周周练17 10.3 频率与概率（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练17 10.3 频率与概率 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C D A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．①③④ 13． ; 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） （1）；（2）0.35. 【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值； （2）由频率分布直方图求出户外运动时间超过80分钟的频率，用频率估计概率 【详解】（1）由， 得，即. （2），则估计这个人的户外运动时间超过80分钟的概率为0.35. 16．（本小题满分15分）（1）;（2）见解析. 【分析】(1)设A=“取出的两球是相同颜色”,B=“取出的两球是不同颜色”,进而分析可得取出的两球是相同颜色,则两球的颜色均为黑色或白色,易得其情况数目,由等可能事件的概率可得事件A的概率,由对立事件的概率性质,可得答案;(2)根据模拟实验原则:必须保证实验在相同条件下进行,设计随机模拟即可. 【详解】（1）设A＝“取出的两球是相同颜色”， B＝“取出的两球是不同颜色”. 　则事件A的概率为： 　　　　　 　由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为： 　　　　　 （2）随机模拟的步骤： 第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n 第3步：计算的值,则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值 【点睛】本题考查古典概型概率公式与随机模拟的运用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率. 17．（本小题满分15分）（Ⅰ）400人； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数； (Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率； (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人， 由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人， 所以样本中两种支付方式都使用的有， 所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元， 所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为， 因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元， 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．（本小题满分16分）（1）选择路线；（2） 【解析】（1）记路段发生堵车事件为，其余同此表示法，由题意可得路线中遇到堵车的概率，同理，路线中遇到堵车的概率，路线中遇到堵车的概率，然后比较即可； （2）设“路城中遇到堵车的次数为2”为事件M，则，计算即可． 【详解】解：（1）记路段发生堵车事件为，其余同此表示法.因为各路段发生堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线中遇到堵车的概率 ， 同理，路线中遇到堵车的概率，路线中遇到堵车的概率， 显然要使得A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择. 因为，所以选择路线，可使得途中发生堵车事件概率最小. （2）设“路城中遇到堵车的次数为2”为事件M，则 . 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查计算能力，属于中档题． 19．（本小题满分17分）（1）．（2）． 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率． 【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶， 如果最高气温低于20，需求量为200瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p． （2）当温度大于等于25℃时，需求量为500， Y＝450×2＝900元， 当温度在[20，25）℃时，需求量为300， Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元， 当温度低于20℃时，需求量为200， Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元， 当温度大于等于20时，Y＞0， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有： 90﹣（2+16）＝72， ∴估计Y大于零的概率P． 【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练17 10.3 频率与概率 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可逐一判断. 【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 2．某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件A表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件A的（   ） A．频率为，概率为 B．频率为，概率为 C．频率为，概率为 D．频率为，概率为 【答案】B 【详解】事件A的频率为，概率为． 3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 4．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= 故答案为D． 5．已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 6．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使灯亮，必须a闭合，而开关b，或c闭合，再根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果． 【详解】解：设开关a，b，c闭合分别为事件A，B，C，灯亮为事件E， 则灯亮这一事件， 且A，B，C相互独立，，，两两互斥， ∴ ， 故选：B. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题． 7．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项. 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 8．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设事件A，B发生的概率分别为，，则，而A与B都发生的概率，根据基本不等式求解即可． 【详解】解：设事件A，B发生的概率分别为，，则 ， ∴， 当且仅当时取“=”， 或（舍）， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查基本不等式的运用，属于基础题． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D. 【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，， 对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确， 对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误， 对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确， 对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确． 故选：ACD． 10．（多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD. 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为， 故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时较少说明跑得快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误. 故选：AC. 11．（多选题）2019年“双节”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是（    ） A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5 B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过的概率为0.35 C．若从车速在的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在的概率为 D．若从车速在的车辆中任意抽取2辆，则车速都在内的概率为 【答案】ABC 【解析】众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值可判断A；用频率估计概率可判断B；在C中，由题可知，车速在内的车辆数为2，车速在内的车辆数为4，运用古典概型的概率计算公式即可判断C、D． 【详解】解：在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值，A正确； 在B中，车速超过的频率为，用频率估计概率知B正确； 在C中，由题可知，车速在内的车辆数为2，车速在内的车辆数为4， 运用古典概型求概率得， 至少有一辆车的车速在的概率为，即车速都在内的概率为，故C正确，D错误； 故选：ABC． 【点睛】本题主要考查概率与统计的综合，考查根据频率分布直方图估计总体的众数、频率，考查古典概型的概率计算公式，属于基础题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．下列说法： ①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小； ②百分率是频率，但不是概率； ③频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. 其中正确的是 . 【答案】①③④ 【解析】根据频率与概率的概念与区别,依次判断各选项即可. 【详解】对于①,由频率和概率概念: 频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小.可知①正确; 对于②,概率也可以用百分率表示,故②错误. 对于③,频率与试验次数相关,而概率与试验次数无关,所以③正确; 对于④,对于不同批次的试验,频率不一定相同,但概率相同,因而频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,所以④正确. 由概率和频率的定义中可知①③④正确. 故答案为: ①③④ 【点睛】本题考查了频率与概率的概念与区别,对概念要理解准确,属于基础题. 13．在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为 ；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为 . 【答案】 【解析】由题意利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果． 【详解】解：设事件A表示“甲选做第22题”，事件B表示“乙选做第22题”， 则甲，乙2各学生选做同一道题的事件为“”，且事件A，B相互独立， . ∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为； ，∴甲、乙两名学生都选做第22题的概率为. 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 14．A、B两人进行一局围棋比赛，A获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5,6,7表示A获胜；8,9表示B获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组. 例如，产生30组随机数：034  743  738  636  964  736  614  698  637  162  332  616  804  560  111  410  959  774  246  762  428  114  572  042  533  237  322  707  360  751，据此估计B获胜的概率为 ． 【答案】 【分析】由30组别的随机数，采用三局两胜制，利用列举法得到B获胜满足的基本事件有2个，由此能求出B获胜的概率． 【详解】由30组别的随机数，采用三局两胜制得到B获胜满足的基本事件有： 698，959，共2个， ∴B获胜的概率为p． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概率性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)2021年春天，某市疫情缓解，又值春暖花开，于是人们纷纷进行户外运动.现统计某小区约10000人的每日运动时间（分钟）的频率分布直方图如下. （1）求的值； （2）从该小区任选1人，则估计这个人的户外运动时间超过80分钟的概率. 【答案】（1）；（2）0.35. 【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值； （2）由频率分布直方图求出户外运动时间超过80分钟的频率，用频率估计概率 【详解】（1）由， 得，即. （2），则估计这个人的户外运动时间超过80分钟的概率为0.35. 16．(本小题满分15分)甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各2个，乙盒子中有黄，黑，白， 三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球， （1）求取出的两个球是不同颜色的概率. （2）请设计一种随机模拟的方法，来近似计算（1）中取出两个球是不同 颜色的概率（写出模拟的步骤） 【答案】（1）;（2）见解析. 【分析】(1)设A=“取出的两球是相同颜色”,B=“取出的两球是不同颜色”,进而分析可得取出的两球是相同颜色,则两球的颜色均为黑色或白色,易得其情况数目,由等可能事件的概率可得事件A的概率,由对立事件的概率性质,可得答案;(2)根据模拟实验原则:必须保证实验在相同条件下进行,设计随机模拟即可. 【详解】（1）设A＝“取出的两球是相同颜色”， B＝“取出的两球是不同颜色”. 　则事件A的概率为： 　　　　　 　由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为： 　　　　　 （2）随机模拟的步骤： 第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n 第3步：计算的值,则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值 【点睛】本题考查古典概型概率公式与随机模拟的运用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率. 17．(本小题满分15分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： （Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数； （Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】（Ⅰ）400人； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数； (Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率； (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人， 由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人， 所以样本中两种支付方式都使用的有， 所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元， 所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为， 因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元， 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．(本小题满分16分)张老师居住在某城镇的A处，准备开车到学校B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图，例如，算作两个路段，路段发生端车事件的数率为，路段发生堵车事件的频率为. （1）请你为张老师选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小； （2）求路线中遇到堵车的次数为2的概率. 【答案】（1）选择路线；（2） 【解析】（1）记路段发生堵车事件为，其余同此表示法，由题意可得路线中遇到堵车的概率，同理，路线中遇到堵车的概率，路线中遇到堵车的概率，然后比较即可； （2）设“路城中遇到堵车的次数为2”为事件M，则，计算即可． 【详解】解：（1）记路段发生堵车事件为，其余同此表示法.因为各路段发生堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线中遇到堵车的概率 ， 同理，路线中遇到堵车的概率，路线中遇到堵车的概率， 显然要使得A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择. 因为，所以选择路线，可使得途中发生堵车事件概率最小. （2）设“路城中遇到堵车的次数为2”为事件M，则 . 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查计算能力，属于中档题． 19．(本小题满分17分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【答案】（1）．（2）． 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率． 【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶， 如果最高气温低于20，需求量为200瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p． （2）当温度大于等于25℃时，需求量为500， Y＝450×2＝900元， 当温度在[20，25）℃时，需求量为300， Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元， 当温度低于20℃时，需求量为200， Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元， 当温度大于等于20时，Y＞0， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有： 90﹣（2+16）＝72， ∴估计Y大于零的概率P． 【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练17 10.3 频率与概率 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 2．某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件A表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件A的（   ） A．频率为，概率为 B．频率为，概率为 C．频率为，概率为 D．频率为，概率为 3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 4．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． B． C． D． 5．已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ） A． B． C． D． 7．某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 8．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 10．（多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 11．（多选题）2019年“双节”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是（    ） A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5 B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过的概率为0.35 C．若从车速在的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在的概率为 D．若从车速在的车辆中任意抽取2辆，则车速都在内的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．下列说法： ①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小； ②百分率是频率，但不是概率； ③频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. 其中正确的是 . 13．在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为 ；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为 . 14．A、B两人进行一局围棋比赛，A获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5,6,7表示A获胜；8,9表示B获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组. 例如，产生30组随机数：034  743  738  636  964  736  614  698  637  162  332  616  804  560  111  410  959  774  246  762  428  114  572  042  533  237  322  707  360  751，据此估计B获胜的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．2021年春天，某市疫情缓解，又值春暖花开，于是人们纷纷进行户外运动.现统计某小区约10000人的每日运动时间（分钟）的频率分布直方图如下. （1）求的值； （2）从该小区任选1人，则估计这个人的户外运动时间超过80分钟的概率. 16．甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各2个，乙盒子中有黄，黑，白， 三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球， （1）求取出的两个球是不同颜色的概率. （2）请设计一种随机模拟的方法，来近似计算（1）中取出两个球是不同 颜色的概率（写出模拟的步骤） 17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： （Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数； （Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 18．张老师居住在某城镇的A处，准备开车到学校B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图，例如，算作两个路段，路段发生端车事件的数率为，路段发生堵车事件的频率为. （1）请你为张老师选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小； （2）求路线中遇到堵车的次数为2的概率. 19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $