专题02 导数研究单调性的十大核心考点（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题02 导数研究单调性的核心考点 题型一：求函数的单调区间（不含参数） 2 题型二：讨论函数的单调性 3 题型三：由函数在区间上的单调性求参数范围 3 题型四：由函数在某区间存在增/减区间求参数范围 5 题型五：由变量构造某函数的单调性求参数范围 6 题型六：利用单调性比较大小 8 题型七：利用单调性解不等式 9 题型八：由导数的运算法则构造函数单调性比较大小 10 题型九：通过变量构造函数 11 题型十：通过数值构造函数 12 题型一：求函数的单调区间（不含参数） 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】根据函数求导，使导函数大于0，求解不等式即得函数的递增区间. 【详解】因的定义域为， 求导得，由可得，解得. 故函数的单调递增区间是． 故答案为：. 2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）函数的单调减区间为 ． 【答案】 【分析】求出导函数，然后解不等式即可求解单调减区间． 【详解】， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调减区间为． 故答案为：． 4．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数定义域并令其导函数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为 故选：C 5．（26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 题型二：讨论函数的单调性 6．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，再按分类求出导函数值为正为负的解集即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，由，得或； 由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析. 【分析】先求函数定义域，对函数求导，讨论、时导数的符号，进而确定区间单调性. 【详解】函数的定义域为，求导得到， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，令，即，解得， 当和时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减；在上单调递增； 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分、分别讨论即可. 【详解】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 9．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，对函数求导得出斜率再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）求出，并对求导根据参数的取值范围进行分类讨论，即可得出其单调性. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 10．（2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间； 【答案】答案见解析 【分析】求导，分与讨论即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型三：由函数在区间上的单调性求参数范围 11．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 12．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由并同构变形,结合单调性转化为在恒成立，再构造函数并求出最小值即可. 【详解】依题意，， 由在上单调递增，得不等式 在上恒成立，令， 而在上单调递增，则函数在上单调递增， 因此在上恒成立， 令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，因此， 所以实数a的最大值为. 故选：B 13．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因为在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：B 14．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：利用导数的运算法则得，根据函数单调时导数恒正或恒负，分离参数后求函数最值确定的取值范围；解法二：利用补集思想，先求函数不单调时的取值范围，再取补集得到单调时的取值范围. 【详解】（解法1）因为在区间上是单调函数， 所以，对，有， 或者恒成立， 所以，对有或者恒成立， 利用二次函数性质求解可得：或者， 设，定义域为，， 当时，，所以， 即在上单调递减，则， 又因为时，， 且时，， 所以，则或者， 所以. （解法2）若在区间上不单调， 则在内存在极值点， 所以，在内存在变号实根， 即在内存在变号实根， 化简得：在内存在变号实根， 所以，直线与函数在上的图像有交叉点， 又由解法一可知，，所以，化简得：， 若在区间上是单调函数，则. 故选：D. 15．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 题型四：由函数在某区间存在增减区间求参数范围 16．（25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题即在有解，可分离参数转化为最值问题求解. 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 17．（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导，利用函数在区间内的单调性转化为不等式能成立问题，结合基本不等式求解． 【详解】函数定义域为，求导得， 函数在区间上存在单调递增区间， 在区间上有解，即在区间上有解， 即在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等号， ，故实数的取值范围是． 故答案为：． 18．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 19．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数单调性的关系：函数的单调递增区间对应导数大于的区间，单调递减区间对应导数小于的区间. 【详解】对于函数，求导得：， 区间内存在单调递增区间，也就是在内有解，整理得在内有解， 令，其对称轴为，在区间内， 计算端点值：， 所以在上的最大值为， 因为在内有解，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 20．（25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据题意得在区间有解，即，利用基本不等式求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间有解， 即在区间有解， 所以在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等，所以． 故选：B． 题型五：由变量构造某函数的单调性求参数范围 21．（25-26高三上·广东·月考）已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题设可得，设，，可得，进而得到函数在上单调递减，进而可将问题转化为对于恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则对于恒成立， 即对于恒成立， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 22．（2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先对已知不等式进行变形，得到，再构造函数，利用导数分析函数的单调区间即可得解． 【详解】因为，， 所以，即． 令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 故时满足题意，所以的最大值为1． 故选：B． 23．（2025·海南·一模）已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ） A． B．e C． D．2e 【答案】B 【分析】构造函数，进而结合题意得函数在上单调递增，进而得恒成立，只要，求解函数的最大值即可得答案. 【详解】由题意可知的定义域为， 由条件可得， 所以. 设 ， 则在上单调递增. 求导得 ， 则在上恒成立，所以，即恒成立， 易知在上单调递增，故只需，即在时恒成立即可. 设，则，可知在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即的最大值为e. 故选：B 24．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合导数，分及进行讨论即可得； （2）将不等式化简后可令，可得在上单调递增，结合导数正负与单调性的关系求导后参变分离计算即可得. 【详解】（1），， 则当时，，故在上单调递减， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题意可得， 整理得，令， 即对任意的，，当时，都有， 即在上单调递增， ， 则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 由在上单调递增，则， 故. 25．（2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由，得，构造函数 ，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到a的取大值. 【详解】由，得， 则，即 ， 有，令 ， 所以，令， 当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为. 故答案为：. 题型六：利用单调性比较大小 26．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知实数，若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性计算即可. 【详解】条件可化为， 令，则， 易知时，， 时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则，故， 又，所以， 则，即. 故选：C 27．【多选题】（2026·河北·一模）设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断. 【详解】因为且，，所以. 又，所以. 构造函数， 则的定义域为，， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即，所以， 所以，故CD正确； 当时，，即， 所以，所以，故AD正确，B错误. 故选:ACD. 28．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导函数可知在上单调递增，由可得，代入得，再根据的单调性可知，结合和的单调性可比较的大小，同理. 【详解】由已知可得，，，且， 若，则，，此时，故，同理， 构造函数，其中，， 则原等式等价于，，， 对求导得， 因为且，所以，，， 所以，即在上单调递增， 由可得， 所以， 令，则， 由指数函数和对数函数的单调性可得，， 所以，单调递增，所以， 所以， 因为且在上单调递增，所以， 同理由可得， 所以， 同理可得， 因为且在上单调递增，所以， 综上， 故选：A 29．【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目不等式，构造函数，证明函数单调性，判断参数的大小关系，根据每个选项的不等式，分别构造函数，根据函数导数，判断函数单调性，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】因为，所以，令，则， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以，故A正确； 取，则，故B错误； 由知，因为函数与在上都是单调递增函数， 所以当时，，，所以，， 所以，故C正确； 设，所以，令， 则，可知， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 所以的最小值为，所以，在上单调递增， 因为，所以，故D正确， 故选：ACD. 30．【多选题】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由中间值法判断的大小，再用分析法判断，并用导数判断函数单调性可得. 【详解】因为，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，要证，只需证，即证， 因为,所以, 所以，所以，所以B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，则，所以C正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：BCD. 题型七：利用单调性解不等式 31．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性解不等式. 【详解】由题意得，，所以， 在上单调递增. 又，所以为上单调递增的奇函数. 则可化为， 又在上单调递增，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 32．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过求导得到函数的单调性，根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题可知的定义域为， 因为，所以在上单调递增， 则，在上恒成立， 令，则， 因为在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以， 又，所以不等式的解集为. 故答案为：. 33．（25-26高一上·河北雄安·期末）已知函数（为常数）为上的偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求得，进而判断函数的单调性，然后根据函数单调性即可求解不等式. 【详解】因为函数（为常数）为上的偶函数， 所以， 所以，则， 对于，， 当时，， 所以，单调递增， 且单调递增，所以在上单调递增， 所以， 平方得，解得或. 故答案为： 34．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用导数法和定义法分别判断函数的奇偶性和单调性，然后利用这两个性质解不等式即可. 【详解】函数定义域为，恒成立， 所以是增函数， 又， 所以是奇函数， 由得， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 35．（25-26高三上·辽宁·月考）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 题型八：由导数的运算法则构造函数单调性比较大小 36．（2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数根据导数判断单调性，结合单调性求解不等式即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 则原不等式等价于，因为，所以， 故 ，所以， 解得，所以不等式 的解集为． 故选：D 37．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数导数的正负性判断新函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造新函数， 所以是上递增函数， 所以. 故选：D 38．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，再由已知结合导函数运算律构造函数的导函数，再根据导函数得出函数单调性列式求解. 【详解】根据可得， 可知当时，，即， 所以可知函数在上是增函数，即， 从而得， 故选：A． 39．（2026高三·上海·专题练习）已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，其中，利用导数分析该函数在上的单调性，可知函数为偶函数，且，将所求不等式变形为，可得出，可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 当时，，此时， 故函数在上单调递减， 因为函数为偶函数，即对任意的，， 所以，故函数为偶函数， 因为，则，所以， 由可得，即， 所以，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：A. 40．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数为奇函数，令，得到，则函数在上单调递增，结合奇偶性即可逐项判断． 【详解】 的图象关于点对称， 的图象关于点对称，即函数为奇函数， ，， 令，， 则， 即函数在上单调递增， 又函数为奇函数，为偶函数， 所以函数为奇函数， ，即， 整理得，则的大小无法确定，故AB错误； ，即， 整理得，则的大小无法确定，故C错误； ，即， ，即， 整理得，故D正确． 故选：D． 题型九：通过变量构造函数 41．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设正数、、满足，，则以下大小关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式变形得出，构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，对的取值范围进行讨论，可得出、、的大小关系. 【详解】由得，由得， 所以，由题意可知，则， 所以， 又由于、、都是正数，所以，解得，，且， 构造函数，，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上为增函数， 故对任意的恒成立，因此， 构造函数，， 则对任意的恒成立，所以函数在上为增函数， 且，由于，故， 当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 故当时，； 当时，，此时. 综上所述，、、间的大小关系只能是或或. 故选：C. 42．（2026·福建漳州·模拟预测）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用的单调性与最值，结合同构法得出计算即可. 【详解】可化为， 令可得， 令可得，令可得， 所以在上单调递减，在上单调递增，即， 故， 当且仅当时取得等号， 又，显然，即， 所以. 故选：B 43．（25-26高三上·甘肃·月考）已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，设和，化简得到，令，得到，设，求得，得到在上单调递增，求得，代入，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由， 即 设，可得，且，可得， 再令，则，可得， 即， 令，则， 所以，其中， 设，可得，所以在上单调递增， 由，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值. 故选：B. 44．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）正实数，满足和（其中是自然对数的底数），则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】首先由得出和，然后由得出，最后构造函数，证明其单调性可得到即可得出答案. 【详解】由题意， ①， ②，显然， 联立①②可得③， 考察函数，则， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 结合③式可得， 所以. 故选：D 45．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得到当且仅当时取等号，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，即可说明当且仅当时取等号，从而得到且时成立，即可得解得的值，从而得所求. 【详解】因为，所以， 由于，当且仅当时取等， 令，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即恒成立当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时，等号成立， 即，又因为， 所以，且，解得， 所以. 故选：C. 题型十：通过数值构造函数 46．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数确定单调性比较；构造函数，利用导数确定单调性比较即可. 【详解】令，求导得，函数在上递增， 则，即，因此，即； 令，求导得， 函数在上递增，，即，因此，即， 所以，，的大小关系为. 故选：A 47．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求得函数单调性由，根据对数运算法则即可比较得出大小. 【详解】令函数，则， 由可得，当时，，当时，， 因此可得在上单调递减， 因为，所以，即， 因此，即，可得，即； 显然均大于0，又，可得； 同理可知，所以，即， 因此，即，可得，即； 即可得. 故选：B 48．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取对数得，设，利用导数判断出函数的单调性可得答案. 【详解】因为，，， 则， 设， 则， 设， 则， 当时，，所以在上单调递减， 则，所以，即在上单调递增， 因为，所以，即， 即，所以. 故选：D 49．（25-26高三上·安徽·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，，得到 设和，利用导数求得和的单调性，结合函数的单调性，比较大小，即可得到答案. 【详解】令，，， 可得， 设，其中， 可得，所以在上单调递减， 所以，即，即， 故，所以； 设，其中， 可得，令， 可得，故在上单调递增， 所以，可得，所以在上单调递增， 所以，可得， 故，所以，所以. 故选：A. 50．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作差，构造函数，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、的大小关系；再比较出、的大小关系，即可得出结论. 【详解】作差得， 设，， 则， 设，，则， 令，得， 所以函数在上单调递减， 又，所以当时，，则， 此时函数在上单调递增， 又，所以，则，即； 又，从而，即，则，所以. 故选：D. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数研究单调性的核心考点 题型一：求函数的单调区间（不含参数） 2 题型二：讨论函数的单调性 3 题型三：由函数在区间上的单调性求参数范围 3 题型四：由函数在某区间存在增/减区间求参数范围 5 题型五：由变量构造某函数的单调性求参数范围 6 题型六：利用单调性比较大小 8 题型七：利用单调性解不等式 9 题型八：由导数的运算法则构造函数单调性比较大小 10 题型九：通过变量构造函数 11 题型十：通过数值构造函数 12 题型一：求函数的单调区间（不含参数） 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 . 2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）函数的单调减区间为 ． 4．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 题型二：讨论函数的单调性 6．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论函数的单调性； 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 9．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 10．（2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间； 题型三：由函数在区间上的单调性求参数范围 11．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 14．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：由函数在某区间存在增减区间求参数范围 16．（25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 17．（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ． 18．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 19．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型五：由变量构造某函数的单调性求参数范围 21．（25-26高三上·广东·月考）已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是 . 22．（2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 23．（2025·海南·一模）已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ） A． B．e C． D．2e 24．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 25．（2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 . 题型六：利用单调性比较大小 26．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知实数，若， 则（    ） A． B． C． D． 27．【多选题】（2026·河北·一模）设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（        ） A． B． C． D． 29．【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 30．【多选题】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 题型七：利用单调性解不等式 31．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是 . 32．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 33．（25-26高一上·河北雄安·期末）已知函数（为常数）为上的偶函数，则不等式的解集为 . 34．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 35．（25-26高三上·辽宁·月考）已知函数，则不等式的解集为 . 题型八：由导数的运算法则构造函数单调性比较大小 36．（2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 39．（2026高三·上海·专题练习）已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 40．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型九：通过变量构造函数 41．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设正数、、满足，，则以下大小关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 42．（2026·福建漳州·模拟预测）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高三上·甘肃·月考）已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）正实数，满足和（其中是自然对数的底数），则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 45．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 题型十：通过数值构造函数 46．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高三上·安徽·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $