， ∴汽车的速度为千米/小时， ∵路程为5千米， ∴骑车学生所用时间为小时，乘汽车学生所用时间为小时， ∵骑车学生比乘汽车学生先走15分钟，且同时到达， 则15分钟， 依题意，得， 故选：C． 变式1．2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会5月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣10000件快递所用时间与B型机器人分拣9000件所用时间相等．则A，B型机器人每小时各分拣快递多少件．设B型机器人每小时分拣快递件，则列方程为 ． 【答案】 【分析】先表示出A型机器人每小时分拣快递件，再根据两型机器人分拣快递所用时间相等列出方程即可．本题主要考查了列分式方程，根据题意找等量关系是解题的关键. 【详解】解：设B型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件， 根据题意，得． 故答案为：． 变式2．定义新运算“”：，如果，那么的值为多少？ 【答案】或． 【分析】本题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程，根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可. 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 综上，x的值为：或． 题型6分式方程的行程问题 例6．某校八年级学生为探索千年陶瓷文明，计划前往距学校的丰城洪州窑研学基地开展非遗体验活动．一部分学生提前骑自行车出发，45分钟后，其余学生乘汽车沿同一路线前往，最终两队同时抵达基地．已知汽车的行驶速度是自行车的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用． 根据题意可得自行车和汽车的行驶时间，以行驶时间建立等量关系，列方程即可． 【详解】解：45分钟， ∵自行车的速度为， ∴汽车的速度为， ∴自行车行驶时间为，汽车行驶时间为， ∴． 故选：C． 变式1．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了列分式方程解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键．设自驾车速度为，则公交车速度为，根据乘公交车所用时间是自驾车所用时间的，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设小王自驾车平均每小时行驶，则乘公交车平均每小时行驶， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， ∴小王乘公交车上班平均每小时行驶． 故答案为：40． 变式2．八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米，根据时间差建立方程求解． 【详解】解：设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米， 由题意得，， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， 答：大巴的平均速度是． 题型7分式方程的工程问题 例7．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设原计划完成这项工程需要x个月，则提高工作效率后完成工程需要个月，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率后完成工程需要个月， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原计划完成这项工程需要个月． 故选：A． 变式1．“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套，根据题意，快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，因此慢车间生产天数减去快车间生产天数等于10天，据此列出方程． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套， 慢车间单独生产所需天数为天，快车间单独生产所需天数为天， 由快车间单独生产可以提前10天完成，得方程：， 故答案为：． 变式2．在学习“分式方程应用”时，有这样一个实际问题： 有A、B两个工程队，A队修路400米与B队修路600米所用时间相等、B队每天比A队多修20米，求A队每天修路的长度． 甲，乙两名同学所列的方程如下： 甲：    乙： 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲所列方程中的x表示________，乙所列方程中的y表示________； (2)在甲，乙所列方程中任选一个，完成该问题的解答． 【答案】(1)A队每天修路的长度；A队修路400米所需时间（或B队修路600米所需时间） (2)A队每天修路的长度为米 【分析】本题考查分式方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的计算，是解题的关键． （1）根据所列方程，结合题意，进行作答即可； （2）解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得：甲所列方程中的x表示A队每天修路的长度；乙所列方程中的y表示A队修路400米所需时间； 故答案为：A队每天修路的长度；A队修路400米所需时间（或B队修路600米所需时间）； （2）解：选甲的方程：， ； 经检验是原分式方程的解； 选乙的方程：， ； 经检验是原分式方程的解， （米） 答：A队每天修路的长度为米． 题型8分式方程的经济问题 例8．某学校预计购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，设篮球的单价是元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，篮球单价为x元，则足球单价为元，用360元购进的足球数量为，用480元购进的篮球数量为，两者相等，故得方程，然后问题可求解． 【详解】解：∵篮球单价为元， ∴足球单价为元， ∵购进足球数量为，购进篮球数量为，且数量相等， ∴； 故选C． 变式1．小明现有本金5万元，准备投资理财，方案是1年后返还3万元，2年后返还万元，设收益率为，那么该方案的收益率应该满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了收益率，熟练掌握定义是解题的关键． 根据现值原理，未来现金流的折现值之和应等于初始投资本金． 【详解】解：设收益率为，则一年后返还3万元的现值为 ，两年后返还万元的现值为 ，两者之和等于本金5万元， 故得方程 ， 故答案为：． 变式2．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元，用600元购进甲种商品和用1000元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量乙商品数量 ______ 解法二 设…… 等量关系：乙种商品进价甲种商品进价      (1)解法二所列方程中的表示______（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件， (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； 【答案】(1)③ (2)；甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法．理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙种商品进价甲种商品进价及可知表示：购进甲种商品和乙种商品各件． 故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． ． 甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元． 题型9分式方程和差倍分问题 例9．某公司第一季度总共生产80万部手机．已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部的电影，手机比手机快190秒，设手机的下载速度为，则正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据“手机比手机快190秒”列方程即可． 【详解】解：设手机下载速度为， 则手机下载速度为 下载时间为 秒， 下载时间为秒， 所以方程为， 故选B． 变式1．，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并找出等量关系是解题的关键． 设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：型机器人搬运千克所用时间为， 型机器人搬运千克所用时间为， 因为时间相等，所以， 故答案为：． 变式2．，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时少搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少的化工原料？ 【答案】型机器人每小时搬运，型机器人每小时搬运． 【分析】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料，根据型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列分式方程求解即可． 【详解】解：设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料， ∵型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等， ∴， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ， 答：型机器人每小时搬运，型机器人每小时搬运． 题型10分式方程的其它实际问题 例10．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，根据题意列出方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 根据题意得，， 故选：． 变式1．新能源汽车主要是用充电桩充电，李明前后两次在不同充电站充满电，第1次花费49.6元，第2次花费54.56元．已知两次收费标准相差0.16元，则李明的新能源汽车电池容量为 ． 【答案】31 【分析】根据两次充电花费的差额和收费标准的差，利用电池容量不变列方程求解. 【详解】解：设电池容量为 ，第一次收费标准为 元，第二次为 元，由题意可得： 解得： 经检验，是原方程的解. 答：李明的新能源汽车电池容量为. 故答案为. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意，列出分式方程并求解. 变式2．小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如下表（续航里程是指在满电或满油状态下最大行驶里程．）： 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：90千瓦时 油价：元/升 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1)， (2)燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元 【分析】本题主要考查了列代数式、分式方程的应用等知识点，审清题意、明确量之间的关系是解题的关键． （1）根据每千米行驶费用为：总费用除以续航里程列代数式即可； （2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：燃油车每千米行驶费用为元； 新能源车每千米行驶费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）； （元）． 答：燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元． ✍ 高频考点过关测试 一、单选题 1．下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． 2．对于非零实数、，规定．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算与解分式方程，先根据新定义将等式转化为分式方程，再按照解分式方程的步骤求解并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵规定，且， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为， 故选：． 3．如果方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，将代入分式方程解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：C． 4．若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 5．甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设乙数为，则甲数为，丙数为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设乙数为，则甲数为，丙数为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 即甲数为，乙数为，丙数为， 故选：C． 6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里远的地方，所需的时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需的时间比规定时间少3天；已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间是多少天？设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，解题关键是根据“速度=路程÷时间”，结合快马速度是慢马的2倍这一条件建立等量关系列方程． 【详解】解：∵设规定时间为天， ∴慢马派送所需时间为天，慢马速度为里/天， 快马派送所需时间为天，快马速度为里/天， 又∵快马的速度是慢马的2倍， ∴， 故选：B ． 二、填空题 7．当 时，分式的值为1． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据分式的值为1，得到方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为1， ∴， ∴， ∴， ∴或， 检验，当时，，故是原方程的增根， 当时，，故是原方程的根； 综上所述，． 故答案为：． 8．若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程得到解，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定a的取值范围，进而求出a的最小值。 【详解】解：， 解得， ∵解为非负数，得，即； 又， ∴， ∴，即， ∴且， 故a的最小值为1， 故答案为：1． 9．若分式方程有增根，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 10．某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程． 根据比赛时间比训练前少用3分钟，即小时，利用时间关系列出分式方程即可． 【详解】解：训练前速度为千米/时，跑3千米所需时间为小时； 比赛时速度为千米/时，所需时间为小时． 由于比赛时少用3分钟，即小时， 因此有． 故答案为：． 11．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划速度为，根据去程行驶情况建立方程，求解得，再计算去程实际时间和返回时间，求时间差即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设原计划速度为 ，则原计划时间为 ， 所以前行驶距离为 ，剩余距离为，以速度行驶，时间为， 则实际总时间为 ， 又因为提前到达，即 ，所以， 化简得， 两边同乘得， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原计划速度 ， ∴实际总时间：， 又返回速度 ，则返回时间， 所以时间差， 故答案为：． 12．学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，根据实际平均每人制花数量比原定多15朵，列出分式方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，则原定全班平均每人制作朵红纸花．实际有10名同学因排练节目未参加，因此实际参加劳动的同学有人，平均每人制作朵． 根据题意，实际平均每人制花数量比原定全班平均每人数量多15朵，故可得方程 ． 故答案为：． 三、解答题 13．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意要对计算结果进行检验． （1）先将分母化为相同，去分母后将分式方程化为整式方程求解，最后检验根的有效性； （2）先确定最简公分母并去分母，去分母后将分式方程化为整式方程求解，最后检验根的有效性． 【详解】（1）解： ． 经检验，时，， 所以是原方程的解． （2）解： ． 经检验，时，，是增根， 所以原方程无解． 14．已知关于x的分式方程 (1)若时，求分式方程的解． (2)若分式方程无解，求k的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或，即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， 检验：当时，分母 ； （2） ， 当整式方程无解时，，， 当时，则， ， ， 综上，或． 15．某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 【答案】走路线的平均速度是，走路线的平均速度是 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设走路线A的平均速度是x千米/小时，则走路线B的平均速度是千米/小时，利用时间路程速度，结合走路线B能比走路线A少用分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即走路线A的平均速度），再将其代入中，即可求出走路线B的平均速度． 【详解】解：设走路线A的平均速度是，则走路线B的平均速度是． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：走路线的平均速度是，走路线的平均速度是． 16．某学校计划利用暑假时间（共58天）对全校教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍，甲、乙两队合作完成工程需要24天，甲队每天的工作费用为1500元，乙队每天的工作费用为950元． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)现有三种方案可选：甲队单独完成工程，乙队单独完成工程，甲、乙两队合作完成工程．请你选择其中一种方案，既能在暑假时间完工，又能使工程费用最少，并计算出最少工程费用． 【答案】(1)甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天 (2)甲、乙两队合作既能在暑假时间完成工程，同时费用最少，最少费用为5.88万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天，再根据“甲、乙两队合作完成工程需要24天”，列出分式方程，解方程即可； （2）根据（1）中的结果求出甲单独完成，和甲、乙两队合作完成的费用比较，即可解答． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需天， 由题意得：， 即：， 即： 解得：， 经检验：是原方程的解， 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天； （2）解：由（1）知甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天， ∵， ∴甲能在暑假时间完成，乙不能在暑假时间完成， 又∵甲单独完成的费用为：（元）， 甲、乙两队合作完成的费用为：（元）， 且， ∴综上：甲、乙两队合作既能在暑假时间完成工程，同时费用最少，最少费用为5.88万元． 17．为推广泸州桂圆，某电商平台与当地合作社合作，计划采购一批桂圆用于线上促销活动．已知合作社提供普通装（推广装）和精品装（礼品装）两种包装，精品装每斤售价比普通装高．电商平台预算1900元，计划用900元购买精品装，其余购买普通装．若购买普通装的数量比精品装多10斤． (1)分别求出普通装与精品装每斤的售价； (2)促销期间，普通装按原价八折销售．电商平台最终决定购买普通装与精品装共80斤（用于搭配成80份促销礼包，每份1斤），要求总费用不超过1900元，且用于购买精品装的费用不低于840元．那么该电商平台共有几种购买方案？ 【答案】(1)普通装每斤售价25元，精品装每斤售价30元 (2)3种方案 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程和不等式组是解题的关键： （1）设普通装每斤售价元，根据购买普通装的数量比精品装多10斤，列出方程进行求解即可； （2）设购买精品装斤，根据题意，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：设普通装每斤售价元，则精品装每斤的售价为，由题意，得： ， 解得； 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：普通装每斤售价25元，精品装每斤售价30元； （2）解：设购买精品装斤，则购买普通装斤， 由题意，得：， 解得， ∵为整数， ∴，共有3种方案． 18．甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【答案】(1)甲公司有人，乙公司有人 (2)有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有x人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合且m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司有人，乙公司有人． （2）（2）设购买A种物资箱，购买B种物资箱， 由题意，得， 整理，得． 又，且为正整数， ∴，． 答：有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3分式方程寒假预习讲义（北师大版） ☘ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.高频考点★过关测试 🎯 课前预习★目标 ◆理解分式方程的定义，能区分分式方程与整式方程； ◆掌握分式方程的基本解法：去分母化为整式方程、求解、检验； ◆明确增根的概念，知道为什么解分式方程必须检验； ◆会列简单的分式方程解决实际问题，初步建立等量关系。 💧 重点知识★梳理归纳 ● 一、分式方程的概念 1.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2.分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． ★重点提示:分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）． ● 二、分式方程的解法 1. 解分式方程即将分式方程转化为整式方程．转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母．在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根． 2. 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根． 3解分式方程的一般步骤： （1） 方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程 （2） 解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解． ● 三、增根 1. 定义：去分母后整式方程的解，但使原分母为0，不是原方程的解。 2. 产生增根的原因：去分母时，两边都乘了可能为0的式子。 3. 关键点：解分式方程必须检验。 ● 四、常见题型 1.解简单分式方程； 2.已知方程有增根，求字母参数； 3.已知分式方程无解，求字母参数； 4.列分式方程解应用题（行程、工程、利润等）。 ●五、列分式方程解应用题的步骤 （1）了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案． ● 六、易错点提醒 （1）去分母时，常数项也要乘公分母； （2）分数线有括号作用，分子是多项式要加括号； （3）忘记检验导致错误； 💦 核心考点★精讲精练 题型1分式方程的定义 例1．下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 变式1．请你利用代数式，，组成一个分式方程： ． 变式2．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 题型2解分式方程（化为一元一次） 例2．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知分式(，为常数)满足表格中的信息，则 ． 的取值 分式的值 无意义 变式2．有一项工程需在规定日期内完成，如果甲队去做，那么恰能如期完成；如果乙队去做，那么要超过规定日期3天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队单独去做，恰好在规定日期内完成．这项工程预期几天完成？ 题型3根据分式方程解的情况求值 例3．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 变式1．若关于的方程有增根，则的值为 ． 变式2．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 题型4分式方程无解问题 例4．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 变式1．已知分式方程（为常数）有增根，则的值为 ． 变式2．若解关于x的方程无解，求代数式的值． 题型5列分式方程 例5．2026年元旦，八年级地理社团的学生相约去距学校5千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米/小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会5月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣10000件快递所用时间与B型机器人分拣9000件所用时间相等．则A，B型机器人每小时各分拣快递多少件．设B型机器人每小时分拣快递件，则列方程为 ． 变式2．定义新运算“”：，如果，那么的值为多少？ 题型6分式方程的行程问题 例6．某校八年级学生为探索千年陶瓷文明，计划前往距学校的丰城洪州窑研学基地开展非遗体验活动．一部分学生提前骑自行车出发，45分钟后，其余学生乘汽车沿同一路线前往，最终两队同时抵达基地．已知汽车的行驶速度是自行车的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶 ． 变式2．八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 题型7分式方程的工程问题 例7．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 变式1．“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为 ． 变式2．在学习“分式方程应用”时，有这样一个实际问题： 有A、B两个工程队，A队修路400米与B队修路600米所用时间相等、B队每天比A队多修20米，求A队每天修路的长度． 甲，乙两名同学所列的方程如下： 甲：    乙： 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲所列方程中的x表示________，乙所列方程中的y表示________； (2)在甲，乙所列方程中任选一个，完成该问题的解答． 题型8分式方程的经济问题 例8．某学校预计购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，设篮球的单价是元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．小明现有本金5万元，准备投资理财，方案是1年后返还3万元，2年后返还万元，设收益率为，那么该方案的收益率应该满足的方程是 ． 变式2．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元，用600元购进甲种商品和用1000元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量乙商品数量 ______ 解法二 设…… 等量关系：乙种商品进价甲种商品进价      (1)解法二所列方程中的表示______（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件， (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； 题型9分式方程和差倍分问题 例9．某公司第一季度总共生产80万部手机．已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部的电影，手机比手机快190秒，设手机的下载速度为，则正确的方程是（    ） A． B． C． D． 变式1．，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是 ． 变式2．，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时少搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少的化工原料？ 题型10分式方程的其它实际问题 例10．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是 A． B． C． D． 变式1．新能源汽车主要是用充电桩充电，李明前后两次在不同充电站充满电，第1次花费49.6元，第2次花费54.56元．已知两次收费标准相差0.16元，则李明的新能源汽车电池容量为 ． 变式2．小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如下表（续航里程是指在满电或满油状态下最大行驶里程．）： 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：90千瓦时 油价：元/升 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． ✍ 高频考点过关测试 一、单选题 1．下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．对于非零实数、，规定．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．如果方程的解为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 5．甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记载的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里远的地方，所需的时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需的时间比规定时间少3天；已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间是多少天？设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．当 时，分式的值为1． 8．若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为 ． 9．若分式方程有增根，则k的值是 ． 10．某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为 ． 11．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差 ． 12．学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程 ． 三、解答题 13．解方程： (1) (2) 14．已知关于x的分式方程 (1)若时，求分式方程的解． (2)若分式方程无解，求k的值． 15．某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 16．某学校计划利用暑假时间（共58天）对全校教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍，甲、乙两队合作完成工程需要24天，甲队每天的工作费用为1500元，乙队每天的工作费用为950元． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)现有三种方案可选：甲队单独完成工程，乙队单独完成工程，甲、乙两队合作完成工程．请你选择其中一种方案，既能在暑假时间完工，又能使工程费用最少，并计算出最少工程费用． 17．为推广泸州桂圆，某电商平台与当地合作社合作，计划采购一批桂圆用于线上促销活动．已知合作社提供普通装（推广装）和精品装（礼品装）两种包装，精品装每斤售价比普通装高．电商平台预算1900元，计划用900元购买精品装，其余购买普通装．若购买普通装的数量比精品装多10斤． (1)分别求出普通装与精品装每斤的售价； (2)促销期间，普通装按原价八折销售．电商平台最终决定购买普通装与精品装共80斤（用于搭配成80份促销礼包，每份1斤），要求总费用不超过1900元，且用于购买精品装的费用不低于840元．那么该电商平台共有几种购买方案？ 18．甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $