专题11分式的概念（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题11分式的概念 【题型01 分式的判断】.............................................2 【题型02 分式的规律性问题】.......................................4 【题型03 按要求构造分式】.........................................7 【题型04 分式无意义的条件】.......................................9 【题型05 分式有意义的条件】......................................10 【题型06 分式值为零的条件】......................................12 【题型07 分式的求值】............................................13 【题型08 求分式值为正(负)数时未知数的取值范围】...................16 【题型09 求使分式值为整数时未知数的整数值】......................17 【题型10 解答题4题】............................................19 ★知识梳理★ 知识点01:分式的定义 一般地，如果用A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 核心构成：A是分式的分子，B是分式的分母； 关键条件： 1 分子A可以是任意整式（含单项式、多项式，也可不含字母）； 2 分母B必须是含字母的整式； 3 分母B0（分式有意义的前提）。 与整式的本质区别：整式的分母不含字母，分式的分母必含字母，这是判断一个代数式是否为分式的唯一标准。 知识点02:分式有意义、无意义、值为 0 的条件 1. 分式有意义的条件 分母不等于 0，即对于，当B0时，分式有意义。 2. 分式无意义的条件 分母等于 0，即对于​，当B=0时，分式无意义。 3. 分式的值为 0 的条件 分子为 0 且分母不为 0（二者同时满足，缺一不可），即对于，当A=0且B0时，分式的值为 0。⚠️ ❌易错点：仅考虑分子为 0，忽略分母不为 0 的条件，会导致错误判断。 知识点03:分式与分数的联系与区别 类别 联系 区别 分数 1. 形式相似:均为的形式，且分母都不能为 0； 2.分式是分数的一般化，分数是分式中字母取特定数值的特殊情况 分数的分子、分母都是具体的有理数，是常数，属于整式； 分式的分子是整式，分母是含字母的整式，是代数式 分式 同上 分式的值随分母中字母的取值变化而变化；分数的值是 知识点04:分式的值的求法 求分式的值的步骤与分数一致，先看分式是否有意义（分母是否为 0），若有意义，再将字母的取值代入分子、分母，分别计算出结果后，再求商即可。 拓展：若分式的分子、分母是多项式，代入取值时要给多项式加括号，再进行运算，避免符号错误。 知识点05:核心易错点总结 1.误将分母含π的代数式判为分式：π 是常数，不是字母，例如、都是整式，不是分式； 2.判断分式值为 0 时，遗漏分母不为 0 的条件； 3.先约分再判断是否为分式，违背分式定义的本质； 4.求分式值时，未先检验分母是否为 0，直接代入计算。 【题型1.分式的判断】 【典例】下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义． 依据分式的概念逐一判断选项即可，分式的定义为形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子． 【详解】解： 选项A是单项式，属于整式； 选项B的分母是常数2，不含字母，属于整式； 选项C的分母是，含有字母a，符合分式定义； 选项D的分母是常数5，不含字母，属于整式； 故选：C． 【跟踪专练1】有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是 （填序号）． 【答案】④⑤ 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 分式的定义是分母中含有字母的代数式，因此需要检查每个代数式的分母是否含有字母． 【详解】解：①分母为常数，不含字母，不是分式； ②分母为常数，不含字母，不是分式； ③分母为常数，不含字母，不是分式； ④分母为，含有字母，是分式； ⑤分母为，含有字母，是分式． 故答案为：④⑤． 【跟踪专练2】下列各式中，分式有（    ）个   ，，，，， A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可． 【详解】∵中的分母是3，不含字母， ∴不是分式； ∵中的分母是n，是整式，且是字母， ∴是分式； ∵中的分母是a+5，是多项式，含字母a， ∴是分式； ∵中的分母是15，不含字母， ∴不是分式； ∵中的分母是，是整式，含字母x，y， ∴是分式； ∵中的分母是，是整式，含字母a，b， ∴是分式； 共有4个， 故选A． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键． 【跟踪专练3】下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；      （2）；      （3）；       （4） （5）；      （6）0；       （7）；         （8）． 【答案】整式：．分式： 【分析】本题考查整式和分式，根据形如，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，整式有：； 分式有：． 【题型2.分式的规律性问题】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键． 【跟踪专练1】按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 【跟踪专练2】若给定下面一列分式：，，，，……，（其中），按此规律下去，其中第10个分式应为： 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，根据题意得出第个分式为，然后求出第10个分式即可，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：，，，，…， 第个分式为， 第10个分式应为， 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式运算的规律问题； 分别计算出，，，得出，，，...，以，，为一个循环组依次循环，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ...， ∴，，，...，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴的值是， 故选：A． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】．（  ）里应填 ． 【答案】c 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：由分式可知，等号左边的分母除以c可得等号右边的分母， ∴由分式的性质可知，等号右边的分子1乘以c可得等号左边的分子， ∴等号左边的分子为c， 故答案为：c． 【点睛】此题考查了分式的基本性质：分式的分子分母乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变． 【跟踪专练1】已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了分式的应用，根据涨价后的售价与原价的数量关系列式即可． 【详解】解：∵一款衣服的价格上涨后是a元， ∴这款衣服原来的价格是． 故选：D． 【跟踪专练2】某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意填空： （1）设甲车的速度为，则乙车的速度为 ． （2）乘甲车到科技馆的时间为 h，乘乙车到科技馆的时间为 h． （3）乘甲车到科技馆的时间比乘乙车到科技馆的时间多用时间表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，按要求构造分式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据题意，乙车速度是甲车速度的倍； （2）根据时间等于路程除以速度求解； （3）由（2）求得的两个式子相减即可表示出时间差． 【详解】（1）解：设甲车的速度为， ∵乙车速度是甲车速度的倍， ∴故乙车速度为， 故答案为：； （2）∵该校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发， ∴乘甲车时间=路程/速度=h， ∵后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达， ∴乘乙车时间=h， 故答案为：，； （3）乘甲车时间比乘乙车时间多用的时间为两者之差， 即， 故答案为：． 【跟踪专练3】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 【题型4.分式无意义的条件’】 【典例】如果分式 无意义，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是明确分式无意义时分母为零，进而解绝对值方程． 根据分式无意义的条件，令分母，解此绝对值方程即可得到的值． 【详解】解：分式无意义， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 【跟踪专练2】当 时，分式无意义． 【答案】0或1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据当时分式无意义，可知当时，分母为． 【详解】解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意； B选项：分式的分母为，当时，分式无意义， 当时，， 当时，， 当时，， 故B选项符合题意； C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意； D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意． 故选：B． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，直接求取值范围即可． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母． 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】若分式有意义，则的取值应满足（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题关键． 分式有意义的条件是分母不为零，据此进行计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即， ∴． 故选：． 【跟踪专练2】代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．由代数式有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义， 则且， 解得： 故答案为： 【跟踪专练3】下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是判断分母是否恒不为零． 分别分析每个选项的分母，判断其是否可能为零，若分母恒不为零，则该分式无论取何值都一定有意义． 【详解】解：A、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； C、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； D、， ，分母恒不为零，无论取何值，分式都有意义，此选项符合题意． 故选：． 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值为的条件，掌握分式值为的两个条件是解题关键． 若分式的值为，则分子为且分母不为． 【详解】解：分式的值为，则分子且分母，故，且． 故答案为：． 【跟踪专练1】当时，分式的值为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，当分式的值为0时，分子必须为0且分母不为0．将代入分式，解方程并验证分母是否非零． 【详解】解：当时，原分式化为 由分式的值为0，则分子必须为0，解得，即或． 同时，分母不能为0．当时，分母，符合条件；当时，分母，分式无意义，故排除． 因此，的值为2， 故选A． 【跟踪专练2】若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ． 【答案】 2 或2/2或 2 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及分式值为零的条件，两个整式乘积为0的条件，根据分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．以及两个整式乘积为0的条件一一计算即可． 【详解】解：若的值为0，即，即． 若代数式的值为0，则或，解得：或． 若代数式的值为0，则或，又使得分式有意义即，故只有当时，代数式的值为0， 故答案为：2；2或；2 【跟踪专练3】若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为的条件，注意分子为，但分母不能为是解题关键． 分式的值为，需满足分子为且分母不为，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴分子且分母， 即应建立的式子是且． 故选：． 【题型7.分式的求值】 【典例】若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，掌握整体代入法求解分式的值是解本题的关键，把整体代入分式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 【跟踪专练1】当时，下列分式中，值为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求分式的值，将分别代入各个选项，进行运算，即可求解；理解分式无意义，正确计算是解题的关键． 【详解】解：A.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； B.当时，，结论正确，符合题意； C.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意； D.当时，，结论正确，符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键． 设，得到，代入分式求值即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，先根据，得到，，再利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴ ∴ ； 故选C． 【题型8.求分式值为正(负)数时未知数的取值范围】 【典例】若分式的值为正数，则满足 【答案】/ 【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可． 【详解】根据题意有：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 【跟踪专练2】当x的值为 时，分式的值为负． 【答案】＜1且≠0 【分析】根据分式的值为负，得到不等式组，求解即可． 【详解】解：分式的值为负， ∴， 解得：＜1且≠0， 故答案为：＜1且≠0． 【点睛】本题考查了分式为负的情况和解不等式组，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 【跟踪专练3】已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意知，，，且，故不等式可变形为或，解之即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴，且， ∴， ∴不等式可变为， ∴ ∴或， ∴或． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，以及分式的值大于0的解法，考查学生的转化思想和运算求解能力，将分式的值大于零转化为不等式组是解答本题的关键． 【题型9.求使分式值为整数时未知数的整数值】 【典例】请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】.若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数得或2或3或6，求得的值即可求解，根据题意得或2或3或6是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是整数， 是6的约数，即或2或3或6， 解得：（舍去）或1或2或5， 则满足条件的所有正整数m的和为． 故选：B． 【跟踪专练2】填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 【跟踪专练3】若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0或2或﹣2或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键． 解答题 1．（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）-3（2）3 【分析】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式，以及掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由得，将其整体代入分式的分子和分母，化简即可； （2）先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：（1），且， ，且， ． （2）， ， ． 2．已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 【答案】当时，分式的值为． 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0，据此求出m、n的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：由题意，得，且， 解得． 当时，， 即当时，分式的值为． 3．自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 【答案】，过程见解析 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，则可推出，根据平方的非负性可得当，即时，的值不可能为0，据此可得答案． 【详解】解：，且分式总有意义， ∴ ， 当，即时，的值不可能为0， 当时，不论取何实数，分式总有意义． 4．观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的规律探究，掌握分别观察符号、分子、分母的变化规律，再整合得到通式是解题的关键． （1）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，分别推导第项的规律，再组合； （2）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，用含的代数式表示规律，再组合． 【详解】（1）解：观察分式符号：第个正，第个负，第个正，第个负，规律为奇正偶负，第个为正； 分子中的指数：， 第个指数为； 分母中的指数：， 第个指数为， 所以第个分式为． （2）解：符号：； 分子的指数：； 分母的指数：， 故第个分式为．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11分式的概念 【题型01 分式的判断】.............................................2 【题型02 分式的规律性问题】.......................................3 【题型03 按要求构造分式】.........................................3 【题型04 分式无意义的条件】.......................................4 【题型05 分式有意义的条件】.......................................4 【题型06 分式值为零的条件】.......................................5 【题型07 分式的求值】.............................................5 【题型08 求分式值为正(负)数时未知数的取值范围】....................5 【题型09 求使分式值为整数时未知数的整数值】.......................6 【题型10 解答题4题】.............................................6 ★知识梳理★ 知识点01:分式的定义 一般地，如果用A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 核心构成：A是分式的分子，B是分式的分母； 关键条件： 1 分子A可以是任意整式（含单项式、多项式，也可不含字母）； 2 分母B必须是含字母的整式； 3 分母B0（分式有意义的前提）。 与整式的本质区别：整式的分母不含字母，分式的分母必含字母，这是判断一个代数式是否为分式的唯一标准。 知识点02:分式有意义、无意义、值为 0 的条件 1. 分式有意义的条件 分母不等于 0，即对于，当B0时，分式有意义。 2. 分式无意义的条件 分母等于 0，即对于​，当B=0时，分式无意义。 3. 分式的值为 0 的条件 分子为 0 且分母不为 0（二者同时满足，缺一不可），即对于，当A=0且B0时，分式的值为 0。⚠️ ❌易错点：仅考虑分子为 0，忽略分母不为 0 的条件，会导致错误判断。 知识点03:分式与分数的联系与区别 类别 联系 区别 分数 1. 形式相似:均为的形式，且分母都不能为 0； 2.分式是分数的一般化，分数是分式中字母取特定数值的特殊情况 分数的分子、分母都是具体的有理数，是常数，属于整式； 分式的分子是整式，分母是含字母的整式，是代数式 分式 同上 分式的值随分母中字母的取值变化而变化；分数的值是 知识点04:分式的值的求法 求分式的值的步骤与分数一致，先看分式是否有意义（分母是否为 0），若有意义，再将字母的取值代入分子、分母，分别计算出结果后，再求商即可。 拓展：若分式的分子、分母是多项式，代入取值时要给多项式加括号，再进行运算，避免符号错误。 知识点05:核心易错点总结 1.误将分母含π的代数式判为分式：π 是常数，不是字母，例如、都是整式，不是分式； 2.判断分式值为 0 时，遗漏分母不为 0 的条件； 3.先约分再判断是否为分式，违背分式定义的本质； 4.求分式值时，未先检验分母是否为 0，直接代入计算。 【题型1.分式的判断】 【典例】下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是 （填序号）． 【跟踪专练2】下列各式中，分式有（    ）个   ，，，，， A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练3】下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；      （2）；      （3）；       （4） （5）；      （6）0；       （7）；         （8）． 【题型2.分式的规律性问题】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【跟踪专练1】按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若给定下面一列分式：，，，，……，（其中），按此规律下去，其中第10个分式应为： 【跟踪专练3】若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】．（  ）里应填 ． 【跟踪专练1】已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【跟踪专练2】某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意填空： （1）设甲车的速度为，则乙车的速度为 ． （2）乘甲车到科技馆的时间为 h，乘乙车到科技馆的时间为 h． （3）乘甲车到科技馆的时间比乘乙车到科技馆的时间多用时间表示为 ． 【跟踪专练3】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【题型4.分式无意义的条件’】 【典例】如果分式 无意义，那么的值为 【跟踪专练1】如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练2】当 时，分式无意义． 【跟踪专练3】已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【跟踪专练1】若分式有意义，则的取值应满足（   ） A． B． C． D．且 【跟踪专练2】代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【跟踪专练3】下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为，则的值为 ． 【跟踪专练1】当时，分式的值为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【跟踪专练2】若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ． 【跟踪专练3】若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（   ） A． B．且 C． D．且 【题型7.分式的求值】 【典例】若，则的值是 ． 【跟踪专练1】当时，下列分式中，值为0的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则 ． 【跟踪专练3】已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【题型8.求分式值为正(负)数时未知数的取值范围】 【典例】若分式的值为正数，则满足 【跟踪专练1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【跟踪专练2】当x的值为 时，分式的值为负． 【跟踪专练3】已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【题型9.求使分式值为整数时未知数的整数值】 【典例】请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【跟踪专练1】.若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 【跟踪专练2】填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【跟踪专练3】若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解答题 1．（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 2．已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 3．自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 4．观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $