专题10因式分解（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题10因式分解 【题型01 判断是否是因式分解】....................................3 【题型02 已知因式分解的结果求参数】..............................3 【题型03 公因式】................................................4 【题型04 提公因式法分解因式】....................................4 【题型05 判断能否用公式法分解因式】..............................5 【题型06 平方差公式法分解因式】..................................5 【题型07 完全平方公式分解因式】..................................5 【题型08 综合运用公式法分解因式】................................6 【题型09 综合提公因式与公式法分解因式】..........................6 【题型10 因式分解在有理数简算中的应用】..........................7 【题型11 因式分解的应用】........................................7 【题型12 解答题5题】............................................7 ★知识梳理★ 知识点01:因式分解的概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 本质：整式乘法的逆变形（整式乘法是 “积化和差”，因式分解是 “和差化积”）。 结果要求： 必须是整式的乘积（不能出现分式、加减混合）； 必须分解到每一个因式都不能再分解为止（彻底性）。 2. 与整式乘法的关系 整式乘法：m(a+b)=ma+mb（积→和） 因式分解：ma+mb=m(a+b)（和→积） 二者互为逆运算，可互相检验结果是否正确。 知识点02:提公因式法 1. 公因式 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2. 确定公因式的方法（三步法） (1)定系数：取各项整数系数的最大公约数； (2)定字母：取各项都含有的相同字母（或因式）； (3)定指数：取相同字母（或因式）的最低次幂。 3. 提公因式法 如果多项式各项有公因式，把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积形式。 公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 关键：先提公因式（因式分解的第一步）。 易错点：提取公因式后，原多项式中与公因式相同的项，剩余部分为1，不可省略（如：3x2+3x=3x(x+1)，而非3x(x)）。 知识点03:公式法 逆用乘法公式进行因式分解，核心是识别公式结构。 1. 平方差公式 公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 结构特征： (1)二项式； (2)两项符号相反； (3)每项都可写成平方的形式（a2、b2）。 示例：4x2−9=(2x)2−32=(2x+3)(2x−3) 2. 完全平方公式 公式：a2+2ab+b2=(a+b)2（和的完全平方） a2−2ab+b2=(a−b)2（差的完全平方） 结构特征： (1)三项式； (2)首尾两项是平方项，符号相同； (3)中间项是首尾底数乘积的 2 倍（符号可正可负）。 示例：x2+6x+9=x2+2⋅x⋅3+32=(x+3)2； 4y2−4y+1=(2y−1)2 知识点04:因式分解的一般步骤（核心流程） 遵循 **“一提、二套、三查”** 原则，确保分解彻底： 一提：先看多项式各项是否有公因式，优先提取公因式（最基础、最关键步骤）； 二套：提取公因式后，剩余部分若符合公式结构，再套用平方差公式或完全平方公式分解； 三查：检查每个因式是否还能继续分解，必须分解到不能再分解为止。 知识点05:常见易错点 1.混淆因式分解与整式乘法，结果出现加减混合； 2.提取公因式不彻底（如系数未取最大公约数、指数未取最低次幂）； 3.完全平方公式中，中间项符号或系数（2 倍）出错； 4.分解不彻底，未检查剩余因式能否继续分解； 5.提取公因式后，遗漏 “1”（如：x2+x=x(x+1)，而非x(x)）。 【题型1.判断是否是因式分解】 【典例】把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 【跟踪专练1】下列各式从左到右的变形过程是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型2.已知因式分解的结果求参数】 【典例】若多项式分解因式后含有因式，则的值为 ． 【跟踪专练1】已知多项式可分解因式为，则为 ． 【跟踪专练2】若多项式可分解为，则a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【跟踪专练3】在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 . 【题型3.公因式】 【典例】多项式的公因式是 ． 【跟踪专练1】下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．与b B．与 C．与 D．与 【跟踪专练2】写出下列多项式的最大公因式： （1）： ． （2）： ． （3）： ． 【跟踪专练3】下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】因式分解： ． 【跟踪专练1】下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【跟踪专练2】把多项式提取公因式后，另一个因式为 ． 【跟踪专练3】把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【题型5.判断能否用公式法分解因式】 【典例】下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【跟踪专练2】下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列各多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6.平方差公式分解因式】 【典例】因式分解 ． 【跟踪专练1】下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果，那么括号内的整式是 ． 【跟踪专练3】若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【题型7.完全平方公式分解因式】 【典例】因式分解： ． 【跟踪专练1】把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把多项式分解因式的结果是 ． 【跟踪专练3】若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【题型8.综合运用公式法分解因式】 【典例.】对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为 ． 【跟踪专练2】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】满足，分解因式 ． 【题型9.综合提公因式与公式法分解因式】 【典例】分解因式： ． 【跟踪专练1】分解因式的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分解因式： (1)_____； (2)________； (3)_____． 【跟踪专练3】若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【题型10.因式分解在有理数简算中的应用】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【跟踪专练2】计算： ． 【跟踪专练3】.计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型11.因式分解的应用】 【典例】已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为 ． 【跟踪专练1】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为 ． 【跟踪专练3】若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 2．先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． 3．把下列各式因式分解： (1)． (2)． 4．因式分解． (1) (2) (3) (4) 5．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10因式分解 【题型01 判断是否是因式分解】....................................3 【题型02 已知因式分解的结果求参数】..............................4 【题型03 公因式】................................................5 【题型04 提公因式法分解因式】....................................7 【题型05 判断能否用公式法分解因式】.............................10 【题型06 平方差公式法分解因式】.................................12 【题型07 完全平方公式分解因式】.................................13 【题型08 综合运用公式法分解因式】...............................15 【题型09 综合提公因式与公式法分解因式】.........................17 【题型10 因式分解在有理数简算中的应用】.........................18 【题型11 因式分解的应用】.......................................20 【题型12 解答题5题】...........................................22 ★知识梳理★ 知识点01:因式分解的概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 本质：整式乘法的逆变形（整式乘法是 “积化和差”，因式分解是 “和差化积”）。 结果要求： 必须是整式的乘积（不能出现分式、加减混合）； 必须分解到每一个因式都不能再分解为止（彻底性）。 2. 与整式乘法的关系 整式乘法：m(a+b)=ma+mb（积→和） 因式分解：ma+mb=m(a+b)（和→积） 二者互为逆运算，可互相检验结果是否正确。 知识点02:提公因式法 1. 公因式 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2. 确定公因式的方法（三步法） (1)定系数：取各项整数系数的最大公约数； (2)定字母：取各项都含有的相同字母（或因式）； (3)定指数：取相同字母（或因式）的最低次幂。 3. 提公因式法 如果多项式各项有公因式，把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积形式。 公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 关键：先提公因式（因式分解的第一步）。 易错点：提取公因式后，原多项式中与公因式相同的项，剩余部分为1，不可省略（如：3x2+3x=3x(x+1)，而非3x(x)）。 知识点03:公式法 逆用乘法公式进行因式分解，核心是识别公式结构。 1. 平方差公式 公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 结构特征： (1)二项式； (2)两项符号相反； (3)每项都可写成平方的形式（a2、b2）。 示例：4x2−9=(2x)2−32=(2x+3)(2x−3) 2. 完全平方公式 公式：a2+2ab+b2=(a+b)2（和的完全平方） a2−2ab+b2=(a−b)2（差的完全平方） 结构特征： (1)三项式； (2)首尾两项是平方项，符号相同； (3)中间项是首尾底数乘积的 2 倍（符号可正可负）。 示例：x2+6x+9=x2+2⋅x⋅3+32=(x+3)2； 4y2−4y+1=(2y−1)2 知识点04:因式分解的一般步骤（核心流程） 遵循 **“一提、二套、三查”** 原则，确保分解彻底： 一提：先看多项式各项是否有公因式，优先提取公因式（最基础、最关键步骤）； 二套：提取公因式后，剩余部分若符合公式结构，再套用平方差公式或完全平方公式分解； 三查：检查每个因式是否还能继续分解，必须分解到不能再分解为止。 知识点05:常见易错点 1.混淆因式分解与整式乘法，结果出现加减混合； 2.提取公因式不彻底（如系数未取最大公约数、指数未取最低次幂）； 3.完全平方公式中，中间项符号或系数（2 倍）出错； 4.分解不彻底，未检查剩余因式能否继续分解； 5.提取公因式后，遗漏 “1”（如：x2+x=x(x+1)，而非x(x)）。 【题型1.判断是否是因式分解】 【典例】把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 【答案】几个整式的积的形式 【分析】根据因式分解的定义直接填空即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 故答案为：几个整式的积的形式． 【点睛】本题主要考查了因式分解定义，注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式． 【跟踪专练1】下列各式从左到右的变形过程是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解．根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可． 【详解】解：A选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意； B选项的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C选项是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； D选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解：把一个整式化为几个因式的积的形式，从而可以得到答案． 【详解】解：A．没有把化成因式的积的形式，故A选项错误； B．从左到右，不是把一个整式化为几个因式的积的形式，故B选项错误； C．没有把化成因式的积的形式，故C选项错误； D．是把化为几个因式的积的形式，是因式分解，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的定义是解题关键． 【题型2.已知因式分解的结果求参数】 【典例】若多项式分解因式后含有因式，则的值为 ． 【答案】4 【分析】利用十字相乘的方法判断即可求出m的值． 【详解】解：∵多项式x2+mx-12分解因式后含有因式x-2， ∴x2+mx-12=（x-2）（x+6）=x2+4x-12， 则m=4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 【跟踪专练1】已知多项式可分解因式为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若多项式可分解为，则a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可． 【详解】解： ， 把多项式分解因式，得， ， 故选：B． 【跟踪专练3】在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 . 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 【题型3.公因式】 【典例】多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键．确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；由此即可得． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．与b B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式． 分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可． 【详解】解：A、与b有公因式b，故本选项不符合题意； B、与无公因式，故本选项符合题意； C、与有公因式，故本选项不符合题意； D、与有公因式2，故本选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】写出下列多项式的最大公因式： （1）： ． （2）： ． （3）： ． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 【跟踪专练3】下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．观察表达式，发现两项都含有公因式，因此直接提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 【跟踪专练2】把多项式提取公因式后，另一个因式为 ． 【答案】 【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解： 提取公因式后，另一个因式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式． 【跟踪专练3】把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 【题型5.判断能否用公式法分解因式】 【典例】下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，掌握知识点是解题的关键． 完全平方式的形式为，通过比较各选项的系数判断是否符合即可． 【详解】解：A．在中，常数项是，是负数，该项不可能是完全平方式，不符合题意；； B．，一次项系数的一半的平方为，该项不是完全平方式，不符合题意； C．，中间项应为，该项不是完全平方式，不符合题意； D． ，该项是完全平方式，符合题意． 故选D． 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【跟踪专练2】下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【跟踪专练3】下列各多项式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的判断，将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫将这个多项式分解因式，方法有提公因式法，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键 【详解】解：A. ，提公因式错误，故计算错误，不符合题意； B.等号左边是三项，而等号右边是两项，两边不相等，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. 根据完全平方公式分解，正确，符合题意， 故选：D 【题型6.平方差公式分解因式】 【典例】因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，该多项式是平方差形式，可直接应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知平方差公式分解因式是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、，能用完全平方公式因式分解，不能用平方差公式因式分解，不符合题意； C、，能用提公因式法因式分解，不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如果，那么括号内的整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将右边因式分解后判断即可． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 故答案为：． 【跟踪专练3】若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【答案】B 【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 【题型7.完全平方公式分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行因式分解，识别多项式为完全平方式并准确匹配公式形式是解题的关键． 利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．将视为整体，应用完全平方公式分解． 【详解】解：设，则原式化为， ∵， ∴ 原式， 故选：B． 【跟踪专练2】把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握完全平方公式是解题关键． 观察多项式，发现其符合完全平方公式的形式，先换元再使用公式进行因式分解． 【详解】解：原式整理得，， 设，则原式， 代入得． 故答案为：． 【跟踪专练3】若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【答案】D 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 【题型8.综合运用公式法分解因式】 【典例.】对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，此项错误； ②，此项正确； ③，此项错误； ④，此项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为 ． 【答案】49 【分析】本题考查完全平方公式分解因式的简单应用，先将条件的式子转换成，再平方即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：49． 【跟踪专练2】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 【跟踪专练3】满足，分解因式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，非负数的性质，先根据非负数的性质得到，再利用平方差和完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型9.综合提公因式与公式法分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【跟踪专练1】分解因式的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据因式分解排除选项． 【详解】解：； 故选：D． 【跟踪专练2】分解因式： (1)_____； (2)________； (3)_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法的应用是解题的关键． （1）先去括号，再利用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）先利用完全平方公式化简整理后，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【跟踪专练3】若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 【题型10.因式分解在有理数简算中的应用】 【典例】计算： ． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式． 【跟踪专练1】运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式． 先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 【跟踪专练3】.计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【题型11.因式分解的应用】 【典例】已知a﹣2b＝2，那么a2﹣4b2﹣8b+1的值为 ． 【答案】 【分析】先将a2﹣4b2﹣8b+1化简再将a﹣2b＝2代入即可求解． 【详解】解：∵a﹣2b＝2， ∴a2﹣4b2﹣8b+1 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查代数式求值及平方差公式 ，掌握平方差公式是解题关键． 【跟踪专练1】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握利用提取公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键． 甲：利用平方差公式进行因式分解即可；乙：利用完全平方公式进行因式分解即可；丙：有理数范围内不能进行因式分解；丁：利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，在有理数范围内不能因式分解，符合题意； D、丁：，故此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平方差公式的应用、代数式的化简与代入求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式，再代入求值是解题的关键． 由已知条件 ，将代数式 通过因式分解和代入求值． 【详解】解： ∵ ， 原式， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即， 所以， 故选：C． 解答题 1．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 2．先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，掌握先提取公因式化简代数式，再代入数值计算，简化运算过程是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后化简代数式，再代入数值计算 （2）先将变形为，使两项出现公因式，提取公因式后化简，再代入数值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． 当，，时， 原式 ． 3．把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．因式分解． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先利用完全平方公式进行因式分解，再对分解后的式子进一步利用平方差公式分解． （2）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式继续分解． （3）先利用十字相乘法对式子进行因式分解，然后再对分解后的因式进一步分解． （4）先对式子提取公因式，然后对于剩下括号内的式子，可将其变形为的形式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，包括完全平方公式、平方差公式、十字相乘法以及提取公因式法．熟练掌握各种因式分解方法的适用形式和运算规则，能根据式子的特点灵活选择合适的分解方法是解题的关键． 5．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $