专题03 导数研究极值与最值的九大常考题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题03 导数研究极值与最值的常考题型 题型一：导函数图像与极值最值的关系 2 题型二：求不含参数的函数的极值与最值 3 题型三：讨论含参数的函数的极值点个数 3 题型四：讨论含参数的函数的最值 5 题型五：由函数的极值点个数求参数范围 6 题型六：由函数在区间上的最值求参数范围 8 题型七：分离常数解决不等式的恒成立问题 9 题型八：由函数的极值求参数范围 10 题型九：双变量不等式恒成立问题 11 题型一：导函数图像与极值最值的关系 1．【多选题】（25-26高二上·陕西西安·期末）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 2．【多选题】（25-26高二上·重庆·期末）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D． 3．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 4．【多选题】（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 5．（25-26高三上·广东清远·月考）函数的导函数的图象如图所示，则（   ）    A．是函数的极小值点 B．是函数的一个零点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递减 题型二：求不含参数的函数的极值与最值 6．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 7．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知函数. (1)求的极小值； (2)求和：. 8．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)当时，讨论方程的实数解的个数. 9．（2025高三·全国·专题练习）设，则函数的最大值为 . 10．【多选题】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若函数，则（    ） A．在上单调递减 B．有且仅有两个极值点 C．只有一个零点 D．当时，的值域为 题型三：讨论含参数的函数的极值点个数 11．（2026·福建泉州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)证明：当时，； (3)证明：． 12．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 13．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 14．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 15．（25-26高三上·山东·月考）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 题型四：讨论含参数函数的最值 16．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 17．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 18．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 19．（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 20．（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 题型五：由函数的极值点个数求参数范围 21．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 22．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 23．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. 24．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 25．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 题型六：由函数在区间上的最值求参数范围 26．（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 28．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 29．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．若在上的最小值为，求的取值范围． 30．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 题型七：分离常数解决不等式的恒成立问题 31．（2026高三·上海·专题练习）已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 32．（2026高三·上海·专题练习）已知函数（其中），当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 33．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为 . 34．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 35．（2026·河北·模拟预测）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 题型八：由函数的极值求参数范围 36．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 37．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在大于零的极大值，求实数a的取值范围． 39．【多选题】（25-26高三上·福建宁德·期中）若函数既有极大值也有极小值，则（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 题型九：双变量不等式恒成立问题 41．（2026·安徽黄山·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（2026高三·全国·专题练习）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 43．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且恒成立，则的最大值为 . 45．（25-26高二上·浙江湖州·期末）设函数，若恒成立，则的最大值为（  ） A．-1 B． C．1 D． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数研究极值与最值的常考题型 题型一：导函数图像与极值最值的关系 2 题型二：求不含参数的函数的极值与最值 3 题型三：讨论含参数的函数的极值点个数 3 题型四：讨论含参数的函数的最值 5 题型五：由函数的极值点个数求参数范围 6 题型六：由函数在区间上的最值求参数范围 8 题型七：分离常数解决不等式的恒成立问题 9 题型八：由函数的极值求参数范围 10 题型九：双变量不等式恒成立问题 11 题型一：导函数图像与极值最值的关系 1．【多选题】（25-26高二上·陕西西安·期末）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 【答案】BD 【分析】由导函数图象和极值的定义判断. 【详解】选项A，由图象可知，在，，单调递减， 在，，单调递增，所以选项A错误. 选项B，由图象可知，在内，单调递减，所以选项B正确. 选项C，由图象可知，两侧均为正，始终递增，所以选项C错误. 选项D，当时，，左侧，右侧，导数由负变正，是极小值点， 所以取得极小值，所以选项D正确. 故选：BD 2．【多选题】（25-26高二上·重庆·期末）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D． 【答案】AC 【分析】根据导函数的正负性得出函数的单调性即可逐一判断. 【详解】因为在上恒成立，所以在上单调递增，故A正确； 因为在上恒成立，所以在上单调递增，故B错误； 因为在上恒成立，在上恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，故C正确； 因为在上单调递减，所以，故D错误. 故选：AC 3．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【详解】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 4．【多选题】（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误． 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 5．（25-26高三上·广东清远·月考）函数的导函数的图象如图所示，则（   ）    A．是函数的极小值点 B．是函数的一个零点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递减 【答案】A 【分析】根据导函数图象判断原函数的单调性与极值点，逐一分析选项. 【详解】当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，根据极小值点的定义，是函数的极小值点，A选项正确； 导函数图像无法提供原函数的零点信息，B错误； 当时，，函数单调递增，所以不是极大值点，C选项错误； 当时，导函数，函数在区间上单调递增，不是单调递减，D选项错误. 故选：A. 题型二：求不含参数的函数的极值与最值 6．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 【答案】(1)； (2)的递增区间为和，递减区间为； (3)极大值为，极小值为. 【分析】（1）由斜率乘积为，求得参数的取值； （2）求导后根据导函数的正负来确定原函数的增减区间； （3）由第二问的增减性结合极值定义求得极值. 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为和，的递减区间为. （3）由可知，在处取得极大值； 在处取得极小值. 7．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知函数. (1)求的极小值； (2)求和：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数先确定的单调性，进而求解最小值即可. （2）先观察目标式的结果，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得的极小值为. （2）由已知得， 设 则， ， 两式相减可得， 则，即， 故. 8．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)当时，讨论方程的实数解的个数. 【答案】(1)的减区间是，的增区间是 (2)极小值为，无极大值 (3)答案见解析 【分析】（1）根据导数的正负与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可； （3）利用转化法，把方程问题转化为直线与曲线交点个数问题，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）该函数的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的减区间是，的增区间是； （2）由（1）知的减区间是，的增区间是， 所以当时，取得极小值，无极大值； （3）方程的实数解的问题转化为直线和函数的图象交点个数问题， 易知，，， 由（1）作出函数的大致图象，如图所示： 由图象知： 当或时，直线和函数的图象无交点，即方程无实根； 当时，直线和函数的图象有2个交点，即方程有2个实根； 当或时，直线和函数的图象有1个交点，即方程有1个实根； 综上所述： 当或时，方程无实根； 当时， 方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根. 9．（2025高三·全国·专题练习）设，则函数的最大值为 . 【答案】 【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再求最值. 【详解】因为，， 则在区间上单调递减， 所以函数的最大值为． 故答案为： 10．【多选题】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若函数，则（    ） A．在上单调递减 B．有且仅有两个极值点 C．只有一个零点 D．当时，的值域为 【答案】ABC 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值、零点与最值，即可判断. 【详解】函数，求导得 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：由，解得或，在和上单调递增， 令，解得或， 所以有且仅有两个极值点，故B正确； 选项C：由于的极大值，极小值 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故D错误. 故选：ABC. 题型三：讨论含参数的函数的极值点个数 11．（2026·福建泉州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)证明：当时，； (3)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得的极值情况； （2）设，由（1）的分析可得的单调性，从而可得当时，恒成立，故可证题设中的不等式； （3）由（2）中的不等式可得，利用裂项相消法证明. 【详解】（1）， 当时，在上单调递增，函数无极值； 当时，令得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以当时，取得极小值，无极大值. （2）令， 由（1）知，取时，， 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以时，； 又因为，所以时，， 综上当时，，即，当且仅当时等号成立. （3）令，则, 则由（2）中结论可得即， 因此， 所以. 12．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，分类讨论研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）当时，，因为，所以切点为， 又，所以切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值． 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以的极小值为，无极大值． 13．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解. 【详解】（1）当时， . ，. 即曲线在处的切线斜率为. （2）. 所以. 当时，， ，. 在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得. 当时， ，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增. ， 所以在处取得极小值为，无极大值. 综上： 当时， 无极值； 当时，有极小值为，无极大值. 14．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在切点处的切线斜率及切点坐标，代入直线方程求解. （2）求出函数的导函数，明确函数的定义域，对导函数再次求导，利用导数的符号变化判断单调性，进而确定极值. 【详解】（1）当时，. . ，又. 则曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，. . 令. 则. 当时，，函数在上单调递增. 此时函数在上无极值； 当时，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. 15．（25-26高三上·山东·月考）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． 题型四：讨论含参数函数的最值 16．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值； (2)答案见解析. 【分析】（1）研究导函数正负情况即可求解； （2）利用导数工具分当、、、四种情况研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，即，解得，可得，，的变化如下表所示， 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，无极大值 （2）为增函数， ①当时，在上，函数单调递增， 此时； ②当时，令解得 若，即，在上，函数单调递增， 此时； 若，即，在上，，的变化如下表所示， － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 此时； 若，即，在上，函数单调递减， 此时； 综上所述，当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 17．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时， 在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时， )在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 18．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 19．（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【分析】（1）分是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上可得，进而求解判断即； （2）分与两种情况，可得的单调性，进而可求最值. 【详解】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 20．（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时， 在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 题型五：由函数的极值点个数求参数范围 21．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得，根据题意转化为一元二次方程在内有两个不等实根，根据一元二次方程根的分布列出不等式即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 22．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下，    由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 23．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，代入即可求解， （2）求导，将问题转化为在上仅有一个不为1的，实数根构造函数由导数求解函数的单调性，进而求解最值得解. 【详解】（1）， ，故 （2）令，则在上有且仅有两个实数根， 由于，所以在上仅有一个实数根，则在上仅有一个不为1的实数根， 令则， 当时， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减， 且 而故 24．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为： 25．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于有两个不同的根，令，利用导数法求出单调性，数形结合即可求解. 【详解】由得， 因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点， 即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令， 则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图： 由图可知，所以，所以m的取值范围是 . 故答案为： 题型六：由函数在区间上的最值求参数范围 26．（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 27．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 28．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 29．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．若在上的最小值为，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据进行分类讨论，确定出的单调性并求解出最小值，注意最小值与的关系，由此可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递增，所以，故符合题意； 当时，令，解得或， 若，则，则在上单调递减， 若，则，则在上单调递增， 所以，故不符合题意； 当时，因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，故不符合题意； 综上所述，的取值范围是. 30．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，由， 求得切线方程； （2），分与讨论可得函数的单调性； （3）求出，分与结合函数的单调性，计算函数的最小值得出参数. 【详解】（1）当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． （2）因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 题型七：分离常数解决不等式的恒成立问题 31．（2026高三·上海·专题练习）已知函数（）．若恒成立，求a的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立，分离参数，再由导数求函数的最大值即可得解. 【详解】，其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为，所以． 32．（2026高三·上海·专题练习）已知函数（其中），当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】 【分析】利用参变分离以及隐零点求出的最小值即可. 【详解】可化为， 当时，则，符合题意，； 当时，则，可得恒成立， 令，，可知， 可得， 令，， 则在上恒成立， 可知在上单调递增，且，， 则，使得，即， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以， 所以只需，因为，即整数的最大值为； 综上所述：整数的最大值为. 33．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据恒成立，构造函数，求解导数，判断单调性，求出函数的最值即可. 【详解】原不等式等价于恒成立， 设，，因为，所以， 令，，为增函数， 又，，所以存在唯一，使得， 即，. 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的最小值为. 实数的取值范围为. 故答案为： 34．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程，求解参数即可. （2）先求导函数，由导函数特征对参数范围进行分类讨论即可求解. （3）方法一：利用分离参数法得到即可分析计算求解；方法二：转化为，再结合的单调性建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得， 因为曲线与轴相切，所以设切点为， 则，解得， 又因为，所以，解得. （2）由题意得的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数， 当时，若，，在上为减函数， 若，，在上为增函数； 综上，当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数 （3）方法一：由题意得当时，恒成立， 等价于恒成立，得到， 令，则，解得， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 则，故. 方法二：当时，恒成立，等价于恒成立 由（2）可知：①当时，在上为增函数， ，则，无解 ②当时，在上为减函数，在上为增函数， 得到，解得. 35．（2026·河北·模拟预测）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程; （2）根据可得，设函数，求导求解最小值. 【详解】（1）由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. （2）由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以，即的最大值为1． 题型八：由函数的极值求参数范围 36．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 37．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时 时 ， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 38．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在大于零的极大值，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，分和两种情况，求出相应的极大值，从而得到不等式，解不等式，得到答案. 【详解】（1）时，，， 则，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）定义域为， ，若，则恒成立， 故在上单调递增，不存在极值点，舍去； 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值， 极大值为， 令，解得， 故实数a的取值范围为. 39．（25-26高三上·福建宁德·期中）若函数既有极大值也有极小值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出定义域，求导，根据题意得到在上有两个不相等的实根，根据根的判别式和韦达定理得到不等式组，求出答案. 【详解】的定义域为， ， 要想既有极大值也有极小值，则需在定义域内至少有两个不先相等的实根， 故在上有两个不等实根， 故，故，，，ABC正确， 根据和可知，异号，即，D错误. 故选：ABC 40．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 题型九：双变量不等式恒成立问题 41．（2026·安徽黄山·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得对于恒成立，进而得到函数和在上有共同的零点，可得，进而得到，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 42．（2026高三·全国·专题练习）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到和，然后化简所求表达式并求导，判断单调性，进而求出结果. 【详解】因为函数，且恒成立，函数与都是增函数， 所以两函数的零点重合，假设零点为，则由得：， 由得：，所以， 所以令，求导得， 令得，令，则， 所以是增函数，所以． 故选：C． 43．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 44．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最值，最后根据最值求出的最大值. 【详解】令，因为恒成立， 所以恒成立， 对求导得：， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，，不满足； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以， 即； 则， 令， 则， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 即的最大值为. 故答案为： 45．（25-26高二上·浙江湖州·期末）设函数，若恒成立，则的最大值为（  ） A．-1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由得到或，解得或，分别按照和讨论求解，当时，分别按照，，这三种情况讨论求解，得到，则，构造函数，利用导数法求出的单调性，得到的最大值即为所求. 【详解】，，或， 或， 当时，的解为，无解，故的解为， 不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，的解为， 当时，的解为，解为， 则的解为或，不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，解为， 则的解为或，不满足恒成立，故不符合题意； 当时，的解为，解为， 则的解为或，即的解为， 满足恒成立，故符合题意； ， 设，， 的解为，则在上是单调递增函数； 的解为，则在上是单调递减函数； 则在处取得最大值，且最大值为. 故选：B. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $